Esercizio 1.13 - parallelo di due resistori e casi limite

Testo (Eserciziario, es. 1.13). Determinare il bipolo equivalente a:

1. il parallelo di due resistori ideali $R_1$ e $R_2$;
2. il parallelo di un circuito aperto e un resistore ideale;
3. il parallelo di un circuito aperto e un cortocircuito;
4. il parallelo di un resistore ideale e un cortocircuito.

Risultati: (1) resistore con $G_P = G_1 + G_2$; (2) resistore con $G_P = G_2$; (3) cortocircuito; (4) cortocircuito.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →. È il "gemello" (duale) di Esercizio 1.9 - serie di due resistori e casi limite: si scambiano tensioni e correnti, serie e parallelo, cortocircuito e circuito aperto.

1. Due resistori in parallelo

Riferimenti. Tutte le tensioni con il $+$ sul morsetto superiore; correnti con la convenzione dell'utilizzatore ($I_P$ entra dal morsetto superiore del bipolo complessivo, $I_1$ e $I_2$ scendono nei due resistori).

Equazioni.

• LKT: i due resistori sono tra gli stessi due nodi, quindi $V_P = V_1 = V_2$.
• LKC al nodo superiore: la corrente che entra si divide nei due rami, $I_P = I_1 + I_2$.
• Bipoli, scritti con le conduttanze: $I_1 = G_1 V_1$, $I_2 = G_2 V_2$.

Soluzione. Si sostituiscono le equazioni dei bipoli nella LKC usando $V_1 = V_2 = V_P$:

$$I_P = G_1 V_P + G_2 V_P = (G_1 + G_2)\, V_P$$

Resistore equivalente con $G_P = G_1 + G_2$, cioè $R_P = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Perché le conduttanzeNel parallelo è comune la tensione e si sommano le correnti: la grandezza che moltiplica la tensione è G, quindi si sommano le G. Nella serie è comune la corrente e si sommano le R. e non le resistenze: è la regola del parallelo.

2. Circuito aperto in parallelo a un resistore

Il circuito aperto è il resistore con $G = 0$. Con il bipolo 1 sostituito da un circuito aperto, LKT e LKC restano le stesse e

$$I_1 = 0 \quad \text{per ogni } V_1$$

Quindi $I_P = 0 + G_2 V_P$: resistore con $G_P = G_2$. Il circuito aperto in parallelo non toglie corrente a nessuno e si può cancellare.

3. Circuito aperto in parallelo a un cortocircuito

$$I_1 = 0 \ \ \forall V_1, \qquad V_2 = 0 \ \ \forall I_2$$

La LKT impone $V_P = V_1 = V_2$, e il cortocircuito forza $V_2 = 0$: quindi $V_P = 0$ qualunque sia $I_P$. La corrente passa tutta nel cortocircuito ($I_P = I_2$, perché $I_1 = 0$). L'equazione $V_P = 0\ \forall I_P$ è quella di un cortocircuito.

4. Resistore in parallelo a un cortocircuito

$$I_1 = G_1 V_1, \qquad V_2 = 0 \ \ \forall I_2$$

Il cortocircuito impone $V_2 = 0$, quindi anche $V_1 = V_P = 0$, e allora $I_1 = G_1 \cdot 0 = 0$: il resistore non porta corrente. Tutta la $I_P$ passa nel cortocircuito. Il bipolo equivalente è un cortocircuito.

Che cosa ricordare. Un resistore in parallelo a un filo è "scavalcato": ha tensione nulla, quindi corrente nulla, e si può togliere dal disegno. Succede spesso negli esercizi di resistenza equivalente, per esempio con il resistore da $25\ \Omega$ di Esercizio 1.22 - resistenza equivalente con un cortocircuito e con $R_5$ di Esercizio 1.25 - resistenza equivalente con diagonale.

Errori comuni

• Credere che la corrente "si divida" tra il resistore e il cortocircuito: il cortocircuito impone tensione zero, e un resistore con tensione zero ha corrente zero.
• Calcolare $R_P$ come $R_1 R_2/(R_1 + R_2)$ con $R_2 = 0$ e poi preoccuparsi della divisione: il risultato è $0$, cioè un cortocircuito, in accordo con il caso 4.