Esercizio 1.11 - partitore di tensione e voltmetro

Testo (Eserciziario, es. 1.11). La rete è a regime stazionario, con $E = 30\ \mathrm V$, $R_1 = 5\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$. Calcolare il valore $V_V$ misurato dal voltmetro ideale.

Figura (descritta). Un'unica maglia: a sinistra il GIT $E$ (con il $+$ in alto), in alto il resistore $R_1$, a destra il resistore $R_2$ in verticale, in basso un filo di ritorno. Il voltmetro è collegato tra il nodo in alto a destra (tra $R_1$ e $R_2$) e il filo in basso, cioè in parallelo a $R_2$, con il morsetto $-$ in alto e il $+$ in basso.

      R1
  ┌──/\/\/──●──────┐
  │         │(−)   │
 (+)       (V)     R2
  E         │(+)   │
 (−)        │      │
  └─────────●──────┘

Risultato: $V_V = -20\ \mathrm V$.

Teoria: Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

1. Che cosa fa il voltmetro

Un voltmetro ideale non assorbe corrente: nel circuito equivale a un circuito apertoBipolo con corrente nulla qualunque sia la tensione.Resistore e legge di Ohm →. Misura la tensione ai suoi capi con il riferimento dato dai suoi segni: $V_V$ ha il $+$ dove c'è il $+$ dello strumento, cioè in basso.

Togliendo il voltmetro (al suo posto un circuito aperto) la rete diventa una sola maglia: GIT, $R_1$, $R_2$.

2. $R_1$ e $R_2$ sono in serie

Il nodo tra $R_1$ e $R_2$ è collegato anche al voltmetro, ma il voltmetro non porta corrente: è come se non ci fosse. Quindi $R_1$ e $R_2$ hanno la stessa corrente, e ai capi della serie c'è la tensione del GIT, $E = 30\ \mathrm V$, con il $+$ in alto.

3. Il partitore

La tensione su $R_2$ con il $+$ in alto (concorde con $E$: percorrendo la maglia dal $+$ del GIT si entra in $R_2$ dall'alto) è

$$V_{R2} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, E = \frac{10}{15} \cdot 30 = 20\ \mathrm V$$

4. Il segno della lettura

Il voltmetro misura la stessa tensione ma con il riferimento opposto ($+$ in basso). Invertire il riferimento cambia il segno:

$$\boxed{V_V = -V_{R2} = -20\ \mathrm V}$$

Il voltmetro di un laboratorio, collegato così, mostrerebbe proprio $-20$: il morsetto $+$ dello strumento è a potenziale più basso del morsetto $-$.

Controllo. Corrente nella maglia: $I = E/(R_1 + R_2) = 30/15 = 2\ \mathrm A$. Tensione su $R_1$: $10\ \mathrm V$. Prendendo il filo in basso a potenziale zero, il nodo in alto a destra sta a $30 - 10 = 20\ \mathrm V$. Il $+$ del voltmetro (in basso, a $0\ \mathrm V$) meno il suo $-$ (in alto, a $20\ \mathrm V$) dà $0 - 20 = -20\ \mathrm V$ ✓.

Errori comuni

• Rispondere $+20\ \mathrm V$ ignorando i segni del voltmetro.
• Pensare che il voltmetro "rubi" corrente a $R_2$ e alteri il partitore: un voltmetro ideale è un circuito aperto.