Esercizio 1.44 - equivalente di Thévenin per trasformazioni

Testo (Eserciziario, es. 1.44). Rete in regime stazionario con tre resistori e un GIT: $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 45\ \Omega$, $R_3 = 60\ \Omega$, $E = 120\ \mathrm V$. Determinare $R_{eq}$ ed $E_{eq}$ del generatore di Thévenin equivalente ai morsetti AB.

Figura (descritta). A sinistra il GIT $E$ ($+$ in alto); in alto $R_1$ porta al nodo M; da M scende $R_3$ fino al filo in basso; da M $R_2$ va verso destra fino al morsetto A. Il filo in basso arriva al morsetto B.

     R1        R2
  ┌─/\/\/─●─/\/\/──● A
 (+)      │
  E       R3
 (−)      │
  └───────●────────● B

Risultati: $R_{eq} = 60\ \Omega$, $E_{eq} = 90\ \mathrm V$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

Metodo 1: catena di trasformazioni (come nell'Eserciziario)

Passo 1: $E$–$R_1$ diventa un generatore di corrente. $E$ in serie a $R_1$ è un generatore reale di tensione; il suo equivalente parallelo ha

$$J = \frac{E}{R_1} = \frac{120}{20} = 6\ \mathrm A \ (\text{freccia verso M}), \qquad R'_1 = R_1 = 20\ \Omega \ (\text{in parallelo})$$

Passo 2: due resistori in parallelo. Ora $R'_1$ e $R_3$ sono entrambi tra M e il filo in basso:

$$R_p = \frac{20 \cdot 60}{80} = 15\ \Omega$$

Passo 3: si torna a un generatore di tensione. $J$ in parallelo a $R_p$ diventa

$$E_s = J R_p = 6 \cdot 15 = 90\ \mathrm V \ (+ \text{ verso M}), \qquad R_s = 15\ \Omega \ (\text{in serie})$$

Passo 4: serie finale. $R_s$ e $R_2$ sono in serie tra il GIT e il morsetto A:

$$\boxed{R_{eq} = 15 + 45 = 60\ \Omega, \qquad E_{eq} = 90\ \mathrm V \ (+ \text{ verso A})}$$

Metodo 2: definizioni del teorema

Resistenza interna. Si spegne $E$ (cortocircuito): $R_1$ e $R_3$ finiscono in parallelo tra M e B, e $R_2$ è in serie:

$$R_{eq} = R_2 + R_1 \parallel R_3 = 45 + 15 = 60\ \Omega$$

Tensione a vuoto. Con A e B aperti, in $R_2$ non passa corrente e quindi $U_A = U_M$. La tensione in M si ottiene con il partitore di tensione su $R_3$:

$$v_0 = E\, \frac{R_3}{R_1 + R_3} = 120 \cdot \frac{60}{80} = 90\ \mathrm V$$

Stesso risultato. A vuoto R2 non contaSenza corrente alla porta, R2 non ha corrente e quindi nemmeno tensione: non entra nel calcolo di v_0, ma entra nella resistenza interna. per la tensione, ma conta per la resistenza.

Controllo con la corrente di cortocircuito. Con A e B in cortocircuito, $R_2$ è in parallelo a $R_3$: $45 \parallel 60 = \frac{2700}{105} = \frac{180}{7}\ \Omega$. Corrente da $E$: $\dfrac{120}{20 + 180/7} = \dfrac{120 \cdot 7}{320} = \dfrac{21}{8}\ \mathrm A$; in $R_2$ (partitore) $\dfrac{21}{8} \cdot \dfrac{60}{105} = 1{,}5\ \mathrm A$. E infatti $v_0 / i_{cc} = 90 / 1{,}5 = 60\ \Omega$ ✓.