Esercizio 1.48 - Norton e potenza sul carico

Testo (Eserciziario, es. 1.48). Rete in regime stazionario con $R_1 = 4\ \Omega$, $R_2 = 12\ \Omega$, $R_3 = 1\ \Omega$, $R_u = 6\ \Omega$, $E_1 = 32\ \mathrm V$, $J_2 = 2\ \mathrm A$.

1. Della rete a sinistra della porta AB (nel riquadro) determinare $R_{eq}$ e la corrente di cortocircuito $I_{cc}$ (uscente dal morsetto A).
2. Per la rete completa, determinare la potenza assorbita dal carico $R_u$.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Da sinistra: il GIT $E_1$ ($+$ in alto); in alto $R_1$ fino al nodo M; da M scendono a B il resistore $R_2$ e il GIC $J_2$ (freccia in su, verso M); da M $R_3$ prosegue in alto fino al morsetto A. Fuori dal riquadro, $R_u$ tra A e B.

Risultati: $R_{eq} = 4\ \Omega$, $I_{cc} = \dfrac{15}{2}\ \mathrm A$, $P_u = 54\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti ($E_1$ cortocircuito, $J_2$ aperto): da A si attraversa $R_3$ fino a M; da M a B ci sono $R_2$ e $R_1$ (che, con $E_1$ cortocircuitato, va da M a B) in parallelo:

$$R_{eq} = R_3 + R_1 \parallel R_2 = 1 + \frac{4 \cdot 12}{16} = 1 + 3 = 4\ \Omega$$

2. Corrente di cortocircuito (sovrapposizione)

Si cortocircuitano A e B: ora $R_3$ va da M a B, in parallelo a $R_2$. $I_{cc}$ è la corrente in $R_3$ (e nel cortocircuito), da M verso A.

Solo $E_1$ ($J_2$ aperto). $E_1$ vede $R_1$ in serie a $R_2 \parallel R_3 = \frac{12}{13}\ \Omega$:

$$I_{E1} = \frac{32}{4 + 12/13} = \frac{32 \cdot 13}{64} = 6{,}5\ \mathrm A, \qquad I'_{cc} = 6{,}5 \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_3} = 6{,}5 \cdot \frac{12}{13} = 6\ \mathrm A$$

Solo $J_2$ ($E_1$ in cortocircuito). $J_2$ porta $2\ \mathrm A$ in M; da M a B ci sono $R_1 \parallel R_2 = 3\ \Omega$ e $R_3 = 1\ \Omega$:

$$I''_{cc} = J_2\, \frac{R_1 \parallel R_2}{(R_1 \parallel R_2) + R_3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = 1{,}5\ \mathrm A$$

$$I_{cc} = 6 + 1{,}5 = 7{,}5\ \mathrm A$$

Controllo: la tensione a vuoto sarebbe $V_{AB0} = R_{eq} I_{cc} = 30\ \mathrm V$. Infatti a vuoto $R_3$ non porta corrente e $U_A = U_M$; con Millman su M (rami $E_1$–$R_1$, $R_2$, $J_2$): $U_M = \dfrac{32/4 + 2}{1/4 + 1/12} = \dfrac{10}{1/3} = 30\ \mathrm V$ ✓.

3. Potenza sul carico

Equivalente di Norton: GIC $J_{eq} = 7{,}5\ \mathrm A$ (freccia verso A) in parallelo a $R_{eq} = 4\ \Omega$. Collegando $R_u = 6\ \Omega$, la corrente $J_{eq}$ si divide tra $R_{eq}$ e $R_u$:

$$I_u = J_{eq}\, \frac{R_{eq}}{R_{eq} + R_u} = 7{,}5 \cdot \frac{4}{10} = 3\ \mathrm A, \qquad \boxed{P_u = R_u I_u^2 = 6 \cdot 9 = 54\ \mathrm W}$$

Nel partitore di correnteCon due rami, nel ramo del carico va la corrente totale per la resistenza dell'altro ramo diviso la somma delle due. al numeratore c'è $R_{eq}$, la resistenza dell'altro ramo.