Esercizio 1.43 - sostituzione e voltmetro

Testo (Eserciziario, es. 1.43). Rete a regime stazionario con $E_1 = 60\ \mathrm V$, $E_2 = 120\ \mathrm V$, $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $R_3 = 60\ \Omega$. Calcolare il valore $V_V$ misurato dal voltmetro ideale.

Figura (descritta). Filo in basso = nodo B. A sinistra un ramo verticale con $E_1$ (in basso, $+$ in alto) e $R_1$ (sopra), che arriva al nodo P in alto. Da P: il voltmetro scende fino a B (morsetto $-$ in alto verso P, $+$ in basso verso B); $R_2$ va verso destra fino al nodo Q. Tra Q e B ci sono, in parallelo, il GIT $E_2$ ($+$ in alto) e il resistore $R_3$.

Risultato: $V_V = -80\ \mathrm V$.

Teoria: Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →, Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →.

1. Il voltmetro

Il voltmetro ideale è un circuito aperto: non porta corrente. Misura $V_V = U_B - U_P$ (il suo $+$ è su B).

2. Sostituzione del parallelo $E_2$–$R_3$

Il parallelo di $E_2$ e $R_3$ è un bipolo (tra Q e B) di cui si conosce la tensione: $V^* = E_2 = 120\ \mathrm V$, imposta dal GIT. Per il teorema di sostituzione lo si sostituisce con un GIT $E = 120\ \mathrm V$. $R_3$ sparisce: verso il resto della rete non conta (conta solo per la corrente di $E_2$).

3. La maglia che resta

Una sola maglia: $E_1$, $R_1$, $R_2$, $E$ (il voltmetro è aperto). Il potenziale di P si trova con la sovrapposizione (B riferimento):

• solo $E_1$ ($E$ in cortocircuito): partitore su $R_2$, $U'_P = E_1 \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 60 \cdot \dfrac{40}{60} = 40\ \mathrm V$;
• solo $E$ ($E_1$ in cortocircuito): partitore su $R_1$, $U''_P = E \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 120 \cdot \dfrac{20}{60} = 40\ \mathrm V$.

$$U_P = 40 + 40 = 80\ \mathrm V \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{V_V = U_B - U_P = -80\ \mathrm V}$$

Controllo con Millman (due nodi, P e B, collegati dai rami $E_1$–$R_1$ ed $E$–$R_2$, entrambi con il $+$ verso P):

$$U_P = \frac{\frac{60}{20} + \frac{120}{40}}{\frac{1}{20} + \frac{1}{40}} = \frac{3 + 3}{0{,}075} = 80\ \mathrm V \ ✓$$

Il segno menoIl voltmetro ha il + collegato a B, che sta a 0 V, e il − collegato a P, che sta a 80 V: legge 0 − 80. viene solo dal verso in cui è collegato il voltmetro.