Esercizio 1.27 - bipoli in serie, somma di caratteristiche

Testo (Eserciziario, es. 1.27). A regime stazionario, due bipoli adinamici A e B, di cui sono date le caratteristiche esterne, vengono collegati in serie a formare il bipolo C. Ricavare la caratteristica esterna di C.

Dati (descritti).

• Bipolo A, con i suoi riferimenti: $V_A$ con il $-$ sul morsetto superiore e il $+$ su quello inferiore, $I_A$ entrante dal morsetto superiore. Caratteristica (spezzata, $I_A$ in ascissa e $V_A$ in ordinata) per i punti $(-20, 10)$, $(-10, 0)$, $(0, 10)$, $(10, 0)$, $(20, 0)$.
• Bipolo B, con riferimenti dello stesso tipo ($-$ in alto, $I_B$ entrante dall'alto). Caratteristica per i punti $(-20, 10)$, $(-10, 0)$, $(0, 10)$, $(20, -10)$.
• Bipolo C: A sopra, B sotto, in serie. $V_s$ ha il $+$ sul morsetto superiore di C, $I_s$ entra dal morsetto superiore. A è montato con il suo morsetto superiore verso l'alto (come nel disegno singolo); B è montato capovolto (il suo morsetto "superiore" è in basso).

Risultato: la caratteristica di C è la spezzata per i punti $(-20, -20)$, $(-10, 0)$, $(10, 0)$, $(20, 10)$ (con $I_s$ in ascissa e $V_s$ in ordinata).

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli → (paragrafo "Combinare caratteristiche date per grafico").

1. Le correnti: chi è concorde con $I_s$

La corrente che attraversa la serie è una sola; bisogna esprimere $I_A$ e $I_B$ in funzione di $I_s$.

• A è montato dritto: $I_A$ entra dal morsetto superiore di A, che è collegato al morsetto superiore di C, da cui entra $I_s$. Stesso verso: $I_A = I_s$ (nella serie la corrente è la stessaIl nodo tra A e B non ha altri collegamenti: per la LKC la corrente che esce da A entra tutta in B., conta solo il verso del riferimento).
• B è capovolto: $I_B$ entra dal morsetto di B che ora sta in basso, quindi scorre verso l'alto, contro $I_s$. Verso opposto: $I_B = -I_s$.

$I_B = -I_s$ vuol dire: per conoscere $V_B$ quando la corrente della serie vale $I_s$, bisogna leggere la caratteristica di B nel punto $-I_s$. Graficamente la caratteristica di B va specchiata rispetto all'asse delle tensioni (si scambia destra con sinistra). I punti diventano $(20, 10)$, $(10, 0)$, $(0, 10)$, $(-20, -10)$:

2. Le tensioni: la LKT

Si percorre C dall'alto in basso. $V_s$ è la differenza di potenziale tra il morsetto superiore e quello inferiore di C.

• Attraversando A dall'alto verso il basso si va dal suo $-$ al suo $+$: il potenziale sale di $V_A$, quindi nella differenza "alto meno basso" compare $-V_A$.
• Attraversando B (capovolto: il suo $-$ ora è in basso) dall'alto verso il basso si va dal suo $+$ al suo $-$: il potenziale scende di $V_B$, quindi compare $+V_B$.

$$V_s = -V_A + V_B$$

Il segno meno davanti a $V_A$ vuol dire che la caratteristica di A va specchiata rispetto all'asse delle correnti (si cambia segno alle ordinate). I punti diventano $(-20, -10)$, $(-10, 0)$, $(0, -10)$, $(10, 0)$, $(20, 0)$:

3. Sommare a parità di corrente

Ora $V_s(I_s) = [-V_A](I_s) + [V_B](-I_s)$: si sommano le due curve dei passi 1 e 2 punto per punto lungo l'asse verticale. Le curve sono spezzate, quindi basta sommare nei punti di gomito ($I_s = -20, -10, 0, 10, 20$) e poi unire con segmenti:

Lettura del risultato. Per $-10 \le I_s \le 10\ \mathrm A$ il bipolo C ha tensione nulla: in quel tratto si comporta come un cortocircuito. Fuori da quell'intervallo la tensione cresce con pendenza $2\ \Omega$ a sinistra (da $-20$ a $0\ \mathrm V$ su $10\ \mathrm A$) e $1\ \Omega$ a destra.

Controllo in un punto intermedio. $I_s = 5$: $V_A(5) = 5$ (sul tratto da $(0,10)$ a $(10,0)$), quindi $-V_A = -5$; $V_B(-5) = 5$ (sul tratto da $(-10,0)$ a $(0,10)$). Somma: $0$ ✓, in accordo con il tratto piatto.

Errori comuni

• Sommare le caratteristiche date senza prima allineare i riferimenti: si otterrebbe una curva sbagliata.
• Confondere le due specchiature: un riferimento di corrente discorde specchia rispetto all'asse delle tensioni (cambia l'ascissa), un segno meno nella LKT specchia rispetto all'asse delle correnti (cambia l'ordinata).
• Sommare "orizzontalmente" (a parità di tensione): quella è la regola del parallelo.