Esercizio 3.15 - correnti di anello in regime sinusoidale

Testo (Eserciziario, es. 3.15). Stessa rete dell'Esercizio 3.13 - sovrapposizione in regime sinusoidale ($R = 50\ \Omega$, $L = 200\ \mathrm{mH}$, $C = 40\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 200\cos(500t + \frac34\pi)$, $j(t) = 4\sqrt2\cos(500t)$): calcolare $Q_C$ con il metodo delle correnti di anello.

Figura (descritta). Tre rami tra il nodo T in alto e il filo in basso: a sinistra il GIC (freccia in giù), al centro $R$ in serie a $C$, a destra $L$ in serie al GIT ($+$ in alto).

Risultato: $Q_C = -1000\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Dati simbolici

$\bar E = -100 + j100$, $\bar J = 4$, $\dot Z_{RC} = 50 - j50$, $\dot Z_L = j100$ (come nell'esercizio 3.13).

2. Anelli

Due anelli, correnti in senso orario: $\bar I_1$ nell'anello sinistro (GIC e ramo centrale), $\bar I_2$ in quello destro (ramo centrale e ramo destro).

Anello 1. Il GIC sta solo sul lato esterno: fissa la corrente. In senso orario sul lato sinistro la corrente sale, il GIC la spinge in giù: $\bar I_1 = -\bar J = -4$.

Anello 2 (LKT in senso orario: su per il ramo centrale, giù per il ramo destro). Nel ramo centrale scorre verso l'alto $\bar I_2 - \bar I_1$; nel ramo destro scende $\bar I_2$, attraversando $L$ e poi il GIT dal $+$ al $-$ (caduta $+\bar E$):

$$\dot Z_{RC}(\bar I_2 - \bar I_1) + \dot Z_L\, \bar I_2 + \bar E = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar I_2 = \frac{\dot Z_{RC}\, \bar I_1 - \bar E}{\dot Z_{RC} + \dot Z_L}$$

$$\bar I_2 = \frac{(50 - j50)(-4) - (-100 + j100)}{50 + j50} = \frac{-200 + j200 + 100 - j100}{50 + j50} = \frac{-100 + j100}{50 + j50} = j2$$

3. Corrente nel condensatore

Verso il basso nel ramo centrale scorre $\bar I_1 - \bar I_2$ (l'anello 1 lo percorre in giù, l'anello 2 in su):

$$\bar I_C = \bar I_1 - \bar I_2 = -4 - j2 \quad\Longrightarrow\quad I_C^2 = 20$$

$$\boxed{Q_C = -50 \cdot 20 = -1000\ \mathrm{VAR}}$$

Stesso risultato della sovrapposizione. In più si ha subito la corrente nell'induttore, $\bar I_L = \bar I_2 = j2$ (verso il basso), e quindi $Q_L = 100 \cdot 4 = 400\ \mathrm{VAR}$.