Esercizio 2.10 - potenze in una rete con GTPC

Testo (Eserciziario, es. 2.10). Rete in regime stazionario con $R_1 = 2\ \Omega$, $R_3 = 1\ \Omega$, un GIT $E_1 = 4\ \mathrm V$ e un GTPC con $r = 6\ \Omega$.

1. Calcolare la potenza $P_2$ uscente dalla porta 2 del generatore pilotato.
2. Calcolare la potenza assorbita da $R_1$ e da $R_3$.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. $E_1$ a sinistra ($+$ in alto); $R_1$ sul filo in alto dal $+$ di $E_1$ al nodo N, percorso da $I_1$ verso destra. Da N scendono $R_3$ e, più a destra, il GTPC $r I_1$ ($+$ in alto).

Risultati: $P_2 = \frac{15}{2}\ \mathrm W$, $P_{R1} = \frac12\ \mathrm W$, $P_{R3} = 9\ \mathrm W$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →, Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →.

1. La corrente di controllo

Il GTPC impone il potenziale di N: $V_N = r I_1 = 6 I_1$. La corrente in $R_1$ è determinata dalla differenza di potenziale ai suoi capi:

$$I_1 = \frac{E_1 - V_N}{R_1} = \frac{4 - 6 I_1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2 I_1 = 4 - 6 I_1 \quad\Longrightarrow\quad I_1 = 0{,}5\ \mathrm A$$

Quindi $V_N = 6 \cdot 0{,}5 = 3\ \mathrm V$.

Perché non si può "spegnere" o ignorare il pilotato. Se il generatore in N fosse un GIT indipendente il suo valore sarebbe noto; qui invece dipende da $I_1$, che dipende a sua volta da $V_N$. L'equazione di controllo chiude il cerchio.

2. Potenze dei resistori

$$P_{R1} = R_1 I_1^2 = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\ \mathrm W, \qquad P_{R3} = \frac{V_N^2}{R_3} = \frac{9}{1} = 9\ \mathrm W$$

3. Potenza del pilotato

In $R_3$ scende $I_3 = V_N / R_3 = 3\ \mathrm A$. LKC in N: entra $I_1 = 0{,}5\ \mathrm A$ da $R_1$, esce $3\ \mathrm A$ verso $R_3$. Mancano $2{,}5\ \mathrm A$: li deve fornire il GTPC, che quindi fa uscire $2{,}5\ \mathrm A$ dal suo morsetto $+$. Con la convenzione del generatore:

$$\boxed{P_2 = V_N \cdot 2{,}5 = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5\ \mathrm W} \quad \text{(erogata)}$$

4. Bilancio

• Erogata da $E_1$: $E_1 I_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\ \mathrm W$.
• Erogata dal GTPC: $7{,}5\ \mathrm W$.
• Assorbita dai resistori: $0{,}5 + 9 = 9{,}5\ \mathrm W = 2 + 7{,}5$ ✓.

Osservazione. Il pilotato eroga quasi 4 volte la potenza del generatore indipendente: i generatori pilotati non sono passivi. Nei circuiti elettronici questa potenza arriva dall'alimentazione del dispositivo (per esempio del transistor), che nel modello non compare.