Esercizio 3.26 - risonanza serie e wattmetro

Testo (Eserciziario, es. 3.26). Rete a regime sinusoidale con $R = 5\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 40\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$, $j(t) = 4\sqrt2\sin\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$. Determinare il valore $P_W$ letto dal wattmetro ideale a valore medio e la potenza reattiva $Q_{C2}$ entrante in $C_2$.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. A sinistra $R$ e $C_1$ in parallelo tra il nodo P e il riferimento. Sul filo in alto: da P i morsetti amperometrici del wattmetro (la corrente misurata va da destra verso P) fino al nodo Q; poi il GIT $e$ ($+$ verso Q) fino al nodo N. I morsetti voltmetrici misurano la tensione del filo in alto rispetto al riferimento. Da N scendono: il ramo $C_2$ in serie a $L$; e, all'estrema destra, il GIC $j$ (freccia in su, verso N).

Risultati: $P_W = 160\ \mathrm W$, $Q_{C2} = -400\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Risonanza serie e paralleloIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Rete simbolica

• $\bar E$: ampiezza $40$, valore efficace $20\sqrt2$: $\ \bar E = 20\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 20(1 + j)$.
• $j(t)$ è un seno: $4\sqrt2\sin\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right) = 4\sqrt2\cos(1000t)$, quindi $\bar J = 4$.
• $\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -\frac{j}{1000 \cdot 10^{-4}} = -j10$, $\ \dot Z_L = j10$, $\ R = 5$.

2. La risonanza serie

Nel ramo $C_2$–$L$: $\dot Z_{C2} + \dot Z_L = -j10 + j10 = 0$. Alla pulsazione di lavoro ($\omega = 1000 = 1/\sqrt{L C_2}$) la serie è in risonanza e si comporta come un cortocircuito: il nodo N è al potenziale del riferimento, $\bar U_N = 0$.

3. Tensione e corrente del wattmetro

Il GIT ha il $+$ verso Q: $\bar U_Q = \bar U_N + \bar E = \bar E = 20(1 + j)$. Il wattmetro misura proprio questa tensione ($\bar V_W = \bar E$).

La parte sinistra è $R \parallel C_1$:

$$\dot Z_1 = \frac{5(-j10)}{5 - j10} = \frac{-j10}{1 - 2j} = \frac{-j10(1 + 2j)}{5} = -j2(1 + 2j) = 4 - j2 = 2(2 - j)$$

La corrente misurata (da Q verso P, entrante nella parte sinistra):

$$\bar I_W = \frac{\bar E}{\dot Z_1} = \frac{20(1 + j)}{2(2 - j)} = \frac{10(1 + j)(2 + j)}{5} = 2(1 + 3j)$$

4. Lettura del wattmetro

$$\dot S_W = \bar V_W\, \bar I_W^* = 20(1 + j) \cdot 2(1 - 3j) = 40(1 - 3j + j + 3) = 40(4 - 2j) = 160 - j80$$

$$\boxed{P_W = \mathrm{Re}(\dot S_W) = 160\ \mathrm W}$$

Controllo: è la potenza dissipata in $R$, che ha ai capi $\bar E$: $\frac{E^2}{R} = \frac{800}{5} = 160\ \mathrm W$ ✓.

5. Potenza reattiva di $C_2$

LKC nel nodo N: entra $\bar J$, escono la corrente verso Q (attraverso il GIT, uguale a $\bar I_W$) e quella nel ramo $C_2$–$L$:

$$\bar I_{C2} = \bar J - \bar I_W = 4 - 2 - j6 = 2 - j6, \qquad I_{C2}^2 = 4 + 36 = 40$$

$$\boxed{Q_{C2} = X_{C2}\, I_{C2}^2 = -10 \cdot 40 = -400\ \mathrm{VAR}}$$

Osservazione. L'induttore ha $Q_L = +400\ \mathrm{VAR}$: nel ramo in risonanza le potenze reattive si compensano esattamente, e il ramo nel suo insieme non scambia potenza reattiva con il resto della rete, pur essendo percorso da una corrente di $2\sqrt{10} \approx 6{,}3\ \mathrm A$. Ai capi di $C_2$ (e di $L$) ci sono $10 \cdot 6{,}3 = 63\ \mathrm V$, ma la tensione totale del ramo è zero.