Risposta in frequenza e filtri

Qui si usano i filtri LTI della nota Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva → e la trasformata di Fourier (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →). Le tf LTI si chiamano anche filtri perché, come si vede, discriminano le frequenze.

Risposta in frequenza

L'uscita di un filtro è $y=g*x$. La convoluzione diventa un prodotto in frequenza:

Formula (risposta in frequenza). $$Y(f)=G(f)\,X(f),\qquad G(f)=\mathcal F[g](f).$$ $G$ è la risposta in frequenza; il suo modulo $A_g(f)=\lvert G(f)\rvert$ è la caratteristica d'ampiezza, il suo argomento $\beta_g(f)=\arg G(f)$ la caratteristica di fase. Per un filtro continuo $G$ è definita su $\mathbb R$; per un filtro discreto su $\mathbb Z(T)$ è periodica di periodo $F_p=1/T$.

Esempio (FIR discreto). Il filtro $y(nT)=x(nT)-2x(nT-T)+x(nT-2T)$ ha, trasformando i due membri e ricordando la regola del ritardo ($e^{-\mathrm i2\pi fT}$ per ogni $T$ di ritardo), $Y=\left(1-2e^{-\mathrm i2\pi fT}+e^{-\mathrm i4\pi fT}\right)X$, quindi $G(f)=\left(1-e^{-\mathrm i2\pi fT}\right)^2$: periodica di periodo $\frac1T$, nulla in $f=0$.

Le trasformate di Laplace e zeta danno relazioni analoghe $Y_L=G_LX_L$ e $Y_z=G_zX_z$ con le funzioni di trasferimento (Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata gx. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto →, Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata gx. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →).

Autofunzioni

Teorema (autofunzioni dei filtri). Se all'ingresso di un filtro LTI si applica l'esponenziale complesso $x(t)=X\,e^{\mathrm i2\pi ft}$ (su $\mathbb R$ o su $\mathbb Z(T)$), l'uscita è $$y(t)=G(f)\,X\,e^{\mathrm i2\pi ft}:$$ lo stesso esponenziale, moltiplicato per il numero complesso $G(f)$ (l'autovalore). Più in generale $x=Xe^{pt}$ dà $G_L(p)\,Xe^{pt}$ e, su $\mathbb Z(T)$, $x=Xz^n$ dà $G_z(z)\,Xz^n$ (per $p$ e $z$ nella regione di convergenza).

Perché: $y(t)=\int g(u)\,Xe^{\mathrm i2\pi f(t-u)}du=Xe^{\mathrm i2\pi ft}\int g(u)e^{-\mathrm i2\pi fu}du=G(f)Xe^{\mathrm i2\pi ft}$: il segnale "esce" dall'integrale come fattore costante. Un filtro non cambia la dipendenza dal tempo dell'esponenziale, ne cambia solo ampiezza e fase: questo è il motivo per cui Fourier è lo strumento giusto per i sistemi LTI.

Esempio. Il filtro RC ha $G(f)=\dfrac1{1+\mathrm i2\pi fT}$ (trasformata di $g=\frac1Te^{-t/T}1(t)$). L'esponenziale di frequenza $f$ esce moltiplicato per $\frac1{1+\mathrm i2\pi fT}$: al crescere di $\lvert f\rvert$ il modulo diminuisce, le alte frequenze sono attenuate.

Regime sinusoidale

Sia $x(t)=X_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ con $X_0>0$. Per Eulero (Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →) è la somma di due esponenziali di ampiezze complesse $\tfrac12X_0e^{\pm\mathrm i\varphi_0}$ e frequenze $\pm f_0$. Per linearità l'uscita è $$y(t)=\tfrac12X_0e^{\mathrm i\varphi_0}G(f_0)e^{\mathrm i2\pi f_0t}+\tfrac12X_0e^{-\mathrm i\varphi_0}G(-f_0)e^{-\mathrm i2\pi f_0t}.$$ Se il filtro è reale, $G(-f)=G^*(f)$ e i due addendi sono uno il complesso coniugato dell'altro:

Formula (ingresso sinusoidale, filtro reale). $$y(t)=X_0\,\lvert G(f_0)\rvert\,\cos\!\big(2\pi f_0t+\varphi_0+\beta_g(f_0)\big).$$ L'uscita è una sinusoide della stessa frequenza, con ampiezza moltiplicata per la caratteristica d'ampiezza e fase aumentata della caratteristica di fase, entrambe valutate in $f_0$.

Esempio numerico. Filtro RC con $T=1\ \text{ms}$, ingresso $2\cos(2\pi\cdot500\,t+30^\circ)$. Si calcola $2\pi f_0T=\pi=3{,}1416$, quindi $\lvert G(500)\rvert=\frac1{\sqrt{1+\pi^2}}=0{,}3033$ e $\beta_g=-\arctan\pi=-72{,}34^\circ$. L'uscita è $0{,}6066\cos(2\pi\cdot500\,t-42{,}34^\circ)$ (verificato con una convoluzione numerica a regime). La frequenza di taglio a $3\ \text{dB}$ è $f_c=\frac1{2\pi T}=159{,}2\ \text{Hz}$: a $f_c$ il modulo vale $\frac1{\sqrt2}$ e la fase $-45^\circ$; per $f\to\infty$ la fase tende a $-90^\circ$.

Proprietà lette sulla risposta in frequenza

Filtro reale. Il filtro è reale se e solo se $g$ è reale, cioè se e solo se $G$ ha simmetria hermitiana, $G(f)=G^*(-f)$: il modulo è pari e la fase dispari (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Esempio. Il filtro discreto $g(nT)=\alpha^n1_0(nT)$, $\lvert\alpha\rvert<1$, ha $G(f)=\sum_{n\ge0}T\alpha^ne^{-\mathrm i2\pi nfT}=\dfrac{T}{1-\alpha e^{-\mathrm i2\pi fT}}$. È reale solo per $\alpha$ reale. Per $\alpha$ reale e $T=1$ si ha $\lvert G(f)\rvert=\frac1{\sqrt{1-2\alpha\cos2\pi f+\alpha^2}}$; con $\alpha=\frac12$ in $f=0{,}1$ vale $1{,}506$ e la fase è $-26{,}27^\circ$ (verificato).

Invertibilità. Un filtro LTI è invertibile se e solo se $G(f)\neq0$ per ogni $f$. Allora da $Y=GX$ si ha $X=\frac1GY$ e l'inverso è il filtro LTI con $$G_i(f)=\frac1{G(f)}.$$ Esempio. Il filtro RC ($G\neq0$ sempre) ha inverso $G_i=1+\mathrm i2\pi fT$, cioè $x(t)=y(t)+T\,\dot y(t)$ (la moltiplicazione per $\mathrm i2\pi f$ è una derivata). Il filtro discreto $\alpha^n1_0(nT)$ ha inverso $G_i=\frac1T\left(1-\alpha e^{-\mathrm i2\pi fT}\right)$, cioè $g_i(nT)=\frac1T\left[\delta_{\mathbb Z(T)}(nT)-\alpha\,\delta_{\mathbb Z(T)}(nT-T)\right]$ (la trasformata di $\delta_{\mathbb Z(T)}$ è $1$), un FIR di due termini (per $T=1$ e $\alpha=0{,}5$ la convoluzione $g*g_i$ è proprio l'impulso: $[1,0,0,0,\dots]$, verificato). Un filtro che si annulla in una frequenza non è invertibile: ad esempio il FIR $(1-e^{-\mathrm i2\pi fT})^2$ si annulla in $f=0$.

Inversa di una finestra. La finestra $y=wx$ è invertibile se e solo se $w(t)\neq0$ per ogni $t$ e l'inversa è la finestra $1/w$.

Filtri ideali

Definizione (filtro ideale). Un filtro ideale ha $G(f)=1$ nella banda passante $\mathcal B$ e $G(f)=0$ nella banda oscura $\overline{\mathcal B}$. La risposta impulsiva è $g(t)=\int_{\mathcal B}e^{\mathrm i2\pi ft}df$. È reale se $\mathcal B$ è simmetrica rispetto a $0$; non è mai causale.

Il passa-basso ideale discreto su $\mathbb Z(T)$ ha risposta in frequenza periodica $G(f)=\operatorname{rep}_{F_p}\operatorname{rect}\frac f{2B}$ con $2B=d\,F_p$, $0<d<1$ (la banda è una frazione $d$ del periodo $F_p=\frac1T$), e risposta impulsiva $$g(nT)=\int_{-dF_p/2}^{dF_p/2}e^{\mathrm i2\pi fnT}df=\frac{\sin\pi dn}{\pi nT}=\frac dT\operatorname{sinc}(dn).$$ Per $d=1$ si ottiene $g=\frac1T\operatorname{sinc}(n)=\delta_{\mathbb Z(T)}$: il filtro passa-tutto (l'identità). Per $d=\frac12$ i valori sono verificati numericamente con l'integrale.

Passa-alto e passa-banda ideali discreti. Si procede come per il passa-basso: la risposta in frequenza è periodica di periodo $F_p=\frac1T$, quindi si assegna in $\left[-\frac{F_p}2,\frac{F_p}2\right)$ e la si ripete; la risposta impulsiva è l'antitrasformata su quel solo periodo.

• Passa-alto di taglio $f_c$ ($0<f_c<\frac{F_p}2$): $G=\operatorname{rep}_{F_p}\big[\operatorname{rect}\frac f{F_p}-\operatorname{rect}\frac f{2f_c}\big]$, cioè "tutto tranne il passa-basso". Poiché l'identità ha risposta impulsiva $\delta_{\mathbb Z(T)}$, $$g(nT)=\delta_{\mathbb Z(T)}(nT)-2f_c\operatorname{sinc}(2f_c\,nT).$$
• Passa-banda reale di centro $f_0$ e larghezza $B$ (con $0<f_0-\frac B2$ e $f_0+\frac B2<\frac{F_p}2$): $G=\operatorname{rep}_{F_p}\big[\operatorname{rect}\frac{f-f_0}B+\operatorname{rect}\frac{f+f_0}B\big]$ e $$g(nT)=\int_{\mathcal B}e^{\mathrm i2\pi fnT}df=2B\operatorname{sinc}(B\,nT)\cos(2\pi f_0\,nT):$$ sono i campioni $g(nT)$ della risposta impulsiva del filtro continuo con la stessa $G$ in $\left[-\frac{F_p}2,\frac{F_p}2\right)$, perché l'integrale è lo stesso e la banda sta tutta in un periodo (per il passa-basso ritorna $2B\operatorname{sinc}(2BnT)=\frac dT\operatorname{sinc}(dn)$ con $d=2BT$).

Esempio ($T=1$, quindi $F_p=1$). Passa-basso con $d=\frac12$ (banda $\frac14$): $g(n)=\frac12\operatorname{sinc}\frac n2$ vale $0{,}5$ in $n=0$, $0{,}3183=\frac1\pi$ in $n=\pm1$, $0$ in $n=\pm2$, $-0{,}1061=-\frac1{3\pi}$ in $n=\pm3$, $0{,}0637$ in $n=\pm5$. Passa-alto con taglio $\frac14$ (la banda complementare): $g(n)=\delta_{n0}-\frac12\operatorname{sinc}\frac n2$ vale $0{,}5$ in $n=0$, $-0{,}3183$ in $n=\pm1$, $0$ in $n=\pm2$, $+0{,}1061$ in $n=\pm3$, $-0{,}0637$ in $n=\pm5$: è proprio $(-1)^n$ volte quella del passa-basso, perché moltiplicare per $(-1)^n=e^{\mathrm i\pi n}$ trasla lo spettro di $\frac{F_p}2$ e il passa-basso $|f|<\frac14$ diventa il passa-alto $\frac14<|f|\le\frac12$ (verificato integrando $G$ su un periodo). Passa-banda con $f_0=\frac14$, $B=0{,}1$: $g(n)=0{,}2\operatorname{sinc}(0{,}1n)\cos\frac{\pi n}2$ vale $0{,}2$ in $n=0$, $0$ in $n=\pm1,\pm3$, $-0{,}1871$ in $n=\pm2$, $+0{,}1514$ in $n=\pm4$, $-0{,}1009$ in $n=\pm6$ (coseno che si annulla sui dispari, inviluppo sinc).

Con una sinusoide la frequenza si confronta con la banda modulo $F_p$: $\cos(2\pi f_0nT)$ con $f_0$ fuori da $\left[-\frac{F_p}2,\frac{F_p}2\right)$ si ripiega prima ($f_0=0{,}8F_p$ equivale a $-0{,}2F_p$). Con $F_p=1$ il passa-alto di taglio $\frac14$ azzera $\cos(2\pi\,0{,}2\,n)$ e $\cos(2\pi\,0{,}8\,n)$ (entrambe sono a $\pm0{,}2$, in banda oscura) e lascia passare $\cos(2\pi\,0{,}35\,n)$ e $\cos(2\pi\,0{,}7\,n)$ (cioè $\pm0{,}35$ e $\mp0{,}3$, in banda passante); il passa-basso $d=\frac12$ fa l'opposto. Verificato filtrando in frequenza $4000$ campioni: la potenza d'uscita è $0$ o $0{,}5$ (la potenza d'ingresso) secondo i casi.

Cosa fanno. Applicato a $x=\cos2\pi f_0t$, il passa-basso ideale lo lascia inalterato se $\lvert f_0\rvert<B$ e lo azzera se $\lvert f_0\rvert>B$. In generale $Y=GX$ vale $X$ in banda passante e $0$ fuori: $$y(t)=\int_{\mathcal B\cap\mathcal E(x)}X(f)\,e^{\mathrm i2\pi ft}df,$$ dove $\mathcal E(x)$ è l'estensione spettrale di $x$ (l'insieme dove $X\neq0$). Ne seguono due casi:

1. Irrilevanza del filtro. Se $\mathcal E(x)\subseteq\mathcal B$, allora $y=x$: il filtro è trasparente (irrilevante) per quel segnale.
2. Se $\mathcal E(x)\cap\mathcal B=\emptyset$, $y=0$.

In tutti gli altri casi il segnale è distorto. Con $x=\delta(t)$ ($X=1$ su tutto $\mathbb R$) si ottiene $y=g$: l'impulso diventa un sinc.

Esempio. $x(t)=A_0\operatorname{sinc}(2B_0t)$ ha $X=\frac{A_0}{2B_0}\operatorname{rect}\frac f{2B_0}$. Applicato al passa-basso di banda $B$: se $B_0<B$ si ha $y=x$; se $B_0>B$ si ha $Y=\frac{A_0}{2B_0}\operatorname{rect}\frac f{2B}$, cioè $y=A_0\frac B{B_0}\operatorname{sinc}(2Bt)$.

Per i filtri discreti vale lo stesso ragionamento sull'intersezione dell'estensione di $x$ con $\left[-\tfrac{F_p}2,\tfrac{F_p}2\right)$.

Larghezza di banda e banda. La larghezza di banda di un filtro è la misura dell'estensione di $G$; per un filtro reale si conta soltanto la parte con $f>0$ e si parla di banda $B$. Così il passa-basso ideale ha banda $B$ (larghezza $2B$), il passa-banda ideale reale ha banda $B$ e il passa-banda complesso larghezza di banda $B$.

Interpretazione della trasformata di Fourier con un filtro passa-banda

Si applichi $x(t)$ a un passa-banda complesso stretto, $G=\operatorname{rect}\frac{f-f_0}{\Delta f}$. L'uscita $$y(t)=\int_{f_0-\Delta f/2}^{f_0+\Delta f/2}X(f)e^{\mathrm i2\pi ft}df\simeq X(f_0)\,e^{\mathrm i2\pi f_0t}\,\Delta f$$ (tanto meglio quanto più $\Delta f$ è piccola) è la componente di $x$ nell'intorno di $f_0$. In energia, per Parseval, $E_y=\int\lvert Y\rvert^2df\simeq\lvert X(f_0)\rvert^2\Delta f$: quindi $\lvert X(f)\rvert^2$ è la densità di energia per unità di frequenza.

Condizioni di equalizzazione e non distorsione

In un sistema di telecomunicazioni si vorrebbe che il segnale finale $s_0$ fosse uguale al segnale originario $s$, condizione di perfetta equalizzazione $s_0=s$. Questo richiede l'identità, cioè il filtro passa-tutto $g=\delta$, $G=1$. Se la condizione si chiede solo per i segnali a banda limitata con $\mathcal E(s)=(-B,B)$ basta qualunque filtro con $G(f)=1$ per $\lvert f\rvert<B$ ed arbitrario fuori, e il più semplice (e in pratica il migliore, perché elimina i disturbi fuori banda) è il passa-basso ideale $G=\operatorname{rect}\frac f{2B}$.

Si accetta spesso che il segnale arrivi amplificato/attenuato e ritardato:

Condizione (non distorsione secondo Heaviside). $s_0(t)=A_0\,s(t-t_0)$ per ogni $s$. Equivale a un filtro con $$g(t)=A_0\,\delta(t-t_0),\qquad G(f)=A_0\,e^{-\mathrm i2\pi ft_0},$$ cioè modulo costante $\lvert G\rvert=A_0$ e fase lineare $\beta_g(f)=-2\pi ft_0$ (ritardo $t_0$ uguale per tutte le frequenze).

Una fase non lineare ritarda le varie componenti in modo diverso e distorce la forma d'onda anche se il modulo è costante. In pratica le condizioni si impongono solo nella banda utile (un amplificatore audio ad alta fedeltà: $10\ \text{Hz}$-$20\ \text{kHz}$). Per i segnali a banda limitata $(-B,B)$ si richiedono $\lvert G\rvert=A_0$ e fase lineare solo in $(-B,B)$. Le stesse idee sono riprese in Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →.

Errori comuni

• Applicare la formula dell'ingresso sinusoidale a un filtro non reale: serve $G(-f_0)=G^*(f_0)$.
• Confondere ampiezza della sinusoide in uscita (moltiplicata per $\lvert G\rvert$) con la sua potenza ($\lvert G\rvert^2$).
• Dimenticare che $G$ del filtro discreto è periodica: la banda si limita a un periodo.
• Dire che un filtro ideale è realizzabile: non è causale.

Vedi anche: Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale → e Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM → nella materia gemella; Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) → per il filtro RC come circuito.