Interpolazione LTI e teorema del campionamento

Le due tf ibride fondamentali sono il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ e il filtro interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ (Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →). Questa nota sviluppa il campionamento e la ricostruzione con le convenzioni del corso (somme pesate con $T$, $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T$); vedi anche la sintesi di Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione → e la nota gemella Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing → (che usa $\omega$ e altre convenzioni).

Il campionamento

Definizione (campionatore). Il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ ha relazione ingresso-uscita $$s_c(nT)=s(nT),\qquad nT\in\mathbb Z(T).$$ $T$ è il periodo di campionamento, $F_c=\frac1T$ la frequenza di campionamento (campioni al secondo).

È lineare, istantaneo (senza memoria) e periodicamente tempo-invariante (invariante solo per ritardi multipli di $T$). Nel dominio della frequenza vale la ripetizione periodica (formula di Poisson, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →):

Formula (spettro del segnale campionato). $$S_c(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S(f-kF_c)=\operatorname{rep}_{F_c}S(f).$$ Con questa convenzione non c'è fattore $\frac1T$ (che invece compare quando si campiona con delta di Dirac).

Perché: $S_c(f)=\sum_nT\,s(nT)e^{-\mathrm i2\pi fnT}$ (trasformata di un segnale su $\mathbb Z(T)$, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →), e per la formula di Poisson questa somma vale $\sum_kS(f-kF_c)$.

I termini $S(f-kF_c)$ sono la replica principale ($k=0$) più le repliche laterali. Se si sovrappongono si ha aliasing: ad ogni frequenza $S_c(f)$ è la somma di più contributi e non si può più risalire a $S(f)$. Se non si sovrappongono, $S(f)$ è recuperabile da $S_c$.

Esempio 1. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}^2\frac tD$ ha $S(f)=A_0D\operatorname{triang}(Df)=A_0D\operatorname{triang}\frac fB$ con $B=\frac1D$: banda limitata. Se $F_c\ge2B$ le repliche non si sovrappongono (e $S_c=S$ in $(-B,B)$). Con $F_c=1{,}5B$ nel periodo $\left(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\right)$ si sommano la replica principale e le repliche $k=\pm1$: aliasing.

Esempio 2 (esponenziale causale). $s(t)=1(t)e^{-t/D}$ ha $S(f)=\frac D{1+\mathrm i2\pi fD}$, non a banda limitata: l'aliasing c'è per qualunque $F_c$. Poiché $1(0)=\frac12$, $s_c(nT)=\frac12$ in $n=0$ e $e^{-nT/D}$ per $n\ge1$, e $$S_c(f)=T\left[\frac12+\frac{e^{-T/D}e^{-\mathrm i2\pi fT}}{1-e^{-T/D}e^{-\mathrm i2\pi fT}}\right]$$ (serie geometrica), che è molto più semplice della serie $\sum_k\frac D{1+\mathrm i2\pi(f-kF_c)D}$.

Area ed energia dei campioni. Se $s$ è a banda limitata $B$ e $F_c>B$, la replica principale e quelle laterali non si sovrappongono nell'origine, quindi $S_c(0)=S(0)$ e l'area si conserva: $\sum_nT\,s_c(nT)=\int s(t)dt$. Se $F_c>2B$, per Parseval ($\int_{-F_c/2}^{F_c/2}\lvert S_c\rvert^2=\int\lvert S\rvert^2$) anche l'energia si conserva: $\sum_nT\lvert s_c(nT)\rvert^2=\int\lvert s\rvert^2dt$ (dimostrazioni ed esempio numerico in Esercizio - area ed energia di un segnale campionato).

Campionamento di un segnale discreto ($\mathbb Z(T)\to\mathbb Z(kT)$, tenere un campione ogni $k$). Il risultato in frequenza è ancora una ripetizione periodica, ma del segnale già periodico (periodo $\frac1T$) con il nuovo periodo $\frac1{kT}$: $$Y(f)=\sum_{j=0}^{k-1}X\!\left(f-\tfrac{j}{kT}\right).$$ Per esempio, tenendo un campione ogni $k=3$ di un segnale discreto con spettro di larghezza maggiore di $\frac1{3T}$ le $3$ repliche si sovrappongono (aliasing); il caso senza aliasing richiede che $X$ sia nullo fuori da un intervallo di larghezza $\frac1{kT}$ in un periodo.

L'interpolazione LTI

Definizione (filtro interpolatore). Il filtro interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g(t)$, $t\in\mathbb R$, ha $$\tilde s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,g(t-nT)\,s(nT)=\sum_ns(nT)\,g_0(t-nT),\qquad g_0(t)=T\,g(t).$$ $g_0$ è la funzione interpolatrice; $g$ è l'uscita quando all'ingresso c'è l'impulso discreto $\delta_{\mathbb Z(T)}$ (di altezza $\frac1T$).

È lineare, non istantaneo (usa passato e futuro dei campioni, a meno che $g$ sia causale), e tempo-invariante (per i ritardi multipli di $T$, gli unici definiti sul dominio d'ingresso: Esercizio - campionatore e interpolatore, stabilità, linearità e tempo-invarianza). L'uscita è la somma dei contributi $s(nT)\,g_0(t-nT)$ di ogni campione: la funzione interpolatrice, traslata e scalata, "piantata" su ogni campione.

Condizione (corretta interpolazione). Il segnale interpolato passa per i campioni, $\tilde s(nT)=s(nT)$ per ogni segnale discreto $s$, se e solo se $$g_0(nT)=\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq0\end{cases}$$ (la funzione interpolatrice vale $1$ nell'origine e si annulla negli altri multipli di $T$).

Perché: $\tilde s(mT)=\sum_ns(nT)\,g_0((m-n)T)$ deve valere $s(mT)$ per ogni $s$, quindi i coefficienti di $s(nT)$ devono essere $\delta_{mn}$.

Esempi ($T$ fissato):

Esempio. Campioni $s(nT)=(0,1,3,2,0)$ per $n=0,\dots,4$: l'interpolatore lineare collega i punti con segmenti ($\tilde s(1{,}5T)=2$, la media tra $1$ e $3$), l'interpolatore a tenuta dà $\tilde s(t)=3$ su $[2T,3T)$.

In frequenza il filtro interpolatore ha la stessa relazione dei filtri ordinari: trasformando $\tilde s=\sum Tg(t-nT)s(nT)$ e usando $g(t-nT)\to G(f)e^{-\mathrm i2\pi fnT}$, $$\tilde S(f)=G(f)\,S(f),$$ con $S(f)=\sum_nT\,s(nT)e^{-\mathrm i2\pi fnT}$ periodica di periodo $F_c$ e $G$ aperiodica: il prodotto è aperiodico, come deve essere per un segnale continuo.

Interpolatore seguito da un filtro. Un interpolatore con risposta impulsiva $g_1$ seguito da un filtro ordinario $g_2$ è equivalente a un interpolatore con $g=g_1*g_2$ (Es. 13.3A). Per esempio un interpolatore con $g_1=A_1\operatorname{triang}\frac t{D_1}$ seguito da $g_2=A_2\operatorname{rect}\frac t{D_2}$ con $D_1=\frac T2$, $D_2=T$, $A_1A_2=2$ ha funzione interpolatrice parabolica a tratti (Esercizio - interpolatori in cascata e interpolazione parabolica a tratti).

Campionamento seguito da interpolazione

Con lo schema campionatore $\to$ interpolatore (con funzione interpolatrice $g_0$) si ha

$$\tilde s(t)=\sum_ns(nT)\,g_0(t-nT),\qquad\tilde S(f)=G(f)\sum_{k=-\infty}^{\infty}S(f-kF_c).$$

In generale non si recupera $s$: il campionamento perde informazione (esistono infiniti segnali con gli stessi campioni).

Il teorema del campionamento

Teorema (del campionamento). Sia $s(t)$ con estensione spettrale limitata, $\mathcal E(s)=(-B,B)$, $B<\infty$. Se $$F_c=\frac1T\ \ge\ 2B,$$ allora $s$ può essere ricostruito esattamente dai suoi campioni $s(nT)$ con il filtro interpolatore di risposta in frequenza $Q(f)=\operatorname{rect}\frac f{F_c}$, cioè funzione interpolatrice $q_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$: $$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\,\operatorname{sinc}\big[F_c(t-nT)\big].$$

Dimostrazione. Per $F_c\ge2B$ le repliche di $S$ non si sovrappongono (condizione di non aliasing): ogni replica $S(f-kF_c)$ occupa $(kF_c-B,kF_c+B)$ e la finestra $\operatorname{rect}\frac f{F_c}$ è $1$ su $\left(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\right)\supseteq(-B,B)$ e fuori dalle altre repliche. Allora $$S_c(f)\,Q(f)=\sum_kS(f-kF_c)\,Q(f)=S(f)\,Q(f)=S(f)$$ (solo il termine $k=0$ sopravvive, e sopravvive intero). Dunque $\tilde S=S$ e, per l'unicità dell'antitrasformata, $\tilde s=s$. La formula di interpolazione è $\tilde s=\sum s(nT)q_0(t-nT)$ con $q_0=Tq=\operatorname{sinc}(F_ct)$. $\square$

Osservazioni:

• La limitazione in banda è necessaria ma non sufficiente: con $F_c<2B$ c'è aliasing anche se $S$ è a banda limitata.
• $F_N=\frac{F_c}2$ si chiama frequenza di Nyquist: è la banda del filtro $Q$. La frequenza $2B$ è il minimo di campionamento (tasso di Nyquist).
• Il filtro $Q$ è il passa-basso ideale: anticipatorio, non realizzabile in tempo reale (la formula richiede anche i campioni futuri). Nella pratica un filtro reale, che si scosta da $Q$, introduce un errore (v. sotto).
• Se $F_c>2B$ in senso stretto, il filtro non è unico: basta $Q_\alpha(f)=1$ per $\lvert f\rvert<B$, $=0$ per $\lvert f\rvert>F_c-B$, $\alpha(f)$ arbitraria in mezzo; in pratica si usa una transizione graduale (coseno rialzato) per rendere il filtro realizzabile.
• Con una estensione spettrale (complessa) contenuta in un intervallo di larghezza $W$ in una posizione qualunque, le repliche sono disgiunte se $F_c\ge W$, e basta un interpolatore passa-banda $\operatorname{rect}\frac{f-f_m}{F_c}$ centrato nel centro $f_m$ dell'intervallo (l'argomento è lo stesso).

Esempio 1. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$, $F_0=2\ \text{MHz}$: la trasformata è $\frac{A_0}{F_0}\operatorname{triang}\frac f{F_0}$, estesa su $(-F_0,F_0)$ con $B=F_0$: il minimo è $F_c=2F_0=4\ \text{MHz}$ (ricostruzione verificata numericamente con $F_0=2$: per $F_c=4$ l'errore è $10^{-14}$ in tre istanti, per $F_c=5$ è nullo, per $F_c=3$ è $0{,}011$-$0{,}072$ e per $F_c=2$ fino a $0{,}22$). Esempio 2. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}(F_0t)\cos(2\pi f_0t)$ con $F_0=2\ \text{kHz}$, $f_0=1\ \text{MHz}$: il $\operatorname{sinc}(F_0t)$ ha trasformata $\frac1{F_0}\operatorname{rect}\frac f{F_0}$, estesa su $\left(-\frac{F_0}2,\frac{F_0}2\right)=(-1,1)\ \text{kHz}$, e il coseno la trasla in $\pm f_0$: lo spettro occupa $\pm f_0\pm\frac{F_0}2$. L'estremo superiore è $B=f_0+\frac{F_0}2=1{,}001\ \text{MHz}$ e la condizione di non aliasing del teorema (con interpolatore passa-basso) è $F_c\ge2B=2{,}002\ \text{MHz}$ (v. Esercizio - ripetizione periodica e frequenza minima di campionamento). Poiché lo spettro è concentrato in due intervalli stretti lontani dall'origine, esistono anche schemi passa-banda che richiedono meno campioni, ma il teorema nella forma sopra non li usa.

Errori di ricostruzione

Se le ipotesi non valgono (limitazione in banda, non aliasing, interpolazione ideale) c'è l'errore $e(t)=\tilde s(t)-s(t)$. Con interpolatore ideale $Q$ (banda $\pm\frac{F_c}2$) ci sono due cause:

• errore in banda: le repliche laterali $S(f-kF_c)$, $k\neq0$, cadono dentro $\left(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\right)$ (aliasing);
• errore fuori banda: il termine utile $S(f)$ si estende oltre $\frac{F_c}2$ e il filtro lo taglia.

Poiché $E(f)=Q(f)S_c(f)-S(f)$ vale $\sum_{k\neq0}S(f-kF_c)$ per $\lvert f\rvert<\frac{F_c}2$ e $-S(f)$ per $\lvert f\rvert>\frac{F_c}2$, l'energia dell'errore è $$\mathcal E_e=\int_{-F_c/2}^{F_c/2}\Big\lvert\sum_{k\neq0}S(f-kF_c)\Big\rvert^2df\ +\ \int_{\lvert f\rvert>F_c/2}\lvert S(f)\rvert^2df.$$

Esempio. $s(t)=1(t)e^{-t/D}$ con $D=1$, $F_c=2$: energia del segnale $\frac D2=0{,}5$, errore in banda $0{,}0151$, errore fuori banda $0{,}0502$, totale $0{,}0653$ (la ricostruzione calcolata nel tempo dà $0{,}0654$). Il rapporto segnale/errore è $\Lambda=\frac{0{,}5}{0{,}0653}=7{,}65=8{,}8\ \text{dB}$. In generale i due contributi sono di solito paragonabili (non sempre uguali).

Per giudicare la qualità si usa il rapporto segnale/disturbo $\Lambda=\frac{\text{potenza del segnale}}{\text{potenza dell'errore}}$: $30\ \text{dB}$ per prestazioni modeste, $90$-$100\ \text{dB}$ per altissima qualità.

Prefiltro anti-aliasing. Se prima del campionatore si inserisce un passa-basso ideale di banda $\frac{F_c}2$ (schema prefiltro $\to$ campionatore $\to$ interpolatore), l'errore fuori banda viene prodotto subito, prima della trasmissione, ma il segnale campionato soddisfa la condizione di non aliasing e l'errore in banda scompare. L'errore totale si riduce (nell'esempio sopra al solo $0{,}0502$ invece di $0{,}0653$) senza passare da un sistema ideale in ricezione.

Errori comuni

• Mettere il fattore $\frac1T$ nella ripetizione periodica: nella convenzione del corso non c'è (c'è nel campionamento con delta di Dirac).
• Dimenticare che il peso è $T$ nell'interpolazione, e che $g_0=Tg$.
• Scrivere $F_c\ge B$ invece di $F_c\ge2B$ per segnali reali passa-basso con banda $B$.
• Scambiare banda e larghezza di banda: per $\mathcal E=(-B,B)$ la banda è $B$ e la larghezza $2B$.