Esercizio - filtro passa-alto ideale e segnale sinc^n attraverso un passa-basso ideale

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Testo (dispense del corso, Cap. 9; esercizi 9.7A e 9.7B).

• Es. 9.7A. Trovare la risposta impulsiva del filtro passa-alto ideale.
• Es. 9.7B. Il segnale $x(t)=\operatorname{sinc}^n(t/T)$ viene applicato a un filtro passa-basso ideale di banda $B$. Dire per quali valori di $T$ e di $n$ il segnale $x(t)$ non viene distorto dal filtro.

Teoria usata: Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri → (filtri ideali, estensione spettrale), Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier → (prodotto nel tempo e convoluzione in frequenza), Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali → (Parseval).

Convenzioni. $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}$, $\operatorname{rect}(x)=1$ per $\lvert x\rvert<\frac12$, $\operatorname{tri}(x)=1-\lvert x\rvert$ per $\lvert x\rvert<1$. Coppie usate: $\operatorname{rect}(\tfrac t D)\leftrightarrow D\operatorname{sinc}(Df)$, $\operatorname{sinc}(\tfrac tD)\leftrightarrow D\operatorname{rect}(Df)$, $\operatorname{sinc}^2(\tfrac tD)\leftrightarrow D\operatorname{tri}(Df)$, $\delta(t)\leftrightarrow1$. Un filtro ideale con banda passante $\mathcal B$ ha $G(f)=1$ in $\mathcal B$ e $0$ fuori. L'estensione spettrale $E(x)$ di un segnale è l'insieme delle frequenze in cui $X(f)\ne0$.

(1) Risposta impulsiva del filtro passa-alto ideale (Es. 9.7A)

Definizione. Il passa-alto ideale (reale) di frequenza di taglio $f_0$ ha banda passante $\mathcal B=(-\infty,-f_0)\cup(f_0,+\infty)$ e quindi $$G(f)=\begin{cases}1&\lvert f\rvert>f_0\\0&\lvert f\rvert<f_0\end{cases}$$

Passo 1: scrivere $G$ come complemento di un passa-basso. La banda passante è il complemento di $(-f_0,f_0)$. Poiché il passa-basso ideale di banda $f_0$ ha $G_{\mathrm{pb}}(f)=\operatorname{rect}\!\big(\tfrac f{2f_0}\big)$ (vale $1$ per $\lvert f\rvert<f_0$), si ha $$G(f)=1-\operatorname{rect}\!\Big(\frac f{2f_0}\Big).$$ (Il calcolo diretto $g(t)=\int_{\mathcal B}e^{i2\pi ft}df$ della (9.44) non converge in senso ordinario su una semiretta infinita, per questo si passa dal complemento.)

Passo 2: antitrasformare termine a termine. La costante $1$ è la trasformata dell'impulso $\delta(t)$ (il sistema "passa-tutto": $G=1$, risposta impulsiva $\delta$). Il rettangolo, con $B=f_0$, ha antitrasformata $2f_0\operatorname{sinc}(2f_0t)$ (formula (9.46) delle dispense).

$$\boxed{\,g(t)=\delta(t)-2f_0\,\operatorname{sinc}(2f_0t)\,}$$

Controlli.

• Reale: $G(f)$ è pari (quindi hermitiana) e $g$ è reale: la banda passante è simmetrica rispetto all'origine.
• Area nulla: $\int g\,dt=1-2f_0\cdot\frac1{2f_0}=0$, cioè $G(0)=0$: il passa-alto blocca la componente continua.
• Non causale: la parte $-2f_0\operatorname{sinc}(2f_0t)$ è diversa da zero anche per $t<0$. Come tutti i filtri ideali, il passa-alto non è realizzabile.
• Non stabile (BIBO): $\int\lvert g\rvert$ contiene $\int\lvert\operatorname{sinc}\rvert=\infty$ (si comporta come la serie armonica).

Esempio 1: toni sinusoidali. Con $f_0=3\ \text{Hz}$ si applica $x(t)=2+3\cos(2\pi\cdot1\,t)+\cos(2\pi\cdot5\,t)+0{,}5\cos(2\pi\cdot8\,t)$. Il filtro lascia passare i toni con frequenza $>3$ e cancella gli altri (compresa la costante, frequenza $0$): $$y(t)=\cos(2\pi\cdot5\,t)+0{,}5\cos(2\pi\cdot8\,t).$$ Verifica numerica con la FFT su un secondo (numero intero di periodi): scarto massimo $3\cdot10^{-15}$.

Esempio 2: segnale tutto in banda oscura. $x(t)=\operatorname{sinc}(2t)$ ha $X(f)=\frac12\operatorname{rect}(\tfrac f2)$, con estensione $(-1,1)$ tutta contenuta in $\lvert f\rvert<3$: l'uscita è identicamente nulla. Numericamente l'energia dell'uscita è $5\cdot10^{-10}$ contro $0{,}5$ in ingresso.

Esempio 3: risposta al gradino (con $f_0=1$). Dalla risposta impulsiva si integra: $r(t)=\int_{-\infty}^tg(u)\,du=\mathbf 1(t)-\Big[\tfrac12+\tfrac1\pi\operatorname{Si}(2\pi f_0t)\Big]$, dove $\operatorname{Si}(z)=\int_0^z\frac{\sin w}{w}dw$ (seno integrale; il termine fra parentesi è l'integrale di $2f_0\operatorname{sinc}(2f_0u)$ da $-\infty$ a $t$). Valori (verificati integrando numericamente):

Il gradino produce un salto di ampiezza $1$ in $t=0$ (da $-\frac12$ a $+\frac12$), poi l'uscita decade a zero oscillando: per $t\to\infty$ vale $0$, come deve essere per un filtro che elimina la componente continua. Per $t<0$ l'uscita è già diversa da zero ($r(-0{,}5)=0{,}0895$): è la manifestazione della non causalità.

(2) Quando $\operatorname{sinc}^n(t/T)$ passa inalterato in un passa-basso ideale (Es. 9.7B)

Criterio. Per un filtro ideale $Y(f)=G(f)X(f)=X(f)$ per $f\in\mathcal B$ e $0$ fuori. Quindi il segnale esce inalterato se e solo se $X(f)=0$ fuori dalla banda passante, cioè se l'estensione spettrale $E(x)$ è contenuta nella banda passante; qui $\mathcal B=(-B,B)$ (banda di $G(f)=\operatorname{rect}\frac f{2B}$). Se invece una parte dello spettro cade nella banda oscura, quella parte viene cancellata e il segnale è distorto.

Passo 1: lo spettro di $\operatorname{sinc}^n(t/T)$.

• $n=1$: $\operatorname{sinc}(\tfrac tT)\leftrightarrow X_1(f)=T\operatorname{rect}(Tf)$, estensione $\big(-\tfrac1{2T},\tfrac1{2T}\big)$.
• $n=2$: $\operatorname{sinc}^2(\tfrac tT)\leftrightarrow X_2(f)=T\operatorname{tri}(Tf)$, estensione $\big(-\tfrac1T,\tfrac1T\big)$.
• $n=3$: $\operatorname{sinc}^3=\operatorname{sinc}^2\cdot\operatorname{sinc}$ è un prodotto, quindi il suo spettro è la convoluzione fra $X_2$ e $X_1$: $$X_3(f)=\int T\operatorname{tri}(Tv)\,T\operatorname{rect}\big(T(f-v)\big)\,dv=T\int_{Tf-\frac12}^{Tf+\frac12}\operatorname{tri}(w)\,dw ,$$ dove si è posto $w=Tv$. Con $s=Tf$ l'integrale della triangolare su una finestra di larghezza $1$ vale $\frac34-s^2$ per $\lvert s\rvert\le\frac12$ e $\frac12\big(\frac32-\lvert s\rvert\big)^2$ per $\frac12\le\lvert s\rvert\le\frac32$, e $0$ oltre. Quindi $$X_3(f)=T\cdot\begin{cases}\frac34-(Tf)^2&\lvert Tf\rvert\le\frac12\\[1mm]\frac12\big(\frac32-\lvert Tf\rvert\big)^2&\frac12\le\lvert Tf\rvert\le\frac32\\[1mm]0&\text{altrove}\end{cases}$$ con estensione $\big(-\tfrac3{2T},\tfrac3{2T}\big)$. Controlli: la parabola e il tratto quadratico coincidono in $\lvert s\rvert=\frac12$ (valore $\frac12$) e la funzione è continua e liscia; $X_3(0)=\frac34T$, che è l'area di $\operatorname{sinc}^3$; l'area di $X_3$ è $1=x(0)$. I valori sono confermati integrando numericamente la trasformata di $\operatorname{sinc}^3(t)$ ($T=1$): $X_3(0)=0{,}75$, $X_3(0{,}25)=0{,}6875$, $X_3(0{,}5)=0{,}5$, $X_3(1)=0{,}125$, $X_3(1{,}5)=0$.

Regola generale. Il prodotto di $n$ segnali con estensione $\big(-\tfrac1{2T},\tfrac1{2T}\big)$ ha come spettro la convoluzione di $n$ rettangoli: l'estensione della convoluzione di due funzioni è la somma delle estensioni (intervalli centrati in $0$ di semi-larghezze $a$ e $b$ danno un intervallo di semi-larghezza $a+b$). Quindi $$E\big(\operatorname{sinc}^n(\tfrac tT)\big)=\Big(-\frac n{2T},\ \frac n{2T}\Big),\qquad\text{banda del segnale}\ =\frac n{2T}.$$ Più si eleva a potenza, più il segnale ha banda larga, anche se nel tempo diventa più concentrato.

Passo 2: condizione. Il segnale non è distorto se e solo se $\frac n{2T}\le B$. (Gli estremi non contano: $X_n$ vale zero agli estremi, o comunque un punto ha misura nulla.) Se invece $\frac n{2T}>B$, $X_n(f)>0$ in un intervallo di frequenze fuori da $(-B,B)$, che viene tagliato.

$$\boxed{\ x(t)=\operatorname{sinc}^n(t/T)\ \text{non è distorto}\iff\frac{n}{2T}\le B\iff T\ge\frac n{2B}\iff n\le2BT\ }$$

Tre casi (e il caso banale $n=0$, $x=1$, che ha $X=\delta(f)$ e passa sempre):

Che cosa succede quando $\frac n{2T}>B$: la parte tagliata. Il segnale d'uscita ha spettro $X_n(f)\operatorname{rect}\frac f{2B}$. Per Parseval (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →) l'energia dell'errore $x-y$ è l'energia di $X_n$ fuori da $(-B,B)$. Con $\beta=BT$ e le energie $\frac23$ ($n=2$) e $\frac{11}{20}$ ($n=3$) degli spettri normalizzati ($T=1$), la frazione di energia persa è $$n=1:\ 1-2\beta\ \ (\beta<\tfrac12),\qquad n=2:\ (1-\beta)^3\ \ (\beta<1),\qquad n=3:\ \frac{(3/2-\beta)^5}{11/2}\ \ (\tfrac12\le\beta<\tfrac32).$$ Per il caso $n=2$ si è usato $2\int_\beta^1(1-s)^2ds=\frac23(1-\beta)^3$; per $n=3$, $2\int_\beta^{3/2}\big[\frac12(\frac32-s)^2\big]^2ds=\frac{(3/2-\beta)^5}{10}$ diviso per $\frac{11}{20}$.

Esempio numerico con $B=10\ \text{Hz}$. La banda minima richiesta è $\frac n{2T}$; i limiti sono $T\ge0{,}05\ \text{s}$ per $n=1$, $T\ge0{,}1\ \text{s}$ per $n=2$, $T\ge0{,}15\ \text{s}$ per $n=3$. L'errore relativo $\lVert x-y\rVert/\lVert x\rVert$ si è calcolato filtrando con la FFT il segnale campionato su una finestra di $3000$ s ($\Delta t=2$ ms) e coincide con la radice della frazione teorica:

(Per $n=1$ la coda lunga del $\operatorname{sinc}$ non entra nella finestra di $3000$ s: il residuo non nullo osservato, dell'ordine di $10^{-3}$ o meno, è l'effetto del troncamento, non del filtro.)

Errori tipici

• Dimenticare che l'estensione dello spettro di $\operatorname{sinc}^n$ cresce con $n$ (somma delle estensioni nel prodotto): $\operatorname{sinc}^2$ ha banda doppia di $\operatorname{sinc}$.
• Confondere banda $B$ ($=$ semi-larghezza del passa-basso) con la larghezza di banda $2B$: la condizione è sulla semi-larghezza, $\frac n{2T}\le B$.
• Dire che il filtro "distorce poco" quando $\frac n{2T}$ supera appena $B$: è vero in energia, ma per la definizione del corso il segnale è distorto non appena una parte dello spettro viene tagliata.

Vedi anche: Esercizio - connessioni in cascata e in parallelo di trasformazioni LTI (il passa-alto è il "parallelo" fra passa-tutto e passa-basso cambiato di segno, $G=1-G_{\mathrm{pb}}$) e, nella materia gemella, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →.