Esercizio - proprietà della convoluzione

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.8A, 2.8B, 2.8F, 2.8G).

• 2.8A. Provare che la convoluzione di un segnale reale qualsiasi $x(t)$ con un segnale sinusoidale $y(t)=A_0\cos(\omega_0t+\varphi_0)$ è sempre un segnale sinusoidale con la stessa frequenza di $y(t)$.
• 2.8B. Provare che se $x(t)$ e $y(t)$ sono derivabili, la derivata della loro convoluzione $s=x*y$ vale $s'=x'*y=x*y'$.
• 2.8F. Dimostrare la proprietà associativa della convoluzione.
• 2.8G. Dimostrare che $x*y_{t_0}=(x*y)_{t_0}$, dove $y_{t_0}(t)=y(t-t_0)$ (la convoluzione con un segnale traslato è la convoluzione traslata).

Teoria usata: ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →.

La definizione

La convoluzione di due segnali è il nuovo segnale $$s(t)=x*y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(t-u)\,du .$$ Per calcolarla in un istante $t$ fissato: si ribalta $y$ ($y(-u)$), la si trasla di $t$ ($y(t-u)$), si moltiplica per $x(u)$ e si integra su $u$. Con il cambio di variabile $v=t-u$ (e quindi $u=t-v$, $du=-dv$, con gli estremi $\pm\infty$ scambiati, il che ripristina il segno) si ottiene la forma equivalente, che mette i ruoli dei segnali al contrario: $$s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-v)\,y(v)\,dv=y*x(t)\qquad(\text{commutatività}).$$ Useremo spesso entrambe le forme. Gli integrali si assumono esistenti (per esempio segnali di area assoluta finita).

(Es. 2.8A) Convoluzione con una sinusoide

Passo 1: si scrive la convoluzione. Con la seconda forma (tengo fisso $x$ e uso la sinusoide ribaltata e traslata): $$s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,A_0\cos\big(\omega_0(t-u)+\varphi_0\big)\,du .$$

Passo 2: si separano $t$ e $u$. L'argomento del coseno è $\big(\omega_0t+\varphi_0\big)-\omega_0u$. Con la formula di sottrazione $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →), ponendo $a=\omega_0t+\varphi_0$ e $b=\omega_0u$: $$\cos\big(\omega_0(t-u)+\varphi_0\big)=\cos(\omega_0t+\varphi_0)\cos\omega_0u+\sin(\omega_0t+\varphi_0)\sin\omega_0u .$$ Il vantaggio: $\cos(\omega_0t+\varphi_0)$ e $\sin(\omega_0t+\varphi_0)$ non dipendono da $u$, quindi escono dall'integrale.

Passo 3: due numeri. Dentro l'integrale restano solo $x(u)\cos\omega_0u$ e $x(u)\sin\omega_0u$, il cui integrale non dipende da $t$: $$C=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\cos\omega_0u\,du,\qquad S=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\sin\omega_0u\,du .$$ Sono due numeri reali (perché $x$ è reale). Allora $$s(t)=A_0\big[C\cos(\omega_0t+\varphi_0)+S\sin(\omega_0t+\varphi_0)\big].$$

Passo 4: si riunisce in un solo coseno. Si scrive $C=R\cos\theta$ e $S=R\sin\theta$ con $R=\sqrt{C^2+S^2}\ge0$ e $\theta=\operatorname{atan2}(S,C)$ (coordinate polari del punto $(C,S)$). Ancora con $\cos a\cos\theta+\sin a\sin\theta=\cos(a-\theta)$: $$\boxed{s(t)=A_0R\,\cos\big(\omega_0t+\varphi_0-\theta\big)}$$ È una sinusoide con la stessa pulsazione $\omega_0$ (quindi stessa frequenza), ampiezza $A_0R$ e fase $\varphi_0-\theta$. (Se $C=S=0$ il risultato è il segnale nullo, che è una sinusoide di ampiezza zero.) $\square$

Che cosa sono $R$ e $\theta$. Con $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$ la trasformata di Fourier di $x$ in $f_0$ è $X(f_0)=\int x(u)e^{-i\omega_0u}du=C-iS$ (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →). Quindi $R=\lvert X(f_0)\rvert$ e $-\theta=\arg X(f_0)$: la convoluzione moltiplica l'ampiezza per $\lvert X(f_0)\rvert$ e somma $\arg X(f_0)$ alla fase. È il fatto che un filtro lineare (convoluzione con la risposta impulsiva) trasforma una sinusoide in una sinusoide della stessa frequenza, con ampiezza e fase date dalla risposta in frequenza (Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →).

Esempio 1: $x(u)=e^{-u}\mathbf 1(u)$ e $y(t)=2\cos(3t+0{,}5)$. $A_0=2$, $\omega_0=3$, $\varphi_0=0{,}5$. $C=\int_0^{\infty}e^{-u}\cos3u\,du=\frac{1}{1+9}=0{,}1$ e $S=\int_0^{\infty}e^{-u}\sin3u\,du=\frac{3}{10}=0{,}3$ (integrali notevoli, per parti: Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →). Allora $R=\sqrt{0{,}01+0{,}09}=\frac1{\sqrt{10}}\approx0{,}3162$ e $\theta=\arctan\frac{0{,}3}{0{,}1}=\arctan3\approx1{,}2490$. Risultato: $$s(t)=\frac{2}{\sqrt{10}}\cos(3t+0{,}5-1{,}2490)=0{,}6325\cos(3t-0{,}7490).$$ In accordo con $X(f_0)=\frac{1}{1+i\omega_0}=\frac1{1+3i}$: modulo $\frac1{\sqrt{10}}$, fase $-\arctan3$ ✓. Controllo numerico dell'integrale di convoluzione in $t=1{,}7$: $-0{,}223647$, e la formula dà $-0{,}223647$.

Esempio 2 (dalle dispense, Es. 2.8C): $x(u)=A_1\operatorname{rect}\left(\frac u{2D}\right)$ e $y(t)=A_2\cos\omega_0t$ ($\varphi_0=0$). $S=0$ ($x$ è pari e $\sin$ è dispari: integrale nullo) e $C=A_1\int_{-D}^{D}\cos\omega_0u\,du=\frac{2A_1\sin\omega_0D}{\omega_0}$, quindi $s(t)=\frac{2A_1A_2\sin\omega_0D}{\omega_0}\cos\omega_0t$: stessa pulsazione, ampiezza ridotta del fattore $\frac{2A_1\sin\omega_0D}{\omega_0}$ (si ritrova la $\operatorname{sinc}$).

(Es. 2.8B) Derivata della convoluzione: $s'=x'*y=x*y'$

Idea. Nella convoluzione $t$ compare in un solo posto: o in $x(t-v)$ (seconda forma) o in $y(t-u)$ (prima forma). Derivare rispetto a $t$ significa derivare solo quel fattore, e il fattore derivato è la derivata del segnale calcolata nell'argomento $t-v$ (o $t-u$).

Dimostrazione. Si usa la forma $s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-v)\,y(v)\,dv$. Derivando rispetto a $t$ e portando la derivata dentro l'integrale (derivazione sotto il segno di integrale: è lecita quando gli integrali esistono, per esempio se $x'$ è continua e limitata e $y$ ha area assoluta finita, Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →): $$s'(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d}{dt}\big[x(t-v)\big]\,y(v)\,dv=\int_{-\infty}^{+\infty}x'(t-v)\,y(v)\,dv=(x'*y)(t),$$ perché la derivata di $x(t-v)$ rispetto a $t$ è $x'(t-v)$ (la derivata dell'argomento $t-v$ rispetto a $t$ vale $1$). Questo dimostra $s'=x'*y$.

Per la seconda uguaglianza si ripete il ragionamento sulla prima forma $s(t)=\int x(u)y(t-u)\,du$: $s'(t)=\int x(u)\,y'(t-u)\,du=(x*y')(t)$. (In alternativa: $s=y*x$ per commutatività, quindi, per quanto appena dimostrato, $s'=y'*x=x*y'$.) $\square$

Esempio numerico: due gaussiane. $x(t)=e^{-\pi t^2}$, $y(t)=e^{-2\pi t^2}$. La convoluzione di due gaussiane è una gaussiana (Esempio 2.8D delle dispense, con $\alpha=1$, $\beta=2$): $s(t)=\frac{1}{\sqrt3}e^{-\frac{2\pi}{3}t^2}$. La derivata di $s$ è $s'(t)=-\frac{4\pi t}{3}s(t)$; in $t=0{,}7$: $s=0{,}20689$ e $s'=-0{,}60664$. Calcolando numericamente gli integrali $\int x'(0{,}7-v)y(v)\,dv$ e $\int x(0{,}7-v)y'(v)\,dv$ (con $x'(t)=-2\pi te^{-\pi t^2}$ e $y'(t)=-4\pi te^{-2\pi t^2}$) si trova $-0{,}60664$ in entrambi i casi ✓.

Con gli impulsi. La regola vale anche con derivate generalizzate. Esempio: la convoluzione di $x(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$ con il gradino $\mathbf 1(t)$ è la rampa saturata $s(t)$ (vedi Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari, Esempio 2.8B). Poiché $\mathbf 1'=\delta$ e $x*\delta=x$: $s'=x*\mathbf 1'=x*\delta=x$. La derivata di $s$ è proprio il rettangolo $x$: pendenza $A$ tra $-D$ e $D$, zero fuori ✓.

(Es. 2.8F) Associatività: $(x*y)*z=x*(y*z)$

Dimostrazione. Si scrive $(x*y)*z$ con la definizione, usando due variabili di integrazione: $$\big((x*y)*z\big)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\underbrace{\Big(\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(v-u)\,du\Big)}_{(x*y)(v)}z(t-v)\,dv=\iint x(u)\,y(v-u)\,z(t-v)\,du\,dv .$$ Si scambia l'ordine di integrazione (teorema di Fubini, lecito quando gli integrali convergono assolutamente, Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →): si integra prima in $v$ a $u$ fissato: $$=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\Big(\int_{-\infty}^{+\infty}y(v-u)\,z(t-v)\,dv\Big)du .$$ Nell'integrale interno si pone $w=v-u$ (a $u$ fissato: $v=u+w$, $dv=dw$, gli estremi restano $\pm\infty$). Allora $y(v-u)=y(w)$ e $z(t-v)=z(t-u-w)=z\big((t-u)-w\big)$: $$\int_{-\infty}^{+\infty}y(w)\,z\big((t-u)-w\big)\,dw=(y*z)(t-u).$$ Quindi $$\big((x*y)*z\big)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,(y*z)(t-u)\,du=\big(x*(y*z)\big)(t).\qquad\square$$ Conseguenza: si può scrivere $x*y*z$ senza parentesi. Per i sistemi: due filtri in cascata equivalgono a un solo filtro con risposta impulsiva $h_1*h_2$.

Esempio numerico. Con tre esponenziali causali $x=e^{-t}\mathbf 1(t)$, $y=e^{-2t}\mathbf 1(t)$, $z=e^{-3t}\mathbf 1(t)$ e la formula dei due esponenziali (Esercizio - convoluzione di gradino ed esponenziali causali): $x*y=e^{-t}-e^{-2t}$ e $y*z=e^{-2t}-e^{-3t}$ (per $t>0$). In $t=1{,}5$ i due raggruppamenti $\int_0^{t}(x*y)(v)z(t-v)dv$ e $\int_0^{t}x(u)(y*z)(t-u)du$ valgono entrambi $0{,}067333$ e coincidono con la forma chiusa $\frac12e^{-t}-e^{-2t}+\frac12e^{-3t}$ (sviluppo in frazioni parziali).

(Es. 2.8G) Traslazione: $x*y_{t_0}=(x*y)_{t_0}$

Dimostrazione. Si scrive la convoluzione con il segnale traslato $y_{t_0}(t)=y(t-t_0)$: $$(x*y_{t_0})(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y_{t_0}(t-u)\,du=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y\big(t-u-t_0\big)\,du .$$ L'argomento è $t-u-t_0=(t-t_0)-u$: è esattamente l'argomento che compare nella convoluzione $x*y$ calcolata nell'istante $t-t_0$. Quindi l'integrale è $$\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y\big((t-t_0)-u\big)\,du=(x*y)(t-t_0)=(x*y)_{t_0}(t).\qquad\square$$ (Nessun cambio di variabile serve: basta leggere bene l'argomento. Nelle dispense la dimostrazione usa il cambio $v=t-u$ nella forma $\int x(t-u)y(u-t_0)\,du$ e ci sono refusi di scrittura: compare $dt$ al posto di $du$ nell'integrale e $du$ al posto di $dv$ nel secondo passaggio. Il risultato è corretto.)

Corollari. Per commutatività anche $x_{t_0}*y=(x*y)_{t_0}$. Se si trasla $x$ di $a$ e $y$ di $b$, la convoluzione è traslata di $a+b$ (Es. 2.8M): $x_a*y_b=(x*y)_{a+b}$. Sull'estensione: se $e[x]=[t_x,T_x]$ ed $e[y]=[t_y,T_y]$ allora $e[x*y]=[t_x+t_y,T_x+T_y]$, coerente con la somma degli spostamenti.

Esempio numerico. $x(u)=\operatorname{rect}(u)$ (1 per $\lvert u\rvert<\frac12$), $y(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$, $t_0=1{,}7$. La convoluzione $s=x*y$ vale $0$ per $t<-\frac12$, $1-e^{-(t+1/2)}$ per $-\frac12<t<\frac12$ e $e^{-t}(e^{1/2}-e^{-1/2})$ per $t>\frac12$. In $t=3{,}1$: $s(3{,}1-1{,}7)=s(1{,}4)=e^{-1{,}4}(e^{1/2}-e^{-1/2})\approx0{,}2570$, e l'integrale $(x*y_{t_0})(3{,}1)$ calcolato numericamente dà $0{,}2570$. In $t=2$: $s(0{,}3)=1-e^{-0{,}8}\approx0{,}5507$, e l'integrale numerico dà $0{,}5507$ (qui il salto di $y_{t_0}$ cade dentro l'intervallo di integrazione).

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 2.8A: x = e^{-u} 1(u), y = 2 cos(3 t + 0.5)
w, A0, ph = 3.0, 2.0, 0.5
x = lambda u: np.exp(-u) * (u >= 0)
C = quad(lambda u: x(u)*np.cos(w*u), 0, np.inf)[0]
S = quad(lambda u: x(u)*np.sin(w*u), 0, np.inf)[0]
R, th = np.hypot(C, S), np.arctan2(S, C)
print(C, S, R, th)                                  # 0.1 0.3 0.3162 1.2490
for t in (0.9, 1.7):
    conv = quad(lambda u: x(u) * A0*np.cos(w*(t - u) + ph), 0, 60, limit=300)[0]
    print(t, conv, A0*R*np.cos(w*t + ph - th))     # uguali

# 2.8B: s = x*y con gaussiane; s' = x'*y = x*y'
xg = lambda t: np.exp(-np.pi*t**2)
yg = lambda t: np.exp(-2*np.pi*t**2)
dx = lambda t: -2*np.pi*t*np.exp(-np.pi*t**2)
dy = lambda t: -4*np.pi*t*np.exp(-2*np.pi*t**2)
s = lambda t: np.exp(-2*np.pi*t**2/3) / np.sqrt(3)
t = 0.7
print(quad(lambda v: dx(t - v)*yg(v), -np.inf, np.inf)[0],
      quad(lambda v: xg(t - v)*dy(v), -np.inf, np.inf)[0],
      -4*np.pi*t/3 * s(t))                         # tre numeri uguali: -0.6066

# 2.8F: associativita' con tre esponenziali causali (e^{-t}, e^{-2t}, e^{-3t})
xx = lambda t: np.exp(-t) * (t >= 0)
zz = lambda t: np.exp(-3*t) * (t >= 0)
xy = lambda t: (np.exp(-t) - np.exp(-2*t)) * (t >= 0)       # x*y
yz = lambda t: (np.exp(-2*t) - np.exp(-3*t)) * (t >= 0)     # y*z
t = 1.5
a = quad(lambda v: xy(v)*zz(t - v), 0, t)[0]
b = quad(lambda u: xx(u)*yz(t - u), 0, t)[0]
print(a, b, 0.5*np.exp(-t) - np.exp(-2*t) + 0.5*np.exp(-3*t))

# 2.8G: x*y_{t0} = (x*y)_{t0}, x = rect, y = e^{-t} 1(t), t0 = 1.7
rect = lambda u: ((u > -0.5) & (u < 0.5)) * 1.0
def s2(t):                                          # x*y in forma chiusa
    return 0.0 if t < -0.5 else (1 - np.exp(-(t + 0.5)) if t <= 0.5 else np.exp(-t)*(np.exp(0.5) - np.exp(-0.5)))
t0 = 1.7
for t in (2.0, 3.1):
    pts = [t - t0] if -0.5 < t - t0 < 0.5 else None
    lhs = quad(lambda u: rect(u) * np.exp(-(t - u - t0)) * (t - u - t0 >= 0), -0.5, 0.5, points=pts)[0]
    print(t, lhs, s2(t - t0))

Risultati: in $t=0{,}9$ e $t=1{,}7$ le convoluzioni numeriche sono $-0{,}234683$ e $-0{,}223647$ e la formula dà gli stessi valori; $C=0{,}1$, $S=0{,}3$, $R=0{,}3162$, $\theta=1{,}2490$; le tre quantità di 2.8B valgono $-0{,}606638$; per l'associatività i due raggruppamenti e la forma chiusa valgono tutti $0{,}067333$; per la traslazione i due membri coincidono ($t=2$: $0{,}550671$; $t=3{,}1$: $0{,}257001$).