Esercizio - esponenziale di un processo a simboli binari indipendenti (prova scritta del 30 maggio 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 30 maggio 2025, problema 2). Dal processo $x(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, a simboli indipendenti e binari, con funzione di probabilità del primo ordine $p_x(1;t)=p_x(-1;t)=\frac12$, si ottiene il processo $y(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, $$y(t)=e^{x(t)},\qquad t\in\mathbb Z(T).$$

1. Determinare se $y(t)$ è stazionario in senso lato e se è a simboli indipendenti.
2. Calcolare la probabilità $P[y(t)>0]$ e la funzione di probabilità del secondo ordine di $y(t)$.
3. Scrivere l'espressione della densità spettrale di potenza statistica di $y(t)$ e rappresentarla graficamente.

Teoria usata: Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →, Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →.

Il modello

A ogni istante $x(t)$ vale $+1$ o $-1$ con probabilità $\frac12$, con la stessa funzione di probabilità per ogni $t$, e i valori a istanti diversi sono indipendenti: $x$ è una successione di variabili indipendenti e identicamente distribuite. Allora $$y(t)=e^{x(t)}=\begin{cases}e=2{,}718&\text{con probabilità }\frac12\ (x=1)\\[1mm] e^{-1}=0{,}368&\text{con probabilità }\frac12\ (x=-1)\end{cases}$$ (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →: $e^{\cdot}$ è iniettiva, quindi le due probabilità si riportano sui due nuovi valori).

(1) Stazionarietà e indipendenza

Simboli indipendenti. $y(t)=\varphi(x(t))$ con $\varphi=e^{\cdot}$ la stessa funzione a ogni istante. Funzioni di variabili indipendenti sono indipendenti: per $t_1\ne t_2$, $y(t_1)$ e $y(t_2)$ sono indipendenti. Quindi $y$ è a simboli indipendenti.

Stazionarietà. Il primo ordine di $y$ è $p_y(e;t)=p_y(e^{-1};t)=\frac12$ per ogni $t$ (non dipende da $t$), e simboli indipendenti e identicamente distribuiti hanno la stessa legge congiunta di ogni ordine a istanti diversi, comunque traslati: $y$ è stazionario in senso stretto, e quindi anche in senso lato (i momenti sono finiti, vedi sotto). In modo diretto, per la stazionarietà in senso lato: $$m_y=E[e^{x}]=\tfrac12e+\tfrac12e^{-1}=\cosh1=1{,}5431,\qquad M_y=E[e^{2x}]=\tfrac12e^2+\tfrac12e^{-2}=\cosh2=3{,}7622$$ sono costanti, e la correlazione dipende solo da $t-s$ (punto (3)).

(2) Probabilità e funzione di probabilità del secondo ordine

$P[y(t)>0]$. $e^{x}>0$ per ogni valore di $x$ ($e^{\pm1}>0$): $y$ prende solo i valori $e$ e $e^{-1}$, entrambi positivi, quindi $$P[y(t)>0]=1.$$

Funzione di probabilità del secondo ordine $p_y(b_1,b_2;t_1,t_2)=P[y(t_1)=b_1,\,y(t_2)=b_2]$ con $b_1,b_2\in\{e,e^{-1}\}$ (zero altrove). Due casi:

• istanti distinti, $t_1\ne t_2$: i simboli sono indipendenti, $p_y(b_1,b_2)=p_y(b_1)\,p_y(b_2)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$ per ognuna delle 4 coppie;
• stesso istante, $t_1=t_2=t$: è la funzione di probabilità del primo ordine "su una diagonale": $y(t)=y(t)$, quindi solo le coppie uguali hanno probabilità, $p_y(e,e)=p_y(e^{-1},e^{-1})=\frac12$ e $p_y(e,e^{-1})=p_y(e^{-1},e)=0$.

In ogni colonna la somma è 1 e le marginali sono $\frac12,\frac12$ come devono.

(3) La densità spettrale di potenza

Media e varianza. Dal punto (1): $m_y=\cosh1=1{,}5431$, potenza $M_y=\cosh2=3{,}7622$, varianza $\sigma_y^2=M_y-m_y^2=\cosh2-\cosh^21=\frac{\cosh2-1}2=\sinh^21=1{,}3811$ (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →). Si è usato $\cosh^21=\frac{1+\cosh2}2$.

Correlazione. Per $t\ne s$ i valori sono indipendenti, $r_y(t,s)=E[y(t)]E[y(s)]=m_y^2=\cosh^21=2{,}3811$; per $t=s$ vale $M_y=\cosh2$. Quindi, con $\tau=t-s\in\mathbb Z(T)$: $$r_y(\tau)=m_y^2+\sigma_y^2\,\mathbf 1_{\{\tau=0\}}=m_y^2+T\sigma_y^2\,\delta_{\mathbb Z(T)}(\tau),$$ dove l'impulso ideale di $\mathbb Z(T)$ vale $\frac1T$ in 0 e quindi $T\delta_{\mathbb Z(T)}$ vale 1 in 0 e 0 altrove. Una costante più un impulso in 0: costante $m_y^2$ (parte dovuta alla media) più un "rumore bianco" discreto (parte dovuta alla varianza).

Trasformata. La densità spettrale di potenza di un processo su $\mathbb Z(T)$ è $R_y(f)=\sum_kT\,r_y(kT)\,e^{-i2\pi fkT}$, periodica di periodo $\frac1T$ (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →). Il termine della varianza è un solo campione ($k=0$) e dà una costante; quello della media è una costante in $k$, la cui trasformata è un pettine di delta (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →): $\sum_kT\,e^{-i2\pi fkT}=\sum_{m}\delta\big(f-\frac mT\big)$ (formula di Poisson). Dunque $$\boxed{R_y(f)=\underbrace{T\,\sigma_y^2}_{=\,T\sinh^21}+m_y^2\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\delta\Big(f-\frac mT\Big),\qquad m_y^2=\cosh^21}$$ cioè un livello costante $T\sigma_y^2=1{,}3811\,T$ (la parte bianca, dovuta alla variabilità dei simboli) e righe (delta) nei multipli di $\frac1T$ (cioè nella continua e nelle sue repliche), ognuna di area $m_y^2=2{,}3811$ (la parte dovuta alla media non nulla). Controllo sulla potenza (integrale su un periodo): $\int_{-1/2T}^{1/2T}R_y\,df=T\sigma_y^2\cdot\frac1T+m_y^2=\sigma_y^2+m_y^2=M_y=\cosh2$ ✓.

Per fare il grafico si usa l'asse $fT$ (a ogni unità c'è un periodo): il livello continuo in unità di $T$ è $\sinh^21=1{,}381$, le righe sono in $fT=0,\pm1,\pm2,\dots$.

Controllo numerico. Simulando $2\cdot10^5$ coppie $(y(t),y(s))$ con $x=\pm1$: $\overline y=1{,}542$ ($m_y=1{,}5431$), $\overline{y^2}=3{,}759$ ($M_y=3{,}7622$), varianza $1{,}3811$, e il prodotto di due istanti distinti ha media $2{,}375$ (attesa $m_y^2=2{,}3811$).

Errori tipici

• Dire che $y$ non è stazionario perché "$e^x$ non è lineare": una funzione senza memoria, uguale a ogni istante, di un processo i.i.d. dà ancora un processo i.i.d.
• Scrivere la PSD di un processo a simboli indipendenti come costante e basta: se la media è diversa da zero ($m_y\ne0$) la correlazione ha il termine costante $m_y^2$, che dà righe $\delta(f-\frac mT)$; la parte continua è solo la varianza, $T\sigma_y^2$.
• Dimenticare che la funzione di probabilità del secondo ordine a $t_1=t_2$ non è il prodotto: le coppie diverse hanno probabilità zero.

Vedi anche: Esercizio - processo a campioni indipendenti attraverso una finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025), Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →.