FormularioTeoria dei Segnali: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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1. Segnali a tempo continuo

Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni

Definizione (segnale a tempo continuo). Un segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C,\qquad t\mapsto s(t).$ È reale se $s(t)=s^*(t)$ per ogni $t$ , dove $^*$ indica il complesso coniugato.

Esempio. $s(t)=\cos(2\pi t)$ è reale; $s(t)=e^{i\pi t^2}$ è complesso, perché $s^*(t)=e^{-i\pi t^2}\ne s(t)$ (per $t=\frac12$ vale $e^{i\pi/4}$ , che non è reale).

Formula (parte reale e immaginaria). $s(t)=\Re s(t)+i\,\Im s(t)$ , con $\Re s=\frac12(s+s^*)$ e $\Im s=\frac1{2i}(s-s^*)$ , entrambi segnali reali.

Formula (modulo e fase). $s(t)=|s(t)|\,e^{i\varphi_s(t)}$ , con $|s(t)|=\sqrt{s(t)s^*(t)}=\sqrt{(\Re s)^2+(\Im s)^2}$ e $\varphi_s(t)=\arg s(t)$ . Per la formula di Eulero $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ : $\Re s=|s|\cos\varphi_s,\qquad \Im s=|s|\sin\varphi_s.$

Esempio. $s(t)=e^{i\pi t^2}$ ha $|s|=1$ per ogni $t$ e fase $\pi t^2$ . Per $t=1$ la fase vale $\pi$ ( $s(1)=-1$ ); per $t=1{,}2$ la fase $\pi t^2=4{,}524$ supera $\pi$ , quindi il valore principale è $4{,}524-2\pi=-1{,}759$ .

Grafico interattivo: Parte reale cos(πt²) e parte immaginaria sin(πt²) del segnale complesso e^(iπt²): hanno modulo costante 1 e oscillano sempre più in fretta (la frequenza istantanea cresce con t)

Definizione (operazioni elementari). Dato $s(t)$ :

ribaltamento (inversione dei tempi): $s_-(t)=s(-t)$ , il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate;

traslazione di $t_0$ : $s_{t_0}(t)=s(t-t_0)$ ; per $t_0>0$ è un ritardo (il grafico si sposta a destra: $s_{t_0}(t_0)=s(0)$ ), per $t_0<0$ un anticipo;

cambio di scala con $a\ne0$ reale: $x(t)=s(at)$ ; per $|a|>1$ il segnale è compresso nel tempo, per $0<|a|<1$ espanso, per $a<0$ si ha in più un ribaltamento: $s(at)=s_-(|a|t)$ .

Esempio. Per $s(t)=\operatorname{tri}(t)$ (triangolo di vertice $1$ in $t=0$ , che si annulla in $\pm1$ ) il segnale $x(t)=s(2t)$ ha $x(3)=s(6)=0$ e vertice sempre in $0$ , ma è largo la metà: si annulla in $\pm\frac12$ .

Grafico interattivo: Il triangolo tri(t) (tratteggiato) e il segnale tri(2t − 3): prima compresso di un fattore 2, poi spostato di 3/2 a destra (vertice in t = 1,5; zeri in t = 1 e t = 2)

Teorema (scomposizione). Ogni segnale si scrive in modo unico come somma di una componente di tipo (a) e una di tipo (b), per ciascuna coppia: $s=s_p+s_d,\quad s_p=\tfrac12[s(t)+s(-t)],\ s_d=\tfrac12[s(t)-s(-t)];$ $s=\Re s+i\Im s;\qquad s=s_h+s_a,\quad s_h=\tfrac12[s(t)+s^*(-t)],\ s_a=\tfrac12[s(t)-s^*(-t)].$

Esempio. $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ ha parte pari $\frac12e^{-|t|}$ e parte dispari $\frac12\operatorname{sgn}(t)e^{-|t|}$ : in $t=1$ valgono entrambe $\frac12e^{-1}=0{,}1839$ e la somma è $e^{-1}=s(1)$ .

Grafico interattivo: Scomposizione di e^(−t)·1(t) nella parte pari ½e^(−|t|) e nella parte dispari ½·sgn(t)·e^(−|t|): la loro somma è il segnale (nullo per t < 0)

Definizione (segnale causale). Un segnale è causale se $s(t)=0$ per $t<0$ , cioè se la sua estensione sta nel semiasse positivo. Equivale a $s(t)=s(t)\,\mathbf 1(t)$ .

Esempio. $e^{-t}\mathbf 1(t)$ è causale; $e^{-|t|}$ no. Dato un segnale $s$ , la sua parte causale è $s(t)\mathbf 1(t)$ : per la retta $s(t)=\beta t$ è la rampa $\beta\,t\,\mathbf 1(t)$ .

Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali

Definizione (costante). $s(t)=A$ , con $A$ complesso. È pari, con valor medio $A$ e potenza $|A|^2$ ; si può considerare periodico con un periodo qualunque.

Definizione (sinusoide). $s(t)=A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ , con ampiezza $A_0>0$ , frequenza $f_0>0$ (pulsazione $\omega_0=2\pi f_0$ ) e fase $\varphi_0$ . È periodica di periodo $T_0=1/f_0$ , ha valor medio nullo e potenza $\frac12A_0^2$ .

Esempio. $s(t)=4\cos(2\pi\cdot3\,t+0{,}7)$ ha periodo $T_0=\frac13$ s e potenza $\frac{16}{2}=8$ : mediando $s^2$ su un periodo si ottiene proprio $8$ .

Definizione (esponenziale complesso). $s(t)=A\,e^{i2\pi f_0t}$ con $A$ complesso e $f_0$ reale, anche negativa. Modulo $|s(t)|=|A|$ costante e fase $2\pi f_0t+\arg A$ che cresce linearmente. È periodico di periodo $1/|f_0|$ , ha potenza $|A|^2$ .

Esempio. $s(t)=2e^{i2\pi t}$ ha modulo $2$ e percorre la circonferenza di raggio $2$ nel piano complesso con un giro al secondo; $\Re s=2\cos2\pi t$ e $\Im s=2\sin2\pi t$ . Con $f_0=-1$ gira in senso opposto.

Definizione (gradino e segno). $\mathbf 1(t)=\begin{cases}0&t<0\\ 1&t>0\end{cases},\qquad \operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}-1&t<0\\ 1&t>0\end{cases}$ con $\mathbf 1(0)=\frac12$ e $\operatorname{sgn}(0)=0$ per la regola dell'emivalore. Valgono $\mathbf 1(t)=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}(t)$ e $\operatorname{sgn}(t)=\mathbf 1(t)-\mathbf 1(-t)$ .

Esempio. Il gradino di ampiezza $A_0$ applicato in $t_0$ , $A_0\mathbf 1(t-t_0)$ , è aperiodico, di durata illimitata, ha valor medio $\frac12A_0$ e potenza $\frac12A_0^2$ : infatti $\frac1{2T}\int_0^T A_0^2dt\to\frac12A_0^2$ . La sua area è invece infinita.

Definizione (rect). $\operatorname{rect}(x)=1$ per $|x|<\frac12$ , $0$ per $|x|>\frac12$ , e $\frac12$ in $x=\pm\frac12$ (emivalore). L'impulso rettangolare di ampiezza $A_0$ , durata $D$ e centro $t_0$ è $r(t)=A_0\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}D\right)=A_0\big[\mathbf 1(t-t_1)-\mathbf 1(t-t_2)\big],\quad t_{1,2}=t_0\mp\tfrac D2.$ Ha estensione $[t_1,t_2]$ , area $A_0D$ ed energia $A_0^2D$ .

Esempio. $r(t)=3\operatorname{rect}(t/2)$ vale $3$ per $|t|<1$ : durata $D=2$ , area $3\cdot2=6$ , energia $3^2\cdot2=18$ .

Definizione (triangolo). $\operatorname{tri}(x)=1-|x|$ per $|x|<1$ , $0$ altrove (nei testi del corso "triang" o $\triangle$ ). L'impulso triangolare $A_0\operatorname{tri}\big(\frac{t-t_0}D\big)$ ha durata $2D$ , area $A_0D$ ed energia $\frac23A_0^2D$ . Si ottiene come convoluzione di due rect: $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\operatorname{tri}$ (si veda Convoluzione).

Esempio. $\operatorname{tri}(t)$ ha area $\int_{-1}^1(1-|t|)dt=1$ ed energia $2\int_0^1(1-t)^2dt=\frac23$ .

Definizione (sinc). $\operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin\pi x}{\pi x}$ , prolungata con $\operatorname{sinc}(0)=1$ . Si annulla in $x=\pm1,\pm2,\dots$ , ha il massimo $1$ nell'origine ed è pari. L'impulso $A_0\operatorname{sinc}\big(\frac{t-t_0}T\big)$ ha il massimo $A_0$ in $t_0$ , si annulla in $t_0\pm nT$ , ha area $A_0T$ ed energia $A_0^2T$ (valori che si ricavano facilmente con la trasformata di Fourier, Trasformata di Fourier).

Esempio. $\operatorname{sinc}(0{,}5)=\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac2\pi=0{,}637$ ; $\operatorname{sinc}(1)=0$ ; $\operatorname{sinc}(2{,}5)=0{,}127$ . Numericamente $\int_{-2000}^{2000}\operatorname{sinc}=0{,}9999$ e $\int_{-2000}^{2000}\operatorname{sinc}^2=0{,}99995$ (area ed energia valgono $1$ ).

Grafico interattivo: I tre impulsi elementari: rect(t) (vale 1 su (−1/2, 1/2), larghezza 1), tri(t) (larghezza 2, area 1) e sinc(t) (zeri in ±1, ±2, …, area 1)

Definizione (gaussiana). $s(t)=e^{-\pi t^2}$ (impulso gaussiano): pari, positivo, area $1$ , energia $\frac1{\sqrt2}$ . Per $e^{-\pi\alpha t^2}$ l'area è $\frac1{\sqrt\alpha}$ .

Esempio. Per l'area $A$ si usa un trucco: $A^2=\iint e^{-\pi(t^2+u^2)}dt\,du$ , che in coordinate polari (Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari) diventa $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty\rho\,e^{-\pi\rho^2}d\rho\,d\theta=2\pi\cdot\frac1{2\pi}=1$ , quindi $A=1$ . L'energia è l'area di $e^{-2\pi t^2}$ , cioè $\frac1{\sqrt2}=0{,}7071$ .

Definizione (esponenziali smorzati). Con $\alpha>0$ :

$e^{-\alpha|t|}$ (bilatero, pari): area $\frac2\alpha$ , energia $\frac1\alpha$ ;

$e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ (causale): area $\frac1\alpha$ , energia $\frac1{2\alpha}$ ;

$e^{p_0t}\mathbf 1(t)$ con $p_0=\sigma_0+i\omega_0$ e $\sigma_0<0$ (esponenziale causale smorzato complesso): area $-\frac1{p_0}$ , energia $-\frac1{2\sigma_0}$ .

Esempio. Con $\alpha=2$ : $e^{-2|t|}$ ha area $1$ ed energia $\frac12$ ; $e^{-2t}\mathbf 1(t)$ ha area $\frac12$ ed energia $\frac14$ . Con $p_0=-1+2i$ : area $-\frac1{-1+2i}=\frac{1+2i}5=0{,}2+0{,}4i$ ed energia $\frac12$ (il modulo è $e^{-t}$ perché $|e^{i2t}|=1$ ).

Grafico interattivo: Gaussiana e^(−πt²) (area 1), esponenziale bilatero e^(−2|t|) (area 1) ed esponenziale causale e^(−2t)·1(t) (area 1/2): tutti a energia finita, ma con code diverse

Impulso ideale (delta di Dirac)

Definizione (impulso ideale). L'impulso ideale (delta di Dirac) è il "segnale" $\delta(t)$ tale che

$\delta(t)=0$ per $t\ne0$ ;

per ogni segnale $s(t)$ continuo nell'origine vale la proprietà rivelatrice $\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,\delta(t)\,dt=s(0).$

Esempio. Con $s(t)=2+3t+t^2$ si ha $\int s\,\delta=s(0)=2$ .

Energia, potenza e valor medio dei segnali

Definizione (area e valor medio). Per un segnale $s(t)$ : $A_s=\operatorname{area}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,dt,\qquad m_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}s(t)\,dt.$ Il valor medio $m_s$ si chiama anche componente continua del segnale (dall'elettrotecnica).

Esempio. $s(t)=e^{-\alpha|t|}$ ( $\alpha>0$ ) ha area $2\int_0^\infty e^{-\alpha t}dt=\frac2\alpha$ (si sfrutta la parità). Il valor medio è $\lim\frac1T\cdot\frac{1-e^{-\alpha T}}\alpha=0$ : per $\alpha=1$ i valori medi su $[-T,T]$ sono $0{,}1$ per $T=10$ e $0{,}001$ per $T=1000$ . Il gradino $\mathbf 1(t)$ ha area $+\infty$ e valor medio $\lim\frac1{2T}\cdot T=\frac12$ .

Definizione (energia e potenza). $E_s=\int_{-\infty}^{+\infty}|s(t)|^2dt,\qquad P_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|s(t)|^2dt.$ Un segnale con $E_s<\infty$ è a energia finita (classe $L^2$ ); uno con $0<P_s<\infty$ è a potenza finita.

Teorema (energia e potenza). Un segnale ad energia finita ha potenza nulla; un segnale a potenza finita non nulla ha energia infinita.

Esempio. La sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ ha potenza $\frac12A_0^2$ (energia infinita); $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ ha energia $\frac1{2\alpha}$ (e potenza nulla). Per una somma di sinusoidi a frequenze diverse le potenze si sommano, perché i termini misti hanno media nulla: $s(t)=5\sin(2\pi\,5t+\frac\pi2)+3\cos(2\pi\,10t)+2\sin(2\pi\,15t)$ ha $P=\frac{25+9+4}2=19$ (verificato numericamente su due secondi).

Definizione (segnale periodico). $s(t)$ è periodico se esiste $T_p>0$ con $s(t+T_p)=s(t)$ per ogni $t$ . Il minimo $T_p$ è il periodo (minimo); ogni multiplo $kT_p$ è ancora un periodo, e $s(t+kT_p)=s(t)$ per ogni $k\in\mathbb Z$ . Altrimenti il segnale è aperiodico.

Esempio. L'onda quadra $s(t)=1$ per $0\le t<\frac{T_p}2$ e $0$ per $\frac{T_p}2\le t<T_p$ ha valor medio $\frac12$ e potenza $\frac12$ .

Definizione (ripetizione periodica). Dato un segnale $u(t)$ e $T_p>0$ , la sua ripetizione periodica di periodo $T_p$ è $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}u(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}u(t-kT_p).$

Esempio. $u(t)=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ ha durata illimitata, quindi le copie si sovrappongono: per $t\in[0,T_p)$ contribuiscono le copie con $k\le0$ e $\operatorname{rep}_{T_p}u(t)=\sum_{k\le0}e^{-\alpha(t-kT_p)}=e^{-\alpha t}\sum_{h\ge0}\big(e^{-\alpha T_p}\big)^h=\frac{e^{-\alpha t}}{1-e^{-\alpha T_p}},\quad t\in[0,T_p),$ serie geometrica di ragione $e^{-\alpha T_p}<1$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica). Con $\alpha=1$ , $T_p=2$ , $t=\frac12$ : $\frac{e^{-0{,}5}}{1-e^{-2}}=0{,}7015$ . L'area su un periodo vale $1$ , proprio l'area di $u$ .

Convoluzione

Definizione (convoluzione). La convoluzione di due segnali continui $x$ e $y$ è il segnale $s(t)=x*y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(t-u)\,du.$ Con il cambio di variabile $v=t-u$ si ottiene l'espressione equivalente $s(t)=\int x(t-v)\,y(v)\,dv$ , che dice che $x*y=y*x$ .

Esempio. $x(u)=\mathbf 1(u)e^{-u}$ e $y=\operatorname{rect}(u-\frac12)$ (vale $1$ su $(0,1)$ ). Per $t=\frac32$ : $y(t-u)=\operatorname{rect}(1-u)$ vale $1$ su $(\frac12,\frac32)$ e il prodotto $x(u)y(t-u)$ è $e^{-u}$ su quell'intervallo, quindi $s(\tfrac32)=e^{-1/2}-e^{-3/2}=0{,}3834$ .

Grafico interattivo: Convoluzione di x(u) = e^(−u)·1(u) con y(u) = rect(u − 1/2), nell'istante t = 3/2: x(u) e y(t − u) = rect(1 − u) (la copia ribaltata e traslata); l'area colorata del prodotto, u tra 1/2 e 3/2, vale e^(−1/2) − e^(−3/2) ≈ 0,383

Proprietà. Per segnali $x,y,z$ (per cui gli integrali esistono) e costanti $a_1,a_2$ :

linearità e distributività: $x*(a_1y+a_2z)=a_1\,x*y+a_2\,x*z$ ;

commutativa: $x*y=y*x$ ; associativa: $(x*y)*z=x*(y*z)$ ;

area: $\operatorname{area}(x*y)=\operatorname{area}(x)\cdot\operatorname{area}(y)$ ;

traslazione: $x_{t_1}*y_{t_2}=(x*y)_{t_1+t_2}$ , cioè $x(t-t_1)*y(t-t_2)=x*y(t-t_1-t_2)$ ;

elemento neutro: $x*\delta=\delta*x=x$ ;

derivata: se $x$ e $y$ sono derivabili, $(x*y)'=x'*y=x*y'$ ;

parità: la convoluzione di due segnali pari (o di due dispari) è pari; di un pari e un dispari è dispari.

Esempio. $\operatorname{rect}\frac t4$ (area $4$ ) e $\operatorname{rect}\frac t2$ (area $2$ ) producono un trapezio di area $8$ (con le ampiezze $2$ e $3$ dell'esempio più sotto l'area è $(2\cdot4)(3\cdot2)=48$ , confermata dalla convoluzione discretizzata).

2. Analisi di Fourier

Serie di Fourier

Teorema (ortogonalità). Per ogni coppia di interi $h,k$ : $\int_0^{T_p}\phi_h(t)\,\phi_k^*(t)\,dt=T_p\,\delta_{hk}=\begin{cases}T_p&h=k\\0&h\ne k\end{cases}$ (lo stesso su qualunque intervallo di lunghezza $T_p$ ).

Esempio. Con $T_p=1$ : $\int_0^1e^{i2\pi\cdot3t}e^{-i2\pi\cdot1t}dt=\int_0^1e^{i4\pi t}dt=\frac{e^{i4\pi}-1}{i4\pi}=0$ , mentre $\int_0^1|e^{i2\pi t}|^2dt=1$ .

Teorema (serie di Fourier). Un segnale periodico di periodo $T_p=1/F$ (sotto le condizioni date più sotto) si scrive $s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}S_n\,e^{i2\pi nFt}\qquad\text{(sintesi)},\qquad S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)\,e^{-i2\pi nFt}\,dt\qquad\text{(analisi)}.$ L'integrale si può calcolare su un qualsiasi intervallo di lunghezza $T_p$ .

Esempio. Il segnale che vale $1$ in $[0,\frac12)$ e $i$ in $[\frac12,1)$ (periodo $T_p=1$ ) ha $S_0=\frac{1+i}2$ (media) e, per $n\ne0$ , $S_n=\frac{((-1)^n-1)(1+i)}{2\pi n}$ : $S_1=-\frac{1+i}\pi=-0{,}318(1+i)$ , $S_2=0$ , $S_3=-0{,}106(1+i)$ (confermato dall'integrale numerico).

Trasformata di Fourier

Definizione (trasformata e antitrasformata). La trasformata di Fourier di un segnale continuo $s(t)$ è la funzione $S(f)=\mathcal F[s](f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt,\qquad f\in\mathbb R,$ e la antitrasformata ricostruisce il segnale: $s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}S(f)\,e^{i2\pi ft}\,df,\qquad t\in\mathbb R.$ Si scrive $s(t)\xrightarrow{\ \mathcal F\ }S(f)$ .

Esempio. Per $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ e $f=0{,}2$ Hz: $S=\int_0^\infty e^{-t}e^{-i2\pi0{,}2t}dt=\frac1{1+i2\pi\cdot0{,}2}=0{,}388-0{,}487\,i$ . Il calcolo numerico dell'integrale dà lo stesso valore.

Formula (trasformata di un segnale periodico). $S(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}S_n\,\delta(f-nF),$ un treno di impulsi nelle frequenze $nF$ di area pari al coefficiente di Fourier $S_n$ .

Esempio. Il treno di rect ( $A_0=2$ , $d=\frac14$ ) ha $S_n=0{,}5\operatorname{sinc}\frac n4$ , quindi $S(f)=\sum_n0{,}5\operatorname{sinc}\frac n4\,\delta(f-nF)$ : impulsi di area $0{,}5$ in $0$ , $0{,}4502$ in $\pm F$ , ..., e nulla in $\pm4F$ .

Proprietà della trasformata di Fourier

Teorema (incompatibilità tra durata e banda). Un segnale non nullo non può essere contemporaneamente a durata limitata e a banda limitata.

3. Segnali a tempo discreto e campionamento

Segnali a tempo discreto

Definizione (segnale a tempo discreto). Un segnale a tempo discreto è una funzione complessa di variabile discreta $s:\mathbb Z(T)\to\mathbb C,\qquad \mathbb Z(T)=\{nT\mid n\in\mathbb Z\}=\{\dots,-2T,-T,0,T,2T,\dots\},\ T>0.$ $T$ è il quanto temporale; il reciproco $F_p=\frac1T$ è la velocità del segnale (numero di valori per unità di tempo).

Esempio. Con $T=2$ ms il segnale $s(nT)$ ha $F_p=500$ valori al secondo e il suo dominio è $\{\dots,-4\text{ ms},-2\text{ ms},0,2\text{ ms},\dots\}$ .

Definizione (parametri di un segnale discreto). $\operatorname{area}(s)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT),\qquad m_s=\lim_{N\to\infty}\frac1{(2N+1)T}\sum_{n=-N}^{N}T\,s(nT),$ $E_s=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,|s(nT)|^2,\qquad P_s=\lim_{N\to\infty}\frac1{(2N+1)T}\sum_{n=-N}^{N}T\,|s(nT)|^2.$

Esempio. $s(nT)=(\frac12)^n$ per $n\ge0$ e $0$ altrove (esponenziale causale, $a=\frac12$ ) ha area $T\sum_{n\ge0}(\frac12)^n=2T$ ed energia $T\sum(\frac14)^n=\frac43T$ , serie geometriche (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica); con $T=1$ ms: area $2$ ms e energia $\frac43$ ms. L'energia è finita, quindi la potenza è nulla (stesso teorema del caso continuo, Energia, potenza e valor medio dei segnali).

Proprietà (impulso discreto). Per ogni segnale $s$ e $n_0\in\mathbb Z$ :

rivelatrice: $\displaystyle\sum_nT\,s(nT)\,\delta(nT-n_0T)=s(n_0T)$ ;

moltiplicazione: $s(nT)\,\delta(nT-n_0T)=s(n_0T)\,\delta(nT-n_0T)$ ;

scomposizione: $s(nT)=\displaystyle\sum_mT\,s(mT)\,\delta(nT-mT)$ , cioè ogni segnale discreto è una combinazione lineare di impulsi traslati, con pesi $T\,s(mT)$ .

Esempio. $s(nT)=n^2\operatorname{rect}\frac{nT-2T}{7T}$ vale $n^2$ per $n=-1,\dots,5$ (sette punti centrati in $2T$ ) e si scrive $s=T\big[\delta(nT+T)+0+\delta(nT-T)+4\delta(nT-2T)+9\delta(nT-3T)+16\delta(nT-4T)+25\delta(nT-5T)\big]$ (il peso dell'impulso in $mT$ è $T\,m^2$ ; il termine in $m=0$ è nullo).

Grafico interattivo: Esponenziale causale discreto a^n·1_0(n) con a = 5/6 (monotono decrescente); per a negativo i segni si alternano, per |a| > 1 il segnale cresce

Definizione (convoluzione discreta). $s(nT)=x*y(nT)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}T\,x(kT)\,y(nT-kT).$ Se le estensioni sono $e(x)=\{n_xT,\dots,N_xT\}$ e $e(y)=\{n_yT,\dots,N_yT\}$ , allora $e(x*y)=\{(n_x+n_y)T,\dots,(N_x+N_y)T\}$ e la durata è $D(x*y)=D(x)+D(y)-T$ .

Esempio. Con $x=A_0\operatorname{rect}\frac{nT}{9T}$ ( $n=-4,\dots,4$ ) e $y=B_0\operatorname{rect}\frac{nT}{7T}$ ( $n=-3,\dots,3$ ), la convoluzione ha estensione $\{-7T,\dots,7T\}$ (durata $15T=9T+7T-T$ ). Il valore in $n$ è $T\,A_0B_0$ per il numero di $k$ con $x(kT)y(nT-kT)\ne0$ : $7,7,7$ per $n=0,\pm1$ e poi $6,5,4,3,2,1$ per $n=2,\dots,7$ (e simmetrico). Si ottiene un trapezio isoscele discreto, analogo a quello continuo. La verifica con la convoluzione numerica (np.convolve moltiplicata per $T$ ) dà esattamente questi valori.

Grafico interattivo: Convoluzione di 9 campioni unitari (n = −4…4) con 7 campioni unitari (n = −3…3), in unità T·A0·B0: trapezio isoscele con plateau 7 per |n| ≤ 1 e discesa lineare fino a 1 in n = ±7; estensione −7…7 (15 punti)

Trasformata di Fourier a tempo discreto

Definizione (trasformata di un segnale discreto). La trasformata di Fourier di $s(nT)$ , $n\in\mathbb Z$ , è $S(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT)\,e^{-i2\pi fnT},\qquad f\in\mathbb R,$ e l'antitrasformata (su un qualunque intervallo di lunghezza $F_p=\frac1T$ , ad esempio $[0,F_p]$ ) è $s(nT)=\int_{0}^{F_p}S(f)\,e^{i2\pi fnT}\,df.$

Esempio. Per $s(nT)=\delta(nT-3T)$ (impulso di area $1$ in $3T$ , cioè valore $\frac1T$ in $n=3$ ): $S(f)=T\cdot\frac1T\,e^{-i2\pi f3T}=e^{-i6\pi fT}$ ; per $fT=0{,}05$ vale $e^{-i0{,}3\pi}=0{,}588-0{,}809\,i$ .

Campionamento e ricostruzione

Definizione (campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ ). Dato $s_0(t)$ , $t\in\mathbb R$ , il segnale campionato è $s_c(nT)=s_0(nT),\qquad nT\in\mathbb Z(T).$ $T$ è il periodo di campionamento e $F_c=\frac1T$ la frequenza di campionamento (campioni al secondo).

Esempio. Con $T=0{,}2$ ms si ha $F_c=5$ kHz (cinquemila campioni al secondo).

Teorema (campionamento in frequenza). Se $s_0$ ha trasformata $S_0(f)$ , il segnale campionato ha trasformata $S_c(f)=\operatorname{rep}_{F_c}S_0(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S_0(f-kF_c):$ la ripetizione periodica dello spettro con periodo $F_c$ .

Esempio. Campionando $s_0(t)=\operatorname{sinc}(t/T)$ si ottiene $s_c(nT)=\delta_{n0}$ (il sinc vale $1$ in $0$ e si annulla in tutti gli altri multipli di $T$ ), cioè $T\,\delta(nT)$ , con trasformata $T$ (costante). Dall'altra parte $S_0(f)=T\operatorname{rect}(f/F_c)$ e la sua ripetizione periodica di periodo $F_c$ è $T\sum_k\operatorname{rect}\frac{f-kF_c}{F_c}=T$ (i rect sono adiacenti e riempiono l'asse).

Definizione (filtro interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ ). Dato un segnale discreto $s(nT)$ e un segnale continuo $g(t)$ (la risposta impulsiva dell'interpolatore), l'uscita è $\tilde s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,g(t-nT)\,s(nT)=\sum_{n}s(nT)\,g_0(t-nT),\qquad g_0(t)=T\,g(t)\ \ (\text{funzione interpolatrice}).$

Esempio. L'interpolatore a tenuta ha $G(f)=\operatorname{sinc}(fT)e^{-i\pi fT}$ ( $g=\frac1T\operatorname{rect}\frac{t-T/2}T$ ): attenua le alte frequenze, fino a $\operatorname{sinc}(0{,}5)=0{,}637$ ( $-3{,}92$ dB) alla frequenza di Nyquist $F_c/2$ , e ritarda di $T/2$ . Per questo un convertitore digitale-analogico reale a tenuta ha bisogno di un filtro di ricostruzione che compensi.

Grafico interattivo: Tre funzioni interpolatrici per T = 1: a tenuta (rect su [0,1)), lineare (tri) e ideale (sinc); tutte valgono 1 nel campione e 0 negli altri istanti di campionamento (il rect in t = 1 vale 1/2 per la convenzione sul salto)

Teorema (del campionamento). Sia $s(t)$ un segnale con estensione spettrale limitata, $E[s]\subseteq(-B,B)$ , $B<\infty$ . Se la frequenza di campionamento soddisfa $F_c\ge2B$ (condizione di non aliasing), il segnale è esattamente ricostruibile dai campioni $s(nT)$ , $T=1/F_c$ , con l'interpolatore ideale di risposta in frequenza $Q(f)=\operatorname{rect}\left(\frac f{F_c}\right)$ , cioè funzione interpolatrice $q_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$ : $s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\,\operatorname{sinc}\big(F_c(t-nT)\big).$

Esempio. Il segnale $A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$ con $F_0=2$ MHz ha spettro triangolare $\frac{A_0}{F_0}\operatorname{tri}(f/F_0)$ , estensione $(-F_0,F_0)$ , banda $B=F_0=2$ MHz: la minima frequenza di campionamento è $F_c=2B=4$ MHz.

Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT

Definizione (DFT e DFT inversa). $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T\,s(nT)\,e^{-i2\pi kn/N},\qquad s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F\,S(kF)\,e^{i2\pi kn/N}.$ $S(kF)$ è periodica in $k$ di periodo $N$ (perché $e^{-i2\pi(k+N)n/N}=e^{-i2\pi kn/N}$ ) ed è specificata da $N$ valori, $k=0,\dots,N-1$ . I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F\,S(kF)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$ .

Esempio. Con $N=4$ , $T=1$ e $s=(1,2,0,-1)$ : $S(kF)=(2,\ 1-3i,\ 0,\ 1+3i)$ e i coefficienti $S_k=\frac14S(kF)=(0{,}5,\ 0{,}25-0{,}75i,\ 0,\ 0{,}25+0{,}75i)$ . Il primo è il valor medio $\frac{1+2+0-1}4$ .

4. Trasformazioni e sistemi

Trasformazioni e sistemi - proprietà

Definizione (impulso ideale su $I$ ). $\delta_I$ è il segnale per cui vale la proprietà rivelatrice $\displaystyle\int_I s(u)\,\delta_I(u-t)\,du=s(t)$ per ogni segnale $s$ e ogni $t\in I$ . Su $\mathbb R$ è la delta di Dirac. Su $\mathbb Z(T)$ vale $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T$ e $0$ altrove: infatti $\sum_nT\,s(nT)\,\delta(nT-t)=T\,s(t)\cdot\frac1T=s(t)$ .

Esempio. Per $T=1\ \text{ms}$ l'impulso discreto vale $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T=1000\ \text{s}^{-1}$ ; la sua area è $T\cdot\frac1T=1$ . Questa convenzione, un po' insolita, evita fattori $T$ sparsi: le formule del continuo si copiano pari pari.

Definizione (trasformazione). Una trasformazione (tf) è una terna $(I,U,\varphi)$ : un dominio d'ingresso $I$ , un dominio d'uscita $U$ e un operatore $\varphi$ che a ogni segnale $x$ su $I$ associa il segnale $y=\varphi[x],\qquad y(t)=\varphi[x\,|\,t],\ t\in U.$ Il valore $y(t)$ dipende in generale dall'intero segnale $x(u)$ , $u\in I$ .

Esempio (tf elementari).

Definizione (invertibile). $\varphi$ è invertibile se esiste una tf $\varphi^{-1}$ da $U$ a $I$ con $\varphi^{-1}[\varphi[x]]=x$ per ogni $x$ : dall'uscita si recupera l'ingresso. Il dominio d'uscita di $\varphi$ deve essere il dominio d'ingresso di $\varphi^{-1}$ .

Esempio. $y=1+2x$ è invertibile, con inversa $x=\frac12(y-1)$ . L'integratore discreto $y(nT)=\sum_{k\le n}T\,x(kT)$ è invertibile: $x(nT)=\frac1T\,[\,y(nT)-y(nT-T)\,]$ . Il raddrizzatore $y=\lvert x\rvert$ no: da $\lvert x\rvert$ non si ricava il segno (né la fase, se $x$ è complesso).

Definizione (senza memoria, causale, anticipatoria). Si dice che $\varphi$ è

senza memoria (istantanea) se $y(\bar t)$ dipende solo da $x(\bar t)$ ;

causale se $y(\bar t)$ dipende solo da passato e presente, $y(\bar t)=\varphi[x_{(-\infty,\bar t]}\,|\,\bar t]$ ;

puramente anticipatoria se dipende solo da presente e futuro.

Una tf causale ha memoria finita $\mu$ se $y(t)$ dipende solo da $x_{[t-\mu,\,t]}$ ; altrimenti ha memoria infinita.

Esempio. Il ritardo $y(t)=x(t-t_0)$ è causale con memoria $\mu=t_0$ se $t_0>0$ , anticipatorio se $t_0<0$ . L'integratore $\int_{-\infty}^tx$ è causale con memoria infinita; la media mobile $\int_{t-T}^tx$ è causale con $\mu=T$ . Il raddrizzatore, il modulatore $x\cos2\pi f_0t$ e il campionatore sono senza memoria.

Definizione (stabile BIBO). $\varphi$ è stabile se a ogni ingresso limitato, $\lvert x(u)\rvert\le L_x$ per ogni $u$ , corrisponde un'uscita limitata, $\lvert y(t)\rvert\le L_y$ per ogni $t$ ( $L_y$ può dipendere da $L_x$ ). BIBO = bounded input, bounded output.

Esempio. Il raddrizzatore è stabile ( $L_y=L_x$ ). Il ritardo pure. L'integratore non lo è: con $x=1(t)$ , che è limitato da $L_x=1$ , l'uscita è la rampa $t\,1(t)$ , che diverge. Attenzione: instabile non vuol dire che ogni ingresso limitato dia uscita illimitata; con $x(t)=1(t)\cos t$ l'integratore dà $1(t)\sin t$ , che è limitata. Basta un ingresso limitato che produce un'uscita illimitata per concludere che è instabile. Il FIR $y(nT)=\tfrac12x(nT)-\tfrac13x(nT-T)+x(nT-2T)$ è stabile: $\lvert y\rvert\le(\tfrac12+\tfrac13+1)L_x=\tfrac{11}6L_x$ (disuguaglianza triangolare).

Definizione (lineare). $\varphi$ è lineare se è omogenea e additiva: per ogni $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb C$ e ogni coppia di ingressi $\varphi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]=\alpha_1\varphi[x_1]+\alpha_2\varphi[x_2]$ (principio di sovrapposizione degli effetti).

Esempio. Il ritardo, l'integratore e il modulatore sono lineari. $y=\lvert x\rvert$ non lo è. Nemmeno $y(nT)=x(nT)\,x(nT-T)$ : viola l'omogeneità perché $\varphi[3x]=9\,\varphi[x]$ (verificato numericamente su un segnale casuale: la relazione con il fattore $3$ è falsa, quella con $9$ è vera).

Definizione (tempo-invariante). $\varphi$ è tempo-invariante se, quando $x$ produce $y$ , il segnale traslato $x_{t_0}(u)=x(u-t_0)$ produce $y_{t_0}(t)=y(t-t_0)$ , per ogni traslazione $t_0$ . In altre parole $\varphi$ commuta con il ritardo. La definizione ha senso solo se $t_0$ sta sia nel dominio d'ingresso sia in quello d'uscita.

Esempio. L'integratore è tempo-invariante: $\int_{-\infty}^tx(u-t_0)\,du=\int_{-\infty}^{t-t_0}x(v)\,dv=y(t-t_0)$ (cambio di variabile $v=u-t_0$ ). Il modulatore $y=x\cos2\pi f_0t$ no: con $x=\delta(t)$ si ha $y=\delta(t)$ , ma con $x=\delta(t-t_0)$ si ha $y=\cos(2\pi f_0t_0)\,\delta(t-t_0)\neq\delta(t-t_0)$ . Il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ non è tempo-invariante per ritardi qualsiasi, ma lo è per ritardi $t_0=kT$ (è periodicamente tempo-invariante).

Definizione (reale). $\varphi$ è reale se a ogni ingresso reale corrisponde un'uscita reale (a ingresso complesso l'uscita può essere complessa).

Esempio. Il ritardo e il raddrizzatore sono reali. Il sistema $y=\mathrm i\,x$ non lo è.

Formula (nucleo di una tf lineare). $y(t)=\int_I h(t,u)\,x(u)\,du,\qquad t\in U,$ dove $h(t,u)$ , definita su $U\times I$ , è il nucleo della trasformazione.

Esempio. Il campionatore ha nucleo $h(nT,u)=\delta(u-nT)$ (per la proprietà rivelatrice $\int\delta(u-nT)x(u)du=x(nT)$ ). L'interpolatore ha nucleo $h(t,kT)=g(t-kT)$ con $g$ la sua risposta impulsiva.

Definizione (finestra). Data una forma $w(t)$ , $t\in I$ , la finestra è la tf $I\to I$ $y(t)=w(t)\,x(t).$ È lineare (la forma $w$ è un segnale fisso "contenuto" nella tf, non un secondo ingresso) e ha nucleo $h(t,u)=w(t)\,\delta_I(t-u)$ . È istantanea, ma in generale non tempo-invariante.

Esempio. Il modulatore d'ampiezza è la finestra $w(t)=\cos2\pi f_0t$ . La finestra rettangolare discreta $w(nT)=\operatorname{rect}\frac{nT}{(2N+1)T}$ estrae $x(-NT),\dots,x(NT)$ e azzera il resto. Con $w(nT)=\operatorname{triang}\frac n4$ e ingresso $x=(1,2,1)$ nei campioni $n=-1,0,1$ si ottiene $y(nT)=w(nT)\,x(nT)=(0{,}75,\ 2,\ 0{,}75)$ : lo stesso risultato si trova applicando la formula del nucleo $y(nT)=\sum_kT\,h(nT,kT)\,x(kT)$ con $T\,h(nT,kT)=w(nT)$ per $n=k$ (verificato con Python).

Grafico interattivo: Forma della finestra triangolare w(t) = tri(t/4) (valori utili per i campioni n = -1, 0, 1: 0,75, 1, 0,75)

Definizione (caratteristica ingresso-uscita). Una tf non lineare senza memoria ha la forma $y(t)=\mu[x(t)]$ , dove la funzione $\mu$ si chiama caratteristica. È tempo-invariante; se la caratteristica dipende anche dal tempo, $y=\mu[x(t),t]$ , è tempo-variante.

Grafico interattivo: Caratteristica del quantizzatore uniforme con Δ = 1: μ[x] = floor(x) + 1/2

5. Sistemi LTI

Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva

Teorema (tf LTI). Una tf lineare $I\to I$ è tempo-invariante se e solo se $h(t,u)=g(t-u),\qquad y(t)=\int_Ig(t-u)\,x(u)\,du=(g*x)(t).$ Il segnale $g(t)=\varphi[\delta_I\,|\,t]$ è la risposta impulsiva: l'uscita quando all'ingresso si applica l'impulso ideale nell'origine. Con un impulso in $t_0$ l'uscita è $g(t-t_0)$ .

Esempio (convenzione del peso $T$ ). Il filtro discreto $y(nT)=\frac12x(nT)-\frac13x(nT-T)+x(nT-2T)$ ha risposta impulsiva $g(0)=\frac1{2T}$ , $g(T)=-\frac1{3T}$ , $g(2T)=\frac1T$ , cioè $g=\frac12\delta-\frac13\delta(\cdot-T)+\delta(\cdot-2T)$ con $\delta=\delta_{\mathbb Z(T)}$ , perché $\sum_kT\,g(kT)\,x(nT-kT)$ restituisce proprio i coefficienti $\frac12,-\frac13,1$ . Con $T=0{,}5\ \text{s}$ e ingresso $x=(1,2,3)$ in $n=0,1,2$ l'uscita è $y=(0{,}5;\ 0{,}667;\ 1{,}833;\ 1;\ 3)$ (verificato con Python in entrambi i modi). Il fattore $T$ nella somma si cancella con il fattore $\frac1T$ della risposta impulsiva.

Teorema (causalità). Una tf LTI è causale se e solo se $g$ è un segnale causale: $g(t)=0$ per $t<0$ .

Esempio. Integratore e filtro RC sono causali; la media mobile $\int_{t-D}^tx$ ha $g=\operatorname{rect}\frac{t-D/2}{D}$ , nulla per $t<0$ : causale con $\mu=D$ . Il FIR $\frac12x-\frac13x(\cdot-T)+x(\cdot-2T)$ è causale con $\mu=2T$ . Un filtro ideale (passa-basso con $g\propto\operatorname{sinc}$ ) non è causale.

Teorema (stabilità). Una tf LTI è stabile BIBO se e solo se $g$ è assolutamente integrabile: $\displaystyle\int_I\lvert g(t)\rvert\,dt<\infty$ (assolutamente sommabile nel discreto).

Esempio. L'integratore ( $g=1(t)$ ) non è stabile; il filtro RC sì, perché $\int_0^\infty\frac1Te^{-t/T}dt=1$ . Il filtro discreto $g(nT)=\alpha^n1_0(nT)$ ha $\sum_nT\lvert g\rvert=T\sum_{n\ge0}\lvert\alpha\rvert^n=\frac T{1-\lvert\alpha\rvert}$ se $\lvert\alpha\rvert<1$ e $+\infty$ se $\lvert\alpha\rvert\ge1$ : stabile se e solo se $\lvert\alpha\rvert<1$ . Un FIR è sempre stabile.

Teorema (realtà). Una tf LTI è reale se e solo se $g$ è reale.

Risposta in frequenza e filtri

Formula (risposta in frequenza). $Y(f)=G(f)\,X(f),\qquad G(f)=\mathcal F[g](f).$ $G$ è la risposta in frequenza; il suo modulo $A_g(f)=\lvert G(f)\rvert$ è la caratteristica d'ampiezza, il suo argomento $\beta_g(f)=\arg G(f)$ la caratteristica di fase. Per un filtro continuo $G$ è definita su $\mathbb R$ ; per un filtro discreto su $\mathbb Z(T)$ è periodica di periodo $F_p=1/T$ .

Esempio (FIR discreto). Il filtro $y(nT)=x(nT)-2x(nT-T)+x(nT-2T)$ ha, trasformando i due membri e ricordando la regola del ritardo ( $e^{-\mathrm i2\pi fT}$ per ogni $T$ di ritardo), $Y=\left(1-2e^{-\mathrm i2\pi fT}+e^{-\mathrm i4\pi fT}\right)X$ , quindi $G(f)=\left(1-e^{-\mathrm i2\pi fT}\right)^2$ : periodica di periodo $\frac1T$ , nulla in $f=0$ .

Teorema (autofunzioni dei filtri). Se all'ingresso di un filtro LTI si applica l'esponenziale complesso $x(t)=X\,e^{\mathrm i2\pi ft}$ (su $\mathbb R$ o su $\mathbb Z(T)$ ), l'uscita è $y(t)=G(f)\,X\,e^{\mathrm i2\pi ft}:$ lo stesso esponenziale, moltiplicato per il numero complesso $G(f)$ (l'autovalore). Più in generale $x=Xe^{pt}$ dà $G_L(p)\,Xe^{pt}$ e, su $\mathbb Z(T)$ , $x=Xz^n$ dà $G_z(z)\,Xz^n$ (per $p$ e $z$ nella regione di convergenza).

Esempio. Il filtro RC ha $G(f)=\dfrac1{1+\mathrm i2\pi fT}$ (trasformata di $g=\frac1Te^{-t/T}1(t)$ ). L'esponenziale di frequenza $f$ esce moltiplicato per $\frac1{1+\mathrm i2\pi fT}$ : al crescere di $\lvert f\rvert$ il modulo diminuisce, le alte frequenze sono attenuate.

Formula (ingresso sinusoidale, filtro reale). $y(t)=X_0\,\lvert G(f_0)\rvert\,\cos\!\big(2\pi f_0t+\varphi_0+\beta_g(f_0)\big).$ L'uscita è una sinusoide della stessa frequenza, con ampiezza moltiplicata per la caratteristica d'ampiezza e fase aumentata della caratteristica di fase, entrambe valutate in $f_0$ .

Esempio numerico. Filtro RC con $T=1\ \text{ms}$ , ingresso $2\cos(2\pi\cdot500\,t+30^\circ)$ . Si calcola $2\pi f_0T=\pi=3{,}1416$ , quindi $\lvert G(500)\rvert=\frac1{\sqrt{1+\pi^2}}=0{,}3033$ e $\beta_g=-\arctan\pi=-72{,}34^\circ$ . L'uscita è $0{,}6066\cos(2\pi\cdot500\,t-42{,}34^\circ)$ (verificato con una convoluzione numerica a regime). La frequenza di taglio a $3\ \text{dB}$ è $f_c=\frac1{2\pi T}=159{,}2\ \text{Hz}$ : a $f_c$ il modulo vale $\frac1{\sqrt2}$ e la fase $-45^\circ$ ; per $f\to\infty$ la fase tende a $-90^\circ$ .

Grafico interattivo: Filtro RC con T = 1 ms: caratteristica d'ampiezza |G(f)| (f in Hz); a f_c = 159 Hz vale 1/√2

Definizione (filtro ideale). Un filtro ideale ha $G(f)=1$ nella banda passante $\mathcal B$ e $G(f)=0$ nella banda oscura $\overline{\mathcal B}$ . La risposta impulsiva è $g(t)=\int_{\mathcal B}e^{\mathrm i2\pi ft}df$ . È reale se $\mathcal B$ è simmetrica rispetto a $0$ ; non è mai causale.

Esempio ( $T=1$ , quindi $F_p=1$ ). Passa-basso con $d=\frac12$ (banda $\frac14$ ): $g(n)=\frac12\operatorname{sinc}\frac n2$ vale $0{,}5$ in $n=0$ , $0{,}3183=\frac1\pi$ in $n=\pm1$ , $0$ in $n=\pm2$ , $-0{,}1061=-\frac1{3\pi}$ in $n=\pm3$ , $0{,}0637$ in $n=\pm5$ . Passa-alto con taglio $\frac14$ (la banda complementare): $g(n)=\delta_{n0}-\frac12\operatorname{sinc}\frac n2$ vale $0{,}5$ in $n=0$ , $-0{,}3183$ in $n=\pm1$ , $0$ in $n=\pm2$ , $+0{,}1061$ in $n=\pm3$ , $-0{,}0637$ in $n=\pm5$ : è proprio $(-1)^n$ volte quella del passa-basso, perché moltiplicare per $(-1)^n=e^{\mathrm i\pi n}$ trasla lo spettro di $\frac{F_p}2$ e il passa-basso $|f|<\frac14$ diventa il passa-alto $\frac14<|f|\le\frac12$ (verificato integrando $G$ su un periodo). Passa-banda con $f_0=\frac14$ , $B=0{,}1$ : $g(n)=0{,}2\operatorname{sinc}(0{,}1n)\cos\frac{\pi n}2$ vale $0{,}2$ in $n=0$ , $0$ in $n=\pm1,\pm3$ , $-0{,}1871$ in $n=\pm2$ , $+0{,}1514$ in $n=\pm4$ , $-0{,}1009$ in $n=\pm6$ (coseno che si annulla sui dispari, inviluppo sinc).

Grafico interattivo: Passa-basso ideale di banda B = 1: risposta in frequenza rect(f/2B) e risposta impulsiva g(t) = 2B sinc(2Bt) (non causale: oscilla anche per t < 0)

Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto

Definizione (trasformata zeta). Per un segnale $x(n)$ , $n\in\mathbb Z$ , la trasformata zeta (bilatera) è $X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\,z^{-n},\qquad z\in\mathbb C,$ nella regione di convergenza (RC) dove la serie converge: una corona circolare centrata nell'origine. Per un segnale causale la RC è l'esterno di una circonferenza.

Esempio. Per $x(n)=a^n1_0(n)$ si ha $X(z)=\sum_{n\ge0}\left(az^{-1}\right)^n=\dfrac1{1-az^{-1}}$ per $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$ (serie geometrica, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica). Per $a=1$ : gradino $1_0(n)\to\frac1{1-z^{-1}}$ . Per $x=\delta(n)$ : $X=1$ .

Definizione (equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti). $\sum_{i=0}^{N}a_i\,y(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_i\,x(n-i),\qquad a_0\neq0,\ a_N\neq0.$ $N$ è l'ordine del sistema. Con $a_0=1$ si ricava $y(n)$ ricorsivamente dagli $N$ valori precedenti e dall'ingresso. I coefficienti costanti rendono il sistema tempo-invariante.

Esempio. Sistema del secondo ordine $y(n-2)+y(n-1)-6\,y(n)=x(n)$ (cioè $a_0=-6$ , $a_1=a_2=1$ , $b_0=1$ ): $y(n)=\tfrac16\left[y(n-1)+y(n-2)-x(n)\right]$ . Con ingresso nullo e $y(-1)=0{,}7$ , $y(-2)=-1{,}3$ : $y(0)=\frac16(0{,}7-1{,}3)=-0{,}1$ , $y(1)=\frac16(-0{,}1+0{,}7)=0{,}1$ , ...

Teorema (scomposizione dell'uscita). $y(n)=y_\ell(n)+y_f(n)$ , dove

l'evoluzione libera $y_\ell$ è l'uscita con ingresso nullo e le condizioni iniziali date; dipende linearmente dalle condizioni iniziali ed è nulla se sono nulle (sistema scarico);

la risposta forzata $y_f=g*x$ è l'uscita con condizioni iniziali nulle; $g$ è la risposta impulsiva e dipende linearmente dall'ingresso.

Il sistema è una tf LTI sugli ingressi solo se è scarico.

Teorema (stabilità). Un sistema LTI discreto causale è stabile se e solo se tutti i suoi poli hanno modulo minore di $1$ , cioè se e solo se la RC di $G(z)$ contiene la circonferenza unitaria. Nelle dispense, con la variabile $z$ del polinomio $h(z)$ , equivale a: tutte le radici $z_i$ di $h$ hanno $\lvert z_i\rvert>1$ .

Esempio. $y(n-2)+y(n-1)-6y(n)=x(n)$ ha poli $\frac12$ e $-\frac13$ : stabile. $y(n)=2y(n-1)+x(n)$ ha il polo $2$ : instabile.

Sistemi continui descritti da equazioni differenziali

Definizione (sistema descritto da un'equazione differenziale). $\sum_{i=0}^{n}a_i\,y^{(i)}(t)=\sum_{i=0}^{m}b_i\,x^{(i)}(t),\qquad a_n\neq0,$ con $y^{(i)}$ derivata $i$ -esima. $n$ è l'ordine. I coefficienti costanti rendono il sistema tempo-invariante; l'equazione è lineare, ma il sistema è lineare sull'ingresso solo se parte da condizioni iniziali nulle.

Teorema (scomposizione). $y(t)=y_\ell(t)+y_f(t)$ per $t\ge0$ , con

evoluzione libera $y_\ell$ : la soluzione con ingresso nullo e condizioni iniziali date; combinazione lineare delle condizioni iniziali;

risposta forzata $y_f=g*x$ : la soluzione con condizioni iniziali nulle ( $y_f(0)=y_f'(0)=\dots=0$ ).

Teorema (stabilità). Il sistema è stabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa ( $\Re p_i<0$ ), cioè se $g(t)$ , combinazione di $t^je^{p_it}$ , è assolutamente integrabile (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva). In tal caso l'evoluzione libera tende a $0$ .

Esempio. Il corpo che cade ( $p=-\frac km<0$ ) è stabile. La massa-molla ideale (poli $\pm\mathrm i\omega_0$ , parte reale nulla) non è stabile BIBO: la risposta impulsiva $\frac{\sin\omega_0t}{m\omega_0}$ non è integrabile, e infatti un ingresso sinusoidale alla frequenza $\omega_0$ produce un'uscita illimitata. Il sistema $y''+2y'+5y=x$ ha poli $-1\pm2\mathrm i$ (stabile), con risposta impulsiva $g(t)=\frac12e^{-t}\sin2t\,1(t)$ (verificata).

Interpolazione LTI e teorema del campionamento

Definizione (campionatore). Il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ ha relazione ingresso-uscita $s_c(nT)=s(nT),\qquad nT\in\mathbb Z(T).$ $T$ è il periodo di campionamento, $F_c=\frac1T$ la frequenza di campionamento (campioni al secondo).

Formula (spettro del segnale campionato). $S_c(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S(f-kF_c)=\operatorname{rep}_{F_c}S(f).$ Con questa convenzione non c'è fattore $\frac1T$ (che invece compare quando si campiona con delta di Dirac).

Esempio 1. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}^2\frac tD$ ha $S(f)=A_0D\operatorname{triang}(Df)=A_0D\operatorname{triang}\frac fB$ con $B=\frac1D$ : banda limitata. Se $F_c\ge2B$ le repliche non si sovrappongono (e $S_c=S$ in $(-B,B)$ ). Con $F_c=1{,}5B$ nel periodo $\left(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\right)$ si sommano la replica principale e le repliche $k=\pm1$ : aliasing.

Grafico interattivo: Campionamento di un segnale con spettro triangolare di banda B = 1: con Fc = 3 B (≥ 2B) le repliche triangolari di Sc(f) non si sovrappongono

Definizione (filtro interpolatore). Il filtro interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g(t)$ , $t\in\mathbb R$ , ha $\tilde s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,g(t-nT)\,s(nT)=\sum_ns(nT)\,g_0(t-nT),\qquad g_0(t)=T\,g(t).$ $g_0$ è la funzione interpolatrice; $g$ è l'uscita quando all'ingresso c'è l'impulso discreto $\delta_{\mathbb Z(T)}$ (di altezza $\frac1T$ ).

Esempio. Campioni $s(nT)=(0,1,3,2,0)$ per $n=0,\dots,4$ : l'interpolatore lineare collega i punti con segmenti ( $\tilde s(1{,}5T)=2$ , la media tra $1$ e $3$ ), l'interpolatore a tenuta dà $\tilde s(t)=3$ su $[2T,3T)$ .

Grafico interattivo: Funzioni interpolatrici con T = 1: tenuta, lineare e sinc valgono 1 in 0 e 0 negli altri interi (corretta interpolazione)

Teorema (del campionamento). Sia $s(t)$ con estensione spettrale limitata, $\mathcal E(s)=(-B,B)$ , $B<\infty$ . Se $F_c=\frac1T\ \ge\ 2B,$ allora $s$ può essere ricostruito esattamente dai suoi campioni $s(nT)$ con il filtro interpolatore di risposta in frequenza $Q(f)=\operatorname{rect}\frac f{F_c}$ , cioè funzione interpolatrice $q_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$ : $s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\,\operatorname{sinc}\big[F_c(t-nT)\big].$

Esempio 1. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$ , $F_0=2\ \text{MHz}$ : la trasformata è $\frac{A_0}{F_0}\operatorname{triang}\frac f{F_0}$ , estesa su $(-F_0,F_0)$ con $B=F_0$ : il minimo è $F_c=2F_0=4\ \text{MHz}$ (ricostruzione verificata numericamente con $F_0=2$ : per $F_c=4$ l'errore è $10^{-14}$ in tre istanti, per $F_c=5$ è nullo, per $F_c=3$ è $0{,}011$ - $0{,}072$ e per $F_c=2$ fino a $0{,}22$ ). Esempio 2. $s(t)=A_0\operatorname{sinc}(F_0t)\cos(2\pi f_0t)$ con $F_0=2\ \text{kHz}$ , $f_0=1\ \text{MHz}$ : il $\operatorname{sinc}(F_0t)$ ha trasformata $\frac1{F_0}\operatorname{rect}\frac f{F_0}$ , estesa su $\left(-\frac{F_0}2,\frac{F_0}2\right)=(-1,1)\ \text{kHz}$ , e il coseno la trasla in $\pm f_0$ : lo spettro occupa $\pm f_0\pm\frac{F_0}2$ . L'estremo superiore è $B=f_0+\frac{F_0}2=1{,}001\ \text{MHz}$ e la condizione di non aliasing del teorema (con interpolatore passa-basso) è $F_c\ge2B=2{,}002\ \text{MHz}$ (v. Esercizio - ripetizione periodica e frequenza minima di campionamento). Poiché lo spettro è concentrato in due intervalli stretti lontani dall'origine, esistono anche schemi passa-banda che richiedono meno campioni, ma il teorema nella forma sopra non li usa.

6. Processi aleatori

Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione

Definizione (processo aleatorio). Un processo aleatorio $x(t)$ , $t\in I$ (con $I=\mathbb R$ o $I=\mathbb Z(T)$ ), è una famiglia di variabili aleatorie $x(t)$ definite sullo stesso spazio di probabilità: a ogni istante $t$ corrisponde una variabile aleatoria. Equivalentemente è un esperimento aleatorio il cui esito è un segnale.

Esempio (laboratorio). $x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\varphi)$ con $A\sim U[-1,1]$ e $\varphi\sim U[0,2\pi)$ indipendenti: ogni coppia $(A,\varphi)$ estratta dà una sinusoide; $x(t_1)$ è una variabile aleatoria, e a ogni estrazione corrisponde una realizzazione (Esercizio - processi aleatori, media d'insieme, correlazione e potenza temporale in Python (laboratorio 6)).

Definizione (descrizione statistica completa). La descrizione completa di $x$ è l'insieme delle funzioni di distribuzione (o densità, o funzioni di probabilità) congiunte di ogni ordine $N$ e per ogni scelta di istanti $t_1,\dots,t_N$ : $F_x(a_1,\dots,a_N;t_1,\dots,t_N)=P\big[x(t_1)\le a_1,\dots,x(t_N)\le a_N\big]\ \ \text{(equivalentemente }f_x(a_1,\dots,a_N;t_1,\dots,t_N)\text{)}.$ Per processi a valori discreti si usa la funzione probabilità $p_x(a_1,\dots,a_N;t_1,\dots,t_N)=P[x(t_1)=a_1,\dots]$ .

Esempio 1 (simboli binari). Il processo $x(t)$ , $t\in\mathbb Z(T)$ , ha valori indipendenti in ogni istante, con $p_x(1;t)=p_x(-1;t)=\frac12$ . Il primo ordine è $p_x(a;t)=\frac12$ per $a=\pm1$ ; il secondo ordine, per $t\neq s$ , è $p_x(a,b;t,s)=\frac14$ per ogni coppia $(a,b)\in\{\pm1\}^2$ , mentre per $t=s$ si ha $p_x(a,b;t,t)=\frac12$ se $a=b=\pm1$ e $0$ altrimenti.

Definizione (descrizione di potenza). Per un processo $x(t)$ , con $E[\cdot]$ il valore atteso:

media $m_x(t)=E[x(t)]$ ;

correlazione (autocorrelazione) $r_x(t,s)=E\big[x(t)\,x^*(s)\big]$ ;

potenza statistica $M_x(t)=r_x(t,t)=E\big[\lvert x(t)\rvert^2\big]$ ;

varianza $\sigma_x^2(t)=M_x(t)-\lvert m_x(t)\rvert^2$ ;

covarianza $c_x(t,s)=r_x(t,s)-m_x(t)\,m_x^*(s)$ .

Esempio (i tre processi del laboratorio, $f_0$ fissata). Con $A\sim U[-1,1]$ ( $E[A]=0$ , $E[A^2]=\frac13$ ) e $\varphi\sim U[0,2\pi)$ indipendenti, usando $E[\cos(\alpha+\varphi)]=0$ e $E[\cos(\alpha+\varphi)\cos(\beta+\varphi)]=\frac12\cos(\alpha-\beta)$ :

Definizione (processo gaussiano). $x(t)$ è un processo gaussiano (reale) se per ogni $N$ e ogni scelta di istanti $t_1,\dots,t_N$ il vettore $\big(x(t_1),\dots,x(t_N)\big)$ è un vettore gaussiano (Vettori gaussiani, Distribuzione gaussiana (normale)).

Teorema (descrizione completa di un processo gaussiano). La descrizione statistica completa di un processo gaussiano è data dalla sola descrizione di potenza: media $m_x(t)$ e covarianza $c_x(t,s)=r_x(t,s)-m_x(t)m_x(s)$ (basta la correlazione se la media è nulla). Il vettore dei campioni in $t_1,\dots,t_N$ ha media $\big(m_x(t_i)\big)$ e matrice di covarianza $\big[c_x(t_i,t_j)\big]$ .

Esempio di calcolo. Sia $x(t)$ gaussiano a media nulla con $r_x(t,s)=\operatorname{sinc}^2\frac{t-s}{2T}$ . Allora $r_x(0)=1$ (potenza e varianza $1$ ), $r_x(T)=\operatorname{sinc}^2\frac12=\left(\frac2\pi\right)^2=0{,}4053$ , $r_x(2T)=\operatorname{sinc}^21=0$ .

Processi stazionari e densità spettrale di potenza

Definizione (forme di stazionarietà). Il processo $x(t)$ , $t\in I$ , è stazionario

in media se $m_x(t)=m_x$ non dipende da $t$ ;

in potenza statistica se $M_x(t)=E\lvert x(t)\rvert^2$ non dipende da $t$ ;

nella descrizione del primo ordine se la densità $f_x(a;t)=f_x(a)$ non dipende da $t$ (allora tutti i momenti di $x(t)$ , in particolare media e potenza, sono costanti);

in correlazione se $r_x(t,s)=r_x(t-s)$ dipende solo dalla differenza $\tau=t-s$ (allora $M_x=r_x(0)$ è costante);

in senso lato (sl, o debolmente) se è stazionario in media e in correlazione;

in senso stretto (ss) se la descrizione statistica di ogni ordine è invariante per traslazioni: $f_x(a_1,\dots,a_N;t_1+\theta,\dots,t_N+\theta)=f_x(a_1,\dots,a_N;t_1,\dots,t_N)$ per ogni $N$ , $t_i$ , $\theta$ (con $\theta\in I$ ).

Esempio (i tre processi del laboratorio, $f_0$ fissata). Con $A\sim U[-1,1]$ e $\varphi\sim U[0,2\pi)$ indipendenti:

Definizione (densità spettrale di potenza, PSD). Per un processo sl $x$ , la densità spettrale di potenza statistica è la trasformata di Fourier della correlazione: $R_x(f)=\mathcal F[r_x](f)=\int_{-\infty}^{\infty}r_x(\tau)\,e^{-\mathrm i2\pi f\tau}\,d\tau.$ Per un processo su $\mathbb Z(T)$ : $R_x(f)=\sum_{k}T\,r_x(kT)\,e^{-\mathrm i2\pi fkT}$ (periodica di periodo $\frac1T$ ).

Grafico interattivo: Correlazione r(τ) = σ² e^{-|τ|/τc} e densità spettrale R(f) = 2σ²τc/(1+(2πfτc)²), con σ² = 2 e τc = 0,5 (nelle rispettive variabili τ e f): stessa curva tratteggiata per r(τ), area di R(f) = 2

Definizione (rumore bianco). Un processo sl a media nulla è bianco se la PSD è costante a tutte le frequenze, $R_x(f)=\frac{N_0}2$ (densità bilatera), cioè $r_x(\tau)=\frac{N_0}2\,\delta(\tau)$ : valori in istanti distinti scorrelati. Un rumore gaussiano bianco a media nulla è un processo gaussiano di questo tipo: i valori in istanti distinti sono anche indipendenti.

Definizione (processo ciclostazionario). Un processo è ciclostazionario con periodo $T_p$ se le sue statistiche sono periodiche nel tempo: $m_x(t+T_p)=m_x(t)$ e $r_x(t+T_p,s+T_p)=r_x(t,s)$ (per la descrizione di potenza; in senso stretto, se ogni densità è invariante per traslazioni di multipli di $T_p$ ).

Esempio (modulatore). $y(t)=x(t)\cos2\pi f_0t$ con $x$ sl a media $m_x$ : $m_y(t)=m_x\cos2\pi f_0t$ e $r_y(t,s)=r_x(t-s)\cos2\pi f_0t\cos2\pi f_0s$ , periodici di periodo $T_p=\frac1{f_0}$ (la correlazione anche di $\frac1{2f_0}$ ). Non è stazionario ( $M_y(t)=r_x(0)\cos^2(2\pi f_0t)$ ), ma è ciclostazionario.

Definizione (ergodicità in media). Un processo sl $x$ è ergodico in media se la media temporale su una realizzazione $\langle x\rangle_{T_0}=\frac1{2T_0}\int_{-T_0}^{T_0}x(t)\,dt\quad\text{(somma }\textstyle\frac1{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x(nT)\text{ nel discreto)}$ converge in media quadratica a $m_x$ per $T_0\to\infty$ .

Esempio. Un processo i.i.d. è ergodico in media. Per $x(t)=\cos(2\pi f_0t+\varphi)$ la media temporale è $0=m_x$ (ergodico in media); per $x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\varphi)$ pure. Non è ergodico il processo $x(t)=Z$ con $Z$ variabile aleatoria costante in $t$ (è sl, ma ogni realizzazione ha media temporale $Z\neq m_x$ ). Anche l'ergodicità in potenza fallisce per $A\cos(\cdot)$ : la potenza temporale di una realizzazione è $\frac{A^2}2$ , che varia con la realizzazione, mentre $M_x=\frac16$ (è quello che si vede nel laboratorio, Esercizio - processi aleatori, media d'insieme, correlazione e potenza temporale in Python (laboratorio 6)). Numericamente, per un processo AR(1) $x(n)=0{,}9\,x(n-1)+w(n)+1$ ( $w$ i.i.d. $N(0,1)$ ) di media vera $\frac1{1-0{,}9}=10$ , la media temporale su $2\cdot10^5$ campioni vale $10{,}002$ .

Processi aleatori attraverso sistemi LTI

Teorema (tf lineare). Se $y(t)=\int_Ih(t,u)\,x(u)\,du$ (nucleo $h$ ; nel discreto l'integrale è la somma pesata con $T$ ) allora $m_y(t)=\int h(t,u)\,m_x(u)\,du,\qquad r_y(t,s)=\iint h(t,u)\,r_x(u,v)\,h^*(s,v)\,du\,dv.$

Esempio (finestra). La finestra $y=w\,x$ ha nucleo $h(t,u)=w(t)\delta(t-u)$ , quindi $m_y(t)=w(t)m_x(t)$ e $r_y(t,s)=w(t)\,w^*(s)\,r_x(t,s)$ , $M_y(t)=\lvert w(t)\rvert^2M_x(t)$ . Anche se $x$ è stazionario, $y$ in generale non lo è: per $x$ a campioni indipendenti a media nulla e varianza $\sigma^2$ si ha $M_y(t)=\sigma^2\lvert w(t)\rvert^2$ , che dipende da $t$ (per esempio con $w=\cos(2\pi f_0t)$ ). I valori di $y$ restano indipendenti ma non identicamente distribuiti (Esercizio - processo a campioni indipendenti attraverso una finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025)).

Teorema. Se $\varphi$ è tempo-invariante (commuta con le traslazioni) e $x$ è stazionario in senso stretto, anche $y=\varphi[x]$ è stazionario in senso stretto, rispetto alle traslazioni $\theta$ comuni al dominio d'ingresso $I$ e a quello d'uscita $U$ .

Teorema (filtro LTI su un processo sl). Sia $x$ sl (media $m_x$ , correlazione $r_x(\tau)$ , PSD $R_x$ ) e $y=g*x$ l'uscita di un filtro stabile con risposta impulsiva $g$ e risposta in frequenza $G$ . Allora $y$ è sl (conserva la stazionarietà) e $m_y=G(0)\,m_x,\qquad r_y(\tau)=\iint g(u)\,g^*(v)\,r_x(\tau-u+v)\,du\,dv,\qquad R_y(f)=\lvert G(f)\rvert^2R_x(f).$ Inoltre la correlazione mutua è $r_{yx}(\tau)=(g*r_x)(\tau)$ , $R_{yx}=G\,R_x$ . Se $x$ è gaussiano, $y$ è gaussiano e sl, quindi anche ss. Nel discreto gli integrali sono somme con peso $T$ e $G(0)=\sum_kT\,g(kT)$ .

Esempio 1 (rumore bianco in un RC). $R_x=\frac{N_0}2$ e $G=\frac1{1+\mathrm i2\pi fT}$ : $R_y=\frac{N_0/2}{1+(2\pi fT)^2}$ , $r_y(\tau)=\frac{N_0}{4T}e^{-\lvert\tau\rvert/T}$ , potenza $M_y=\frac{N_0}{4T}$ (perché $\int\frac{df}{1+(2\pi fT)^2}=\frac1{2T}$ ). Per un passa-basso ideale di banda $B$ si ha $M_y=N_0B$ .

Grafico interattivo: Esempio 3 con r0 = 4, F1 = 1: PSD in ingresso R_x(f) e in uscita R_y(f) = |G|²R_x (tagliata a ±F1/2), potenza M_y = 3 (area colorata)

Principio di irrilevanza. Se la PSD del processo è nulla fuori dalla banda passante $\mathcal B$ di un filtro con $G=1$ in $\mathcal B$ , il filtro è irrilevante: $y=x$ in media quadratica.

Teorema. Sia $x(t)$ sl con PSD nulla fuori da $(-B,B)$ e $F_c=\frac1T\ge2B$ . Allora $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\,\operatorname{sinc}\big[F_c(t-nT)\big]\qquad\text{in media quadratica: }E\Big\lvert x(t)-\sum_nx(nT)\operatorname{sinc}[F_c(t-nT)]\Big\rvert^2=0\ \ \forall t.$