Esercizio - estensione e segnali causali

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.4A e 2.4B, con l'Esempio 2.4A).

• 2.4A. I segnali $s(t)$ e $r(t)$ abbiano rispettivamente estensione $e[s]$ ed $e[r]$. Dimostrare che $r(t)+s(t)$ ha estensione $e[s]\cup e[r]$.
• 2.4B. Verificare che un segnale $s(t)$ è causale se e solo se $s(t)=s(t)\,\mathbf 1(t)$.
• Esempio 2.4A. L'intersezione $e[s]\cap e[r]$ è un'estensione del prodotto $y=s\,r$, ma il prodotto può avere un'estensione minima più piccola, e può anche essere identicamente nullo: trovare esempi.

Teoria usata: Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →.

Le definizioni

• Un segnale $s(t)$ è a durata limitata se esiste un intervallo $[t_s,T_s]$ fuori dal quale $s(t)=0$. Quell'intervallo si chiama estensione $e[s]=[t_s,T_s]$ e la sua lunghezza $D_s=T_s-t_s$ durata.
• L'estensione non è unica: ogni intervallo più grande di un'estensione è ancora un'estensione (se $s=0$ fuori da $[-1,1]$ lo è anche fuori da $[-5,5]$). Diventa univoca prendendo il più piccolo intervallo con quella proprietà (estensione minima).
• Per segnali non limitati si usano anche $e[s]=[t_s,+\infty)$ (estensione limitata solo a sinistra), $(-\infty,T_s]$, oppure tutto $\mathbb R$.
• Un segnale è causale se $s(t)=0$ per $t<0$, cioè se $e[s]\subseteq[0,+\infty)$.
• Il gradino vale $\mathbf 1(t)=0$ per $t<0$ e $1$ per $t>0$, con $\mathbf 1(0)=\frac12$ per la regola dell'emivalore.

(Es. 2.4A) L'estensione di una somma

Tesi. $e[s]\cup e[r]$ è un'estensione di $y=r+s$, cioè $y(t)=0$ per ogni $t$ fuori da $e[s]\cup e[r]$.

Dimostrazione. Sia $t$ un istante che non appartiene all'unione $e[s]\cup e[r]$. Allora $t\notin e[s]$ e $t\notin e[r]$ (essere fuori dall'unione significa essere fuori da entrambi gli insiemi). Per la definizione di estensione:

• $t\notin e[s]\ \Rightarrow\ s(t)=0$;
• $t\notin e[r]\ \Rightarrow\ r(t)=0$.

Dunque $y(t)=r(t)+s(t)=0+0=0$. $\square$

Tre osservazioni che completano il discorso.

1. Se i due intervalli sono staccati l'unione non è un intervallo. Esempio: $s=\operatorname{rect}(t)$ (vale $1$ per $\lvert t\rvert<\frac12$, estensione $[-\frac12,\frac12]$) e $r=\operatorname{rect}(t-3)$ (estensione $[\frac52,\frac72]$): la somma è nulla fuori dai due intervalli. Se si vuole un'estensione che sia un intervallo si prende il più piccolo intervallo che li contiene entrambi, $[\min(t_s,t_r),\max(T_s,T_r)]=[-\frac12,\frac72]$, di durata $4$.
2. L'unione non è in generale l'estensione minima: i due segnali possono cancellarsi. Esempio con $s(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$ (vale $1$ per $\lvert t\rvert<1$) e $r(t)=\operatorname{rect}(t)-\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$. Il segnale $r$ vale $1-1=0$ per $\lvert t\rvert<\frac12$ e $0-1=-1$ per $\frac12<\lvert t\rvert<1$: ha estensione minima $[-1,1]$, uguale a quella di $s$, quindi $e[s]\cup e[r]=[-1,1]$. Ma la somma è $s+r=\operatorname{rect}(t)$, che ha estensione minima $[-\frac12,\frac12]$, più piccola. Controllo numerico: $t=0{,}25$: $s=1$, $r=0$, somma $1$; $t=0{,}75$: $s=1$, $r=-1$, somma $0$ (cancellazione).
3. Caso estremo: $r=-s$ dà $y\equiv0$, con qualunque $e[s]$.

(Es. 2.4B) Causale se e solo se $s(t)=s(t)\,\mathbf 1(t)$

L'idea: moltiplicare per $\mathbf 1(t)$ lascia invariato il segnale dove $\mathbf 1=1$ (cioè per $t>0$) e lo azzera dove $\mathbf 1=0$ (per $t<0$). Il segnale $s\,\mathbf 1$ è la parte causale di $s$: coincide con $s$ per $t>0$ ed è nulla per $t<0$.

($\Rightarrow$) Se $s$ è causale allora $s=s\,\mathbf 1$. Si confrontano i due membri in tre zone.

• $t<0$: $s(t)\mathbf 1(t)=s(t)\cdot0=0$, e $s(t)=0$ perché il segnale è causale ✓.
• $t>0$: $s(t)\mathbf 1(t)=s(t)\cdot1=s(t)$ ✓.
• $t=0$: è un punto isolato e il suo valore è fissato dalla regola dell'emivalore. Il prodotto $s\,\mathbf 1$ è zero a sinistra di $0$, e a destra tende a $s(0^+)$: per la regola vale $\frac12 s(0^+)$. Il segnale $s$, che a sinistra è $0$, ha per la stessa regola $s(0)=\frac12[0+s(0^+)]=\frac12 s(0^+)$: i due valori coincidono ✓. (Se $s$ è continua in $0$ allora $s(0^-)=0$ forza $s(0)=0$ e non c'è nessun salto. Non va invece usato il prodotto dei due numeri $s(0)\cdot\mathbf 1(0)=\frac12s(0)$, che darebbe un valore diverso: il valore in un solo punto non cambia nessun integrale, ma il prodotto di segnali va inteso con questa regola.)

($\Leftarrow$) Se $s=s\,\mathbf 1$ allora $s$ è causale. Per $t<0$ si ha $s(t)=s(t)\mathbf 1(t)=s(t)\cdot0=0$, che è la definizione di causale. $\square$

Esempi con numeri.

• $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ è causale e $s\cdot\mathbf 1=e^{-t}\mathbf 1(t)^2=e^{-t}\mathbf 1(t)=s$, perché $\mathbf 1(t)^2=\mathbf 1(t)$ (i valori $0$ e $1$ elevati al quadrato non cambiano). In $t=-1$ entrambi valgono $0$; in $t=2$ entrambi $e^{-2}\approx0{,}1353$.
• $s(t)=e^{-\lvert t\rvert}$ non è causale: in $t=-1$ vale $e^{-1}\approx0{,}3679\neq0$, e infatti $s(t)\mathbf 1(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ vale $0$ in $t=-1$, quindi $s\neq s\mathbf 1$. La parte causale di $s$ è $e^{-t}\mathbf 1(t)$.
• La rampa $s_c(t)=\beta t\,\mathbf 1(t)$ è la parte causale della retta $\beta t$.

Complemento (Esempio 2.4A): l'estensione di un prodotto

Perché l'intersezione è un'estensione. Se $t\notin e[s]\cap e[r]$ allora $t$ è fuori da almeno uno dei due insiemi, quindi $s(t)=0$ oppure $r(t)=0$, e il prodotto $y(t)=s(t)r(t)=0$. Dunque $e[s]\cap e[r]$ è un'estensione di $y=s\,r$ ✓.

Ma può essere più grande di quella minima. Due controesempi, entrambi con segnali fatti di $\operatorname{rect}$:

(a) Prodotto non nullo con estensione più piccola. $s(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)-\operatorname{rect}\big(2(t-\frac14)\big)$ e $r(t)=\operatorname{rect}(t)$. Il primo termine di $s$ vale $1$ per $\lvert t\rvert<1$; il secondo vale $1$ quando $\lvert2(t-\frac14)\rvert<\frac12$, cioè per $0<t<\frac12$. Quindi $s=1$ per $-1<t<0$, $s=0$ per $0<t<\frac12$ e $s=1$ per $\frac12<t<1$: l'estensione minima è $[-1,1]$ (c'è un "buco" tra $0$ e $\frac12$). Il segnale $r$ ha estensione minima $[-\frac12,\frac12]$. L'intersezione è $[-\frac12,\frac12]$, ma il prodotto vale $1$ solo per $-\frac12<t<0$ (dove $s=1$ e $r=1$) e $0$ altrove: la sua estensione minima è $[-\frac12,0]$, di durata la metà.

(b) Prodotto identicamente nullo. $s(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)-\operatorname{rect}(2t)$ vale $1$ per $\frac14<\lvert t\rvert<1$ e $0$ per $\lvert t\rvert<\frac14$ (estensione minima $[-1,1]$); $r(t)=\operatorname{rect}(2t)$ vale $1$ per $\lvert t\rvert<\frac14$ (estensione minima $[-\frac14,\frac14]$). Le due estensioni minime sono non vuote e l'intersezione $[-\frac14,\frac14]$ è non vuota, ma i due segnali non sono mai contemporaneamente diversi da zero: il prodotto è nullo (i valori nei due soli punti $\pm\frac14$ sono convenzioni di bordo e non contano).

Controllo

import numpy as np

rect = lambda x: np.where(np.abs(x) < 0.5, 1.0, np.where(np.abs(x) == 0.5, 0.5, 0.0))
g = np.linspace(-3, 3, 600001)

def estensione(f):          # primo e ultimo punto della griglia dove il segnale e' non nullo
    nz = g[np.abs(f(g)) > 1e-12]
    return float(round(nz.min(), 3)), float(round(nz.max(), 3))

# 2.4A: somma con cancellazione
s = lambda t: rect(t/2)
r = lambda t: rect(t) - rect(t/2)
print(estensione(s), estensione(r), estensione(lambda t: s(t) + r(t)))   # (-1,1) (-1,1) (-0.5,0.5)

# Esempio 2.4A (a): prodotto con estensione piu' piccola
s2 = lambda t: rect(t/2) - rect(2*(t - 0.25))
print(estensione(s2), estensione(rect), estensione(lambda t: s2(t)*rect(t)))  # (-1,1) (-0.5,0.5) (-0.5,0)

# Esempio 2.4A (b): prodotto nullo
s3 = lambda t: rect(t/2) - rect(2*t)
print(np.abs(s3(g) * rect(2*g)).max())                                   # 0.0

# 2.4B: s causale <=> s = s*1(t)
u = lambda t: np.where(t > 0, 1.0, np.where(t == 0, 0.5, 0.0))
t = np.array([-1.0, -0.2, 0.5, 2.0])
print(np.exp(-t)*u(t), np.exp(-t)*u(t)*u(t))        # uguali (segnale causale)
print(np.exp(-np.abs(t)), np.exp(-np.abs(t))*u(t))  # diversi per t<0 (non causale)

Eseguendo il codice si ottiene: le estensioni minime $(-1,1)$, $(-1,1)$ e $(-0{,}5,0{,}5)$ per $s$, $r$ e $s+r$; $(-1,1)$, $(-0{,}5,0{,}5)$ e $(-0{,}5,0)$ per $s_2$, $\operatorname{rect}$ e il prodotto; massimo del prodotto nel caso (b) uguale a $0$; il segnale causale coincide con $s\mathbf 1$ ($0$, $0$, $0{,}6065$, $0{,}1353$), l'altro no ($0{,}3679$ contro $0$ in $t=-1$).