Segnali a tempo discreto

Definizione

Definizione (segnale a tempo discreto). Un segnale a tempo discreto è una funzione complessa di variabile discreta $$s:\mathbb Z(T)\to\mathbb C,\qquad \mathbb Z(T)=\{nT\mid n\in\mathbb Z\}=\{\dots,-2T,-T,0,T,2T,\dots\},\ T>0.$$ $T$ è il quanto temporale; il reciproco $F_p=\frac1T$ è la velocità del segnale (numero di valori per unità di tempo).

Esempio. Con $T=2$ ms il segnale $s(nT)$ ha $F_p=500$ valori al secondo e il suo dominio è $\{\dots,-4\text{ ms},-2\text{ ms},0,2\text{ ms},\dots\}$.

Si usano tre scritture equivalenti: $s(nT)$, $n\in\mathbb Z$, che mette in evidenza la natura discreta; $s(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, che richiama i segnali continui; oppure $s_n$. In queste note $T$ resta sempre esplicito (non si pone $T=1$): le grandezze fisiche (energia in V$^2$·s, area in V·s) mantengono le dimensioni, e si possono confrontare segnali con quanti diversi (campionamento, cambi di velocità). Per $T=1$ si ritrovano le formule "senza $T$" dei testi di elaborazione numerica.

Un segnale discreto è definito solo nei punti di $\mathbb Z(T)$: nei punti intermedi non esiste. Si disegna con un pallino per ogni valore, collegato all'asse (grafico "a stelo", stem). Per interpretare le definizioni si associa al segnale discreto il segnale continuo $\tilde s(t)=s(nT)$ per $nT\le t<(n+1)T$ ottenuto per interpolazione a tenuta (si mantiene il valore per un quanto, "zero order hold"): area, energia e potenza del discreto, definite sotto, sono uguali a quelle di $\tilde s$.

Un segnale discreto nasce di norma da una di due fonti: dal campionamento di un segnale continuo, $s_c(nT)=s_0(nT)$ (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →), oppure è prodotto direttamente da un calcolatore o da una successione di simboli. Può essere complesso: per rappresentarlo si usano due grafici (parte reale e immaginaria, o modulo e fase), come nel caso continuo.

Simmetrie, traslazione e ribaltamento

Le definizioni di Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni → si trasferiscono letteralmente: $s$ è pari se $s(nT)=s(-nT)$, dispari se $s(nT)=-s(-nT)$, hermitiano se $s^*(nT)=s(-nT)$, causale se $s(nT)=0$ per $n<0$. Ogni segnale si scompone in parte pari e dispari. Il ribaltamento è $s(-nT)$. La traslazione di $t_0$ ha senso solo se $t_0=n_0T\in\mathbb Z(T)$ (altrimenti $s(nT-t_0)$ non è definito): $s(nT-n_0T)$ è ritardato se $n_0>0$.

Le tre coppie di simmetrie e le tre scomposizioni (pari/dispari, parte reale/immaginaria, hermitiana/antihermitiana) funzionano come nel caso continuo, con la parte pari $s_p(nT)=\tfrac12[s(nT)+s(-nT)]$, la dispari $s_d(nT)=\tfrac12[s(nT)-s(-nT)]$ e la hermitiana $s_h(nT)=\tfrac12[s(nT)+s^*(-nT)]$. C'è una semplificazione: un segnale dispari vale $0$ nell'origine senza bisogno di ipotesi di continuità, perché $s(0)=-s(0)$ (nel continuo serviva che il segnale fosse continuo in $0$).

Esempio (pari e dispari). L'esponenziale causale $s(nT)=(\frac12)^n\mathbf 1_0(nT)$ ha $s(0)=1$ e vale $0$ per $n<0$. Le due parti, per $n=-2,\dots,2$:

In formule $s_p=\frac12(\frac12)^{|n|}$ per $n\ne0$ e $s_p(0)=1$, $s_d=\frac12\operatorname{sgn}(n)(\frac12)^{|n|}$. La somma restituisce $s$ in ogni colonna (per esempio $n=-1$: $0{,}25-0{,}25=0$; $n=1$: $0{,}25+0{,}25=0{,}5$).

Esempio (hermitiano). Il segnale complesso $s(nT)=\frac1{1+i\,n}$ vale $s(0)=1$, $s(\pm1)=\frac1{1\pm i}=0{,}5\mp0{,}5i$, $s(\pm2)=\frac{1\mp2i}5=0{,}2\mp0{,}4i$. Si legge $s(-nT)=s^*(nT)$ in ogni coppia ($s(-1)=0{,}5+0{,}5i$ è il coniugato di $s(1)=0{,}5-0{,}5i$): è hermitiano, con parte reale $\frac1{1+n^2}$ pari e parte immaginaria $-\frac n{1+n^2}$ dispari. Come nel continuo, un segnale reale e pari è hermitiano.

Area, valor medio, energia, potenza

L'integrale è sostituito da una somma, con il quanto $T$ al posto di $dt$ (così ogni valore $s(nT)$ contribuisce con un'area "concentrata" $T\,s(nT)$ e le dimensioni sono le stesse del caso continuo).

Definizione (parametri di un segnale discreto). $$\operatorname{area}(s)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT),\qquad m_s=\lim_{N\to\infty}\frac1{(2N+1)T}\sum_{n=-N}^{N}T\,s(nT),$$ $$E_s=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,|s(nT)|^2,\qquad P_s=\lim_{N\to\infty}\frac1{(2N+1)T}\sum_{n=-N}^{N}T\,|s(nT)|^2.$$

Esempio. $s(nT)=(\frac12)^n$ per $n\ge0$ e $0$ altrove (esponenziale causale, $a=\frac12$) ha area $T\sum_{n\ge0}(\frac12)^n=2T$ ed energia $T\sum(\frac14)^n=\frac43T$, serie geometriche (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →); con $T=1$ ms: area $2$ ms e energia $\frac43$ ms. L'energia è finita, quindi la potenza è nulla (stesso teorema del caso continuo, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →).

I segnali periodici hanno area ed energia infinite e si usano le somme su un periodo (vedi sotto). Estensione e durata hanno la stessa definizione, ma l'estensione $e(s)=\{n_sT,\dots,N_sT\}$ è fatta di punti isolati: la durata è $D(s)=T\times(\text{numero di punti})$, perché la misura di un insieme discreto vale $T$ per ogni punto (non zero).

Esempio. Un segnale con estensione $\{-5T,\dots,11T\}$ ha $17$ punti e durata $D=17T$.

Segnali periodici

Un segnale discreto è periodico se esiste $T_p=NT$ (multiplo intero di $T$) con $s(nT+T_p)=s(nT)$ per ogni $n$; $N$ è il numero di campioni per periodo. Un segnale periodico è completamente specificato da $N$ valori, ad esempio $s(0),s(T),\dots,s((N-1)T)$: questa è la proprietà che rende possibile il trattamento al calcolatore (tutti gli altri segnali si possono trattare solo in modo approssimato). Area, energia, valor medio e potenza si calcolano su un periodo: ad esempio $E_s(T_p)=\sum_{n=n_0}^{n_0+N-1}T|s(nT)|^2$, per qualunque $n_0$, e $P_s=E_s(T_p)/T_p$.

Impulso, gradino, rect ed esponenziali

Impulso ideale discreto. A differenza del caso continuo la definizione non pone problemi: $$\delta(nT)=\begin{cases}\dfrac1T&n=0\\0&n\ne0\end{cases}$$ (l'altezza $1/T$ serve perché l'area sia $\sum T\,\delta(nT)=1$, come per $\delta(t)$). Quando i due impulsi compaiono insieme si scrivono $\delta_{\mathbb R}(t)$ e $\delta_{\mathbb Z(T)}(t)$. Proprietà:

Proprietà (impulso discreto). Per ogni segnale $s$ e $n_0\in\mathbb Z$:

• rivelatrice: $\displaystyle\sum_nT\,s(nT)\,\delta(nT-n_0T)=s(n_0T)$;
• moltiplicazione: $s(nT)\,\delta(nT-n_0T)=s(n_0T)\,\delta(nT-n_0T)$;
• scomposizione: $s(nT)=\displaystyle\sum_mT\,s(mT)\,\delta(nT-mT)$, cioè ogni segnale discreto è una combinazione lineare di impulsi traslati, con pesi $T\,s(mT)$.

Esempio. $s(nT)=n^2\operatorname{rect}\frac{nT-2T}{7T}$ vale $n^2$ per $n=-1,\dots,5$ (sette punti centrati in $2T$) e si scrive $s=T\big[\delta(nT+T)+0+\delta(nT-T)+4\delta(nT-2T)+9\delta(nT-3T)+16\delta(nT-4T)+25\delta(nT-5T)\big]$ (il peso dell'impulso in $mT$ è $T\,m^2$; il termine in $m=0$ è nullo).

Per $T=1$ l'impulso discreto è il simbolo di Kronecker $\delta_{n0}$.

Gradino discreto. $\mathbf 1_0(nT)=1$ per $n\ge0$ e $0$ per $n<0$. Attenzione: $\mathbf 1_0(0)=1$, mentre il gradino continuo ha $\mathbf 1(0)=\frac12$; quindi $\mathbf 1_0$ non è esattamente il campionamento di $\mathbf 1(t)$.

Impulso rettangolare discreto. Con la stessa formula del continuo, $$r(nT)=\operatorname{rect}\Big(\frac{nT-t_0}D\Big),\qquad t_0=\frac{n_1+n_2}2T,\quad D=(n_2-n_1+1)T,$$ vale $1$ sui punti $n_1T,\dots,n_2T$ e $0$ altrove ($t_0$ è il centro e $D$ la durata). Le discontinuità del rect cadono in $(n_1-\frac12)T$ e $(n_2+\frac12)T$, che non sono multipli di $T$: il segnale discreto non le incontra mai e non serve la regola dell'emivalore. Un rect centrato nell'origine ha un numero dispari di valori unitari.

Esempio. $\operatorname{rect}\frac{nT}{9T}$ vale $1$ per $n=-4,\dots,4$ (nove valori); $\operatorname{rect}\frac{nT}{8T}$ centrato in $\frac T2$ vale $1$ per $n=-3,\dots,4$ (otto valori, $t_0=\frac T2$).

Esponenziale causale. $s(nT)=a^n\,\mathbf 1_0(nT)$, con $a$ complesso: per $|a|<1$ decresce a zero (per $a=\frac56$ monotono, per $a=-\frac34$ con segni alternati).

Esponenziali e sinusoidi discreti. Sono $A\,e^{i2\pi f_0nT}$ ($A$ complesso, $f_0$ reale) e $A_0\cos(2\pi f_0nT+\varphi_0)$. Due fatti li distinguono dal caso continuo:

1. Non sono sempre periodici. Serve un multiplo $NT$ per cui $e^{i2\pi f_0NT}=1$, cioè $f_0NT$ intero: $\dfrac{f_0}{F_p}=\dfrac kN$ con $k,N$ interi (la frequenza e la velocità devono essere commensurabili). Se non lo sono, il segnale è aperiodico. Il periodo discreto $NT$ coincide con quello del continuo solo se $k=1$; per $k>1$ è $N$ volte quello discreto "naturale".
2. La frequenza è ambigua. Poiché $e^{i2\pi(f_0+rF_p)nT}=e^{i2\pi f_0nT}e^{i2\pi rn}=e^{i2\pi f_0nT}$ per $r$ intero, a due segnali continui con frequenze $f_0$ e $f_0+rF_p$ corrispondono gli stessi campioni. È l'origine dell'aliasing (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →).

Esempio. Con $f_0T=\frac2{27}$ ($T_0/T=\frac{27}2$): $k=2$, $N=27$, il segnale è periodico di periodo minimo $27T=2T_0$ (verificato numericamente: $27$ è il più piccolo $P$ con $s(n+P)=s(n)$). Con $f_0T=0{,}1$ e $f_0'T=1{,}1$ i valori $\cos(2\pi\,0{,}1\,n)$ e $\cos(2\pi\,1{,}1\,n)$ coincidono: $1,\,0{,}809,\,0{,}309,\,-0{,}309,\,-0{,}809,\dots$

Convoluzione

Definizione (convoluzione discreta). $$s(nT)=x*y(nT)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}T\,x(kT)\,y(nT-kT).$$ Se le estensioni sono $e(x)=\{n_xT,\dots,N_xT\}$ e $e(y)=\{n_yT,\dots,N_yT\}$, allora $e(x*y)=\{(n_x+n_y)T,\dots,(N_x+N_y)T\}$ e la durata è $D(x*y)=D(x)+D(y)-T$.

Valgono tutte le proprietà del caso continuo: commutativa, associativa, lineare, area ($\operatorname{area}(x*y)=\operatorname{area}(x)\operatorname{area}(y)$), traslazione. L'elemento neutro è l'impulso discreto, proprio grazie all'altezza $\frac1T$ e al peso $T$ nella somma: $\delta*s(nT)=\sum_kT\,\delta(kT)s(nT-kT)=s(nT)$.

Esempio. Con $x=A_0\operatorname{rect}\frac{nT}{9T}$ ($n=-4,\dots,4$) e $y=B_0\operatorname{rect}\frac{nT}{7T}$ ($n=-3,\dots,3$), la convoluzione ha estensione $\{-7T,\dots,7T\}$ (durata $15T=9T+7T-T$). Il valore in $n$ è $T\,A_0B_0$ per il numero di $k$ con $x(kT)y(nT-kT)\ne0$: $7,7,7$ per $n=0,\pm1$ e poi $6,5,4,3,2,1$ per $n=2,\dots,7$ (e simmetrico). Si ottiene un trapezio isoscele discreto, analogo a quello continuo. La verifica con la convoluzione numerica (np.convolve moltiplicata per $T$) dà esattamente questi valori.

Segnali periodici. Per due segnali periodici con lo stesso periodo $T_p=NT$ la somma si limita a un periodo e si ottiene la convoluzione ciclica: $$x*y(nT)=\sum_{k=k_0}^{k_0+N-1}T\,x(kT)\,y(nT-kT),$$ ancora periodica di periodo $T_p$. Come nel caso continuo ha le stesse proprietà (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →).

Altre operazioni

• Incremento $\Delta s(nT)=s(nT)-s((n-1)T)$ e somma corrente $y(nT)=\sum_{k\le n}T\,s(kT)$ sono gli analoghi discreti di derivata e integrale. La somma corrente è la convoluzione $s*\mathbf 1_0$.
• Esempio. Per $s=a^n\mathbf 1_0(n)$ con $a=\frac12$: l'incremento vale $1,\ -\frac12,\ -\frac14,\ -\frac18,\dots$ ($n=0,1,2,3$; da $n=1$ è $a^{n-1}(a-1)$) e la somma corrente in $n=2$ è $T\,\frac{1-a^3}{1-a}=1{,}75\,T$.
• Cambio di scala. $y(u)=x(au)$ per $a\ne0$ è definito su $\mathbb Z(T/|a|)$: per esempio $x(3u)$ vive su $\mathbb Z(T/3)$ (ha valori ogni $T/3$: i campioni di $x$ sono letti a una velocità tripla). La decimazione e l'espansione sono in Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →.

Esercizi collegati

• Esercizio - area, energia e impulsi di segnali discreti
• Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari discreti
• Esercizio - laboratorio 3, segnali discreti

Vedi anche la materia gemella: Segnali e sistemi in Python - campioni, convoluzione e filtriAl calcolatore un segnale continuo è un vettore di campioni con un asse dei tempi. Con numpy si definiscono i segnali, si approssimano area ed energia con somme moltiplicate per il passo, si calcola la convoluzione continua con np.convolve(x, y)*dt (asse = somma degli istanti iniziali), si simulano filtri con equazioni alle differenze e si verificano numericamente linearità e tempo-invarianza.Segnali e sistemi in Python - campioni, convoluzione e filtri →.