Esercizio - area, energia e impulsi di segnali discreti

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 5.1A, 5.1B, 5.1C, 5.4B).

• 5.1A Calcolare l'area del segnale discreto $s(nT)=\left(\tfrac12\right)^n$ per $n\ge0$, $s(nT)=0$ per $n<0$.
• 5.1B Trovare parte reale e coefficiente dell'immaginario del segnale $s(t)=e^{i\pi At-Bt^2}$, $t\in\mathbb Z(T)$, con $A$ e $B$ costanti reali.
• 5.1C Calcolare energia e potenza del segnale di 5.1A.
• 5.4B Esprimere il segnale $s(nT)=n^2\operatorname{rect}\left(\dfrac{nT-2T}{7T}\right)$ come somma di impulsi ideali.

Teoria usata: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto → (area, energia, potenza, impulso ideale discreto, impulso rettangolare), Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →.

Promemoria: il quanto $T$ compare ovunque

Un segnale discreto vive solo sui punti $nT$ ($T>0$ è il quanto temporale; $F_p=1/T$ è la velocità, in campioni al secondo). Per non perdere le dimensioni fisiche, ogni "integrale" del caso continuo diventa una somma pesata con $T$ (il $dt$ diventa $T$):

$$\operatorname{area}(s)=\sum_{n}T\,s(nT),\qquad E_s=\sum_nT\,|s(nT)|^2,\qquad P_s=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(2N+1)T}\sum_{n=-N}^{N}T\,|s(nT)|^2 .$$

Ogni campione $s(nT)$ conta come una "area concentrata" $T\,s(nT)$: l'area di un rettangolino alto $s(nT)$ e largo $T$. Per questo l'impulso ideale discreto non vale $1$ ma

$$\delta(nT)=\begin{cases}1/T&n=0\\0&n\ne0\end{cases}$$

(così la sua area è $T\cdot\frac1T=1$, come quella del $\delta$ di Dirac). Per $T=1$ tutti i fattori $T$ spariscono, ma tenerli permette di controllare le unità di misura e di confrontare segnali con quanti diversi.

Es. 5.1A: area di $(1/2)^n$

Il segnale è nullo per $n<0$, quindi la somma parte da $n=0$:

$$\operatorname{area}(s)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT)=T\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n .$$

Il fattore $T$ non dipende da $n$, quindi esce dalla somma. Rimane una serie geometrica di ragione $q=\frac12$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): vale $\sum_{n\ge0}q^n=\frac1{1-q}$ se $|q|<1$, ed è così perché le somme parziali sono $\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$ e $q^{N+1}\to0$. Con $q=\frac12$ la somma fa $\frac1{1-1/2}=2$ (si può anche vedere: $1+\frac12+\frac14+\dots$ riempie via via la metà di quanto manca per arrivare a $2$). Dunque

$$\boxed{\operatorname{area}(s)=2T}.$$

L'area dipende da $T$ perché ogni campione pesa $T$: con $T=1$ si ha $2$, con $T=0{,}1$ si ha $0{,}2$.

Es. 5.1B: parte reale e immaginaria di $e^{i\pi At-Bt^2}$

Il segnale è definito solo per $t=nT$, quindi $s(nT)=e^{i\pi A\,nT-B\,n^2T^2}$. Si usa che l'esponenziale di una somma è il prodotto degli esponenziali e la formula di Eulero $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ (Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →):

$$s(nT)=\underbrace{e^{-Bn^2T^2}}_{\text{reale, positivo}}\;e^{i\pi AnT}=e^{-Bn^2T^2}\cos(\pi AnT)+i\,e^{-Bn^2T^2}\sin(\pi AnT).$$

Siccome $A$, $B$, $T$, $n$ sono reali, il fattore $e^{-Bn^2T^2}$ è un numero reale e si limita a moltiplicare entrambe le componenti. Perciò

$$\boxed{\operatorname{Re}s(nT)=e^{-Bn^2T^2}\cos(\pi AnT),\qquad \operatorname{Im}s(nT)=e^{-Bn^2T^2}\sin(\pi AnT)}$$

(il "coefficiente dell'immaginario" è la parte immaginaria, un numero reale: il testo non parla del fattore $i$). Si leggono subito modulo e fase: $|s(nT)|=e^{-Bn^2T^2}$ (una campana gaussiana se $B>0$) e $\arg s(nT)=\pi AnT$ (cresce linearmente in $n$: il numero complesso ruota di $\pi AT$ radianti a ogni campione). Inoltre la parte reale è pari in $n$ (il coseno è pari) e quella immaginaria è dispari: $s^*(nT)=s(-nT)$, il segnale è hermitiano.

Esempio con $A=1$, $B=1$, $T=\frac14$ (ogni campione ruota di $\frac\pi4$):

Per esempio $n=1$: $e^{-1/16}=0{,}9394$ e $\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=0{,}7071$, il prodotto fa $0{,}6643$.

Es. 5.1C: energia e potenza di $(1/2)^n$

Energia. Si somma $T|s(nT)|^2$. Attenzione: il quadrato del modulo di $\left(\frac12\right)^n$ è $\left(\frac12\right)^{2n}=\left(\frac14\right)^n$:

$$E_s=T\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac14\right)^n=T\cdot\frac1{1-\frac14}=\frac{4T}{3}.$$

È un valore finito, quindi il segnale è a energia finita.

Potenza. Si prende la finestra da $-NT$ a $NT$, che contiene $2N+1$ campioni e ha "lunghezza" $(2N+1)T$ (è la durata su cui si media). Solo i campioni con $n=0,\dots,N$ sono non nulli:

$$P_N=\frac1{(2N+1)T}\sum_{n=0}^{N}T\left(\frac14\right)^n=\frac1{2N+1}\cdot\frac{1-\left(\frac14\right)^{N+1}}{1-\frac14}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1-4^{-(N+1)}}{2N+1}.$$

Per $N\to\infty$ il numeratore tende a $\frac43$ e il denominatore a $+\infty$, quindi

$$\boxed{E_s=\frac{4T}3,\qquad P_s=0.}$$

Questo conferma in un caso concreto l'Es. 5.1D: un segnale ad energia finita ha potenza nulla, perché $P_N\le\frac{E_s}{(2N+1)T}\to0$. Anche il valor medio $m_s$ è nullo, per lo stesso motivo (l'area è finita ed è divisa per $(2N+1)T\to\infty$).

Es. 5.4B: $n^2\operatorname{rect}\left(\frac{nT-2T}{7T}\right)$ come somma di impulsi

Dove vale il rect. $\operatorname{rect}(x)=1$ per $|x|<\frac12$. Qui $x=\frac{nT-2T}{7T}=\frac{n-2}{7}$, quindi la condizione è $|n-2|<3{,}5$, cioè $n-2\in\{-3,\dots,3\}$ perché $n$ è intero. Dunque $n\in\{-1,0,1,2,3,4,5\}$: sette campioni consecutivi, centrati in $n=2$. Non c'è il caso del bordo $|x|=\frac12$ (che darebbe l'emivalore $\frac12$), perché $3{,}5$ non è intero: un rettangolo con un numero dispari di campioni è centrato su un campione. Conferma con (5.16a): $n_1=-1$, $n_2=5$ danno $t_0=\frac{n_1+n_2}{2}T=2T$ e $D=(n_2-n_1+1)T=7T$.

Valori del segnale. Nei sette punti il segnale vale $n^2$:

Scrittura con gli impulsi. Vale la formula (5.14c): ogni segnale discreto è una combinazione di impulsi ideali traslati,

$$s(nT)=\sum_{m}T\,s(mT)\,\delta(nT-mT).$$

Il coefficiente di ciascun impulso è $T\,s(mT)$ (la sua area) e non $s(mT)$: l'impulso $\delta(nT-mT)$ vale $\frac1T$ in $n=m$, quindi il termine $m$ contribuisce in $nT=mT$ con $T\,s(mT)\cdot\frac1T=s(mT)$, che è proprio il valore del segnale. Il termine $m=0$ ha coefficiente $0$ e sparisce, restano sei impulsi:

$$s(nT)=T\Big[\delta(nT+T)+\delta(nT-T)+4\,\delta(nT-2T)+9\,\delta(nT-3T)+16\,\delta(nT-4T)+25\,\delta(nT-5T)\Big].$$

Controllo con l'area. Area diretta: $T\,(1+0+1+4+9+16+25)=56T$; somma delle aree degli impulsi: $T+T+4T+9T+16T+25T=56T$. Coincidono, come devono (ogni impulso ha area unitaria per il suo coefficiente).

Controllo

Il codice seguente rifà in Python tutti i calcoli (con $T$ generico, non solo $T=1$).

import numpy as np

# --- Es. 5.1A e 5.1C: s(nT) = (1/2)^n per n >= 0, T qualsiasi
T = 0.1
n = np.arange(0, 200)                # basta: (1/2)^200 e' ~ 1e-60
s = 0.5**n
print("area    ", np.sum(T * s), "  attesa 2T   =", 2 * T)
print("energia ", np.sum(T * s**2), "  attesa 4T/3 =", 4 * T / 3)
for N in (10, 100, 1000):            # potenza sulla finestra n = -N..N
    P = np.sum(T * s[:N + 1]**2) / ((2 * N + 1) * T)
    print("N =", N, " P_N =", P, " (4/3)/(2N+1) =", (4 / 3) / (2 * N + 1))

# --- Es. 5.1B: A = 1, B = 1, T = 1/4
A, B, T = 1.0, 1.0, 0.25
n = np.arange(-8, 9)
s = np.exp(1j * np.pi * A * n * T - B * (n * T)**2)
re = np.exp(-B * (n * T)**2) * np.cos(np.pi * A * n * T)
im = np.exp(-B * (n * T)**2) * np.sin(np.pi * A * n * T)
print(np.allclose(s.real, re), np.allclose(s.imag, im))
for k in range(5):
    print("n =", k, " Re =", round(re[n == k][0], 4), " Im =", round(im[n == k][0], 4))

# --- Es. 5.4B: s(nT) = n^2 rect((nT - 2T)/(7T)), T = 0.5
T = 0.5
n = np.arange(-10, 15)
x = (n * T - 2 * T) / (7 * T)
s = n**2 * (np.abs(x) < 0.5)         # nessun campione cade su |x| = 1/2
print("indici non nulli:", n[s != 0], " valori:", s[s != 0])
delta = lambda m: np.where(n == m, 1 / T, 0.0)          # impulso ideale in mT
ricostruito = sum(T * s[n == m][0] * delta(m) for m in range(-1, 6))
print("somma di impulsi == s :", np.allclose(ricostruito, s))
print("area:", np.sum(T * s), " 56T =", 56 * T)

Risultati ottenuti eseguendolo: area $0{,}2=2T$, energia $0{,}1333=\frac{4T}3$, $P_N\approx0{,}0635,\ 0{,}00663,\ 0{,}000666$ per $N=10,100,1000$ (tendono a $0$ come $\frac{4/3}{2N+1}$); le due uguaglianze di 5.1B risultano vere; gli indici non nulli di 5.4B sono $-1,1,2,3,4,5$ con valori $1,1,4,9,16,25$; la somma di impulsi ricostruisce esattamente $s$, area $28=56T$ per $T=0{,}5$.

Errori comuni

• Dimenticare il $T$ nell'area: $\sum s(nT)$ senza $T$ non è l'area, vale solo per $T=1$.
• Scrivere $|s|^2=\left(\frac12\right)^n$ invece di $\left(\frac14\right)^n$ in 5.1C.
• Concludere che la potenza di un segnale a energia finita sia l'energia: la potenza è nulla.
• Usare $s(mT)$ come coefficiente degli impulsi in 5.4B: serve $T\,s(mT)$, perché $\delta(0)=\frac1T$.
• Contare $6$ o $8$ campioni nel rect: $|n-2|<3{,}5$ ne dà esattamente $7$.