Esercizio - cascata di filtri discreti con decimazione (prova scritta del 17 settembre 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 17 settembre 2025, problema 1). Data la cascata di trasformazioni lineari

$$x(t),\ t\in\mathbb Z(T_1)\ \xrightarrow{\ g_1(\cdot)\ }\ y(t),\ t\in\mathbb Z(T_1)\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ y_c(t),\ t\in\mathbb Z(T_2)\ \xrightarrow{\ g_2(\cdot)\ }\ z(t),\ t\in\mathbb Z(T_2)$$

con $T_2=4T_1$, $T_1=10$ ms e $$g_1(t)=\frac1{2T_2}\operatorname{sinc}^2\left(\frac t{2T_2}\right),\ t\in\mathbb Z(T_1),\qquad g_2(t)=\frac1{2T_3}\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_3}\right),\ t\in\mathbb Z(T_2).$$

1. Dare una rappresentazione grafica accurata, nel dominio della frequenza, dell'uscita $z(t)$ corrispondente all'ingresso $x(t)=\delta_{\mathbb Z(T_1)}(t)$ e calcolare il valore $z(0)$.
2. Calcolare l'energia di $y_c(t)$ quando l'ingresso è $x(t)=Q\,\delta_{\mathbb Z(T_1)}(t-T_2)$, con $Q=1$ C. Che grandezza rappresenta il segnale $y_c$ in questo caso?
3. Identificare la trasformazione equivalente alla cascata, scrivendone il nucleo, e determinare se è: a) tempo-invariante; b) causale; c) stabile.

Nota sul testo. Il tema non definisce $T_3$ (compare solo in $g_2$). Qui si risolve con $T_3=T_2$ (la lettura più naturale: $g_2$ diventa un semplice guadagno $\frac12$ sul proprio reticolo $\mathbb Z(T_2)$); alla fine dei punti (1) e (3) si dice cosa cambierebbe con altri valori. Questa scelta va confermata sul testo originale della prova.

Teoria usata: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →.

Dati numerici: $T_2=4T_1=40$ ms. Le frequenze di ripetizione sono $\frac1{T_1}=100$ Hz (reticolo $\mathbb Z(T_1)$) e $\frac1{T_2}=25$ Hz (reticolo $\mathbb Z(T_2)$).

(1) Spettro di $z$ per $x=\delta_{\mathbb Z(T_1)}$

Passo 1: l'ingresso. Con la convenzione del corso $\delta_{\mathbb Z(T_1)}(0)=\frac1{T_1}$, la trasformata discreta è $X(f)=T_1\cdot\frac1{T_1}=1$ per ogni $f$ (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →).

Passo 2: il filtro $g_1$. Sul reticolo $\mathbb Z(T_1)$ la risposta in frequenza è $G_1(f)=\sum_kT_1g_1(kT_1)e^{-i2\pi fkT_1}$, cioè la ripetizione periodica, con periodo $\frac1{T_1}=100$ Hz, della trasformata continua di $\frac1{2T_2}\operatorname{sinc}^2\left(\frac t{2T_2}\right)$. Questa vale $\operatorname{triang}(2T_2f)$ (dalla coppia $\operatorname{sinc}^2\frac tD\leftrightarrow D\operatorname{triang}(Df)$ con $D=2T_2$), nulla per $|f|\ge\frac1{2T_2}=12{,}5$ Hz. Le repliche distano $100$ Hz mentre il triangolo occupa solo $25$ Hz: non si sovrappongono, e nella banda base $|f|<50$ Hz $$G_1(f)=\operatorname{triang}(2T_2f)=\operatorname{triang}\left(\frac f{12{,}5\ \text{Hz}}\right).$$ È un filtro passa-basso triangolare, che lascia passare esattamente la banda $|f|<\frac1{2T_2}$ che la decimazione per $4$ può ospitare senza aliasing. Poiché $X=1$, risulta $Y(f)=G_1(f)$.

Passo 3: il decimatore. Il decimatore $\downarrow$ da $\mathbb Z(T_1)$ a $\mathbb Z(4T_1)$ tiene un campione ogni quattro; in frequenza è la ripetizione periodica con il nuovo periodo $\frac1{T_2}=25$ Hz, cioè la somma di quattro repliche di $Y$ traslate di multipli di $25$ Hz: $$Y_c(f)=\sum_{j=0}^{3}Y\left(f-\frac j{4T_1}\right)=\sum_{k\in\mathbb Z}\operatorname{triang}\left(\frac{f-25k}{12{,}5}\right).$$ Il triangolo largo $25$ Hz ripetuto ogni $25$ Hz dà un'onda triangolare che va da $1$ (in $f=25k$) a $0$ (in $f=12{,}5+25k$): le repliche si toccano nei punti dove valgono $0$, senza aliasing (verifica in $f=6{,}25$ Hz: $0{,}5+0=0{,}5$, che è il valore del solo triangolo centrale).

Passo 4: il filtro $g_2$. Con $T_3=T_2$: sul reticolo $\mathbb Z(T_2)$ i campioni sono $g_2(mT_2)=\frac1{2T_2}\operatorname{sinc}(m)$, e $\operatorname{sinc}(m)=0$ per ogni intero $m\neq0$ e $=1$ per $m=0$. Dunque $g_2(0)=\frac1{2T_2}$ e zero altrove, che è $\frac12\,\delta_{\mathbb Z(T_2)}$ (l'impulso su $\mathbb Z(T_2)$ vale $\frac1{T_2}$ in $0$): un semplice guadagno $\frac12$, $G_2(f)=\frac12$ per ogni $f$. (Equivalente: la ripetizione di $\frac12\operatorname{rect}(T_2f)$ con periodo $\frac1{T_2}$ ricopre l'asse con valore costante $\frac12$.) Quindi $$\boxed{Z(f)=\frac12Y_c(f)=\frac12\sum_{k}\operatorname{triang}\left(\frac{f-25k}{12{,}5}\right)}$$ periodica di periodo $25$ Hz, con massimo $\frac12$ in $f=0,\pm25,\dots$ Hz e zeri in $\pm12{,}5,\ \pm37{,}5,\dots$ Hz.

Passo 5: il valore $z(0)$. Per l'antitrasformata discreta si integra su un periodo (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →): $$z(0)=\int_{-\frac1{2T_2}}^{\frac1{2T_2}}Z(f)\,df=\frac12\int_{-12{,}5}^{12{,}5}\operatorname{triang}\left(\frac f{12{,}5}\right)df=\frac12\cdot12{,}5=\boxed{6{,}25\ \text{s}^{-1}}=\frac1{4T_2}.$$ (L'area di un triangolo di altezza $1$ e base $2\cdot12{,}5$ è $12{,}5$.) Controllo nel tempo: $y=g_1$ (perché $T_1\,g_1\cdot\frac1{T_1}=g_1$), $y_c(kT_2)=g_1(kT_2)$ e $z(0)=\sum_kT_2\,g_2(-kT_2)\,g_1(kT_2)=T_2\cdot\frac1{2T_2}\cdot\frac1{2T_2}=\frac1{4T_2}$. ✓ (confermato numericamente).

Se $T_3$ fosse diverso. Per $T_3\ge T_2$ risulta $G_2(f)=\frac12\operatorname{rect}(T_3f)$ in banda base e $z(0)=\frac1{2T_3}-\frac{T_2}{4T_3^2}$: per $T_3=2T_2$ si ottiene $\frac3{16T_2}=4{,}6875\ \text{s}^{-1}$. Per $T_3=T_1$ ($g_2=2\,\delta_{\mathbb Z(T_2)}$, guadagno $2$) $z(0)=\frac1{T_2}=25\ \text{s}^{-1}$. Questi valori sono stati verificati numericamente.

(2) Energia di $y_c$ e significato fisico

Passo 1: il segnale $y_c$. Per $x=Q\,\delta_{\mathbb Z(T_1)}(t-T_2)$ il filtro dà $y(t)=\sum_sT_1\,g_1(t-s)\,x(s)=Q\,g_1(t-T_2)$ (l'impulso ideale vale $\frac Q{T_1}$ in $s=T_2$ e il peso $T_1$ lo compensa). Il decimatore tiene gli istanti $t=kT_2$ (anche $t=T_2$ è sul reticolo $\mathbb Z(T_2)$, perché $T_2=4T_1$): $$y_c(kT_2)=Q\,g_1\big((k-1)T_2\big)=\frac Q{2T_2}\operatorname{sinc}^2\left(\frac{k-1}2\right).$$

Passo 2: l'energia. Sul reticolo $\mathbb Z(T_2)$ l'energia è $E=\sum_kT_2\,|y_c(kT_2)|^2$ (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →). Ponendo $m=k-1$: $$E_{y_c}=T_2\cdot\frac{Q^2}{4T_2^2}\sum_{m}\operatorname{sinc}^4\left(\frac m2\right)=\frac{Q^2}{4T_2}\sum_m\operatorname{sinc}^4\left(\frac m2\right).$$ La somma si calcola così. $m=0$ dà $1$; per $m$ pari non nullo $\operatorname{sinc}\left(\frac m2\right)=0$; per $m$ dispari $\operatorname{sinc}\left(\frac m2\right)=\pm\frac2{\pi m}$ e $\operatorname{sinc}^4=\frac{16}{\pi^4m^4}$. Allora $$\sum_m\operatorname{sinc}^4\left(\frac m2\right)=1+2\cdot\frac{16}{\pi^4}\sum_{m=1,3,5,\dots}\frac1{m^4}=1+\frac{32}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{96}=1+\frac13=\frac43,$$ usando $\sum_{m\ \text{dispari}}\frac1{m^4}=\frac{\pi^4}{96}$. Perciò $$\boxed{E_{y_c}=\frac{Q^2}{4T_2}\cdot\frac43=\frac{Q^2}{3T_2}=\frac{1\ \text{C}^2}{3\cdot0{,}04\ \text{s}}\approx8{,}33\ \text{C}^2/\text{s}.}$$ Controllo con Parseval. $Y_c(f)=Q\,e^{-i2\pi fT_2}\operatorname{triang}(2T_2f)$ in banda base, quindi $$E=\int_{-\frac1{2T_2}}^{\frac1{2T_2}}Q^2\operatorname{triang}^2(2T_2f)\,df=Q^2\cdot\frac1{2T_2}\cdot\frac23=\frac{Q^2}{3T_2}.$$ ✓ (e numericamente $8{,}3333$).

Che grandezza è $y_c$? $\delta_{\mathbb Z(T_1)}$ ha le dimensioni di $\frac1{\text{s}}$ e $Q$ è una carica: $x=Q\,\delta(t-T_2)$ è una corrente (C/s = A), un impulso di carica $Q=1$ C. Il filtro $g_1$ ha dimensione $\frac1{\text{s}}$ e il peso $T_1$ della convoluzione è un tempo, quindi $y$ e $y_c$ hanno ancora le dimensioni di una corrente: $y_c(t)=Q\,g_1(t-T_2)$ è la corrente di uscita del filtro, cioè la risposta impulsiva moltiplicata per la carica dell'impulso. L'energia, in A$^2\cdot$s (e C$^2$/s), vale $8{,}33$: è l'energia normalizzata (dissipata su una resistenza da $1\ \Omega$, $8{,}33$ J).

(3) Trasformazione equivalente

Passo 1: i nuclei dei blocchi. In questo corso una trasformazione lineare $I\to U$ ha un nucleo $h(t,s)$ con $y(t)=\int_Ih(t,s)x(s)\,ds$, integrale di Haar (somma pesata dal passo sul reticolo) (Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →). Qui:

• filtro $g_1$: $h_1(v,s)=g_1(v-s)$, per $v,s\in\mathbb Z(T_1)$;
• decimatore: $h_d(t,v)=\delta_{\mathbb Z(T_1)}(t-v)$, per $t\in\mathbb Z(T_2)$, $v\in\mathbb Z(T_1)$ (con la somma pesata $T_1$ riproduce $y_c(t)=y(t)$);
• filtro $g_2$: $h_2(t,v)=g_2(t-v)$, per $t,v\in\mathbb Z(T_2)$.

Passo 2: la cascata. Il nucleo della cascata è $h(t,s)=\int h_2(t,v)\,h_{1d}(v,s)\,dv$ (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). Filtro e decimatore insieme danno $h_{1d}(v,s)=\sum_wT_1\,\delta_{\mathbb Z(T_1)}(v-w)\,g_1(w-s)=g_1(v-s)$ per $v\in\mathbb Z(T_2)$: il decimatore restringe il filtro agli istanti $v\in\mathbb Z(T_2)$. Allora, con $t\in\mathbb Z(T_2)$ e $s\in\mathbb Z(T_1)$, $$h(t,s)=\sum_{v\in\mathbb Z(T_2)}T_2\,g_2(t-v)\,g_1(v-s)=T_2\cdot\frac1{2T_2}\,g_1(t-s)$$ perché, per $T_3=T_2$, $g_2(t-v)=\frac1{2T_2}$ solo per $v=t$ e vale $0$ altrove. Il risultato è $$\boxed{h(t,s)=\frac12\,g_1(t-s)=\frac1{4T_2}\operatorname{sinc}^2\left(\frac{t-s}{2T_2}\right),\qquad t\in\mathbb Z(T_2),\ s\in\mathbb Z(T_1),}$$ cioè $z(t)=\sum_{s\in\mathbb Z(T_1)}T_1\,h(t,s)\,x(s)$: la trasformazione equivalente è un filtro passa-basso triangolare con guadagno $\frac12$ seguito dal campionamento ogni $T_2$. Controllo numerico del nucleo con la somma sulle $v$: $h(0,0)=6{,}25$, $h(0,T_1)=5{,}935$, $h(2T_2,-5T_1)=0{,}2047$, uguali a quelli della formula.

a) Tempo-invarianza. La definizione del corso richiede che per ogni $t_0$ del dominio d'ingresso il segnale traslato produca l'uscita traslata della stessa quantità, e ha senso solo se $t_0$ appartiene anche al dominio d'uscita. Qui il dominio d'ingresso è $\mathbb Z(T_1)$ e quello d'uscita $\mathbb Z(T_2)$: una traslazione di $T_1=10$ ms non è consentita sull'uscita. Perciò la trasformazione non è tempo-invariante: è periodicamente tempo-invariante, cioè invariante solo per $t_0\in\mathbb Z(T_2)$ (multipli di $40$ ms), come il campionatore (stessa situazione dei sistemi con decimatore).

Controesempio: per $x=\delta_{\mathbb Z(T_1)}$ l'uscita è $z(mT_2)=h(mT_2,0)$, con $z(0)=6{,}25$. Traslando l'ingresso di $T_1$ l'uscita diventa $h(mT_2,T_1)$, e in $m=0$ vale $5{,}935\neq6{,}25$: non è un'uscita traslata (e $t-T_1$ non appartiene nemmeno a $\mathbb Z(T_2)$). Invece $h(t+t_0,s+t_0)=h(t,s)$ per $t_0=jT_2$, perché $h$ dipende solo da $t-s$.

b) Causalità. Una trasformazione è causale se $z(t)$ dipende solo da $x(s)$ con $s\le t$, cioè se $h(t,s)=0$ per $s>t$. Qui $h(0,T_1)=\frac1{4T_2}\operatorname{sinc}^2\left(\frac18\right)=5{,}935\neq0$ pur essendo $s=T_1>t=0$: l'uscita in $t=0$ dipende da ingressi futuri. Non causale, perché $\operatorname{sinc}^2$ non si annulla per argomenti negativi (zeri solo in $\pm2T_2,\pm4T_2,\dots$).

c) Stabilità. Il criterio BIBO (ingresso limitato, uscita limitata) è soddisfatto se $\sup_t\sum_sT_1|h(t,s)|<\infty$. Si ha $$\sum_{s\in\mathbb Z(T_1)}T_1\,|h(t,s)|=\frac{T_1}{4T_2}\sum_s\operatorname{sinc}^2\left(\frac{t-s}{2T_2}\right)=\frac1{4T_2}\cdot2T_2=\frac12\quad\text{per ogni }t.$$ La somma sul reticolo di passo $T_1$ è uguale all'integrale $\int\operatorname{sinc}^2\left(\frac\tau{2T_2}\right)d\tau=2T_2$ perché lo spettro di $\operatorname{sinc}^2$ ($|f|<\frac1{2T_2}$) è molto più stretto della frequenza di ripetizione $\frac1{T_1}$ (formula di Poisson). Dunque $|z|\le\frac12L_x$ e la trasformazione è stabile, con guadagno massimo $\frac12$. (Verificato numericamente: $0{,}49998$.)

Con altri valori di $T_3$. Per $T_3=2T_2$, $G_1G_2=\frac12\operatorname{rect}(2T_2f)\operatorname{triang}(2T_2f)$ ha un salto in $|f|=\frac1{4T_2}$: il nucleo decade come $\frac1\tau$, non è sommabile e la trasformazione diventa instabile. Resta non causale e solo periodicamente tempo-invariante.

Errori tipici

• Dimenticare che il decimatore ripete lo spettro con il nuovo periodo $\frac1{T_2}$ (non $\frac1{T_1}$) e sommare solo la replica centrale.
• Scambiare il peso dell'integrale: sul reticolo si somma con il passo, per questo $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T$ e $X(f)=1$.
• Dichiarare la trasformazione tempo-invariante perché $h$ dipende da $t-s$: la traslazione $T_1$ non è nel dominio d'uscita.

Vedi anche: Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026), Esercizio - sinc modulato, estensione spettrale e campionamento a massima efficienza (prova scritta del 3 settembre 2025).