Esercizio - segnali periodici e ripetizione periodica

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.5B, 2.5D e 2.6C).

• 2.5B. Dimostrare che l'area di un segnale periodico, definita come $\int_{t_0}^{t_0+T_p}s(t)\,dt$, è indipendente da $t_0$.
• 2.5D. Dimostrare che l'area su un periodo del segnale periodico $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}u(t)$ coincide con l'area del segnale $u(t)$.
• 2.6C. Dimostrare che il segnale traslato $s_{t_0}(t)=s(t-t_0)$ ha la stessa potenza del segnale $s(t)$.

Teoria usata: Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →, Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →.

Le definizioni

• $s(t)$ è periodico di periodo $T_p>0$ se $s(t+T_p)=s(t)$ per ogni $t$. Ripetendo, $s(t+kT_p)=s(t)$ per ogni intero $k$ (anche negativo).
• Un segnale periodico (non nullo) ha area ed energia su tutto $\mathbb R$ infinite o non definite, quindi si usano l'area su un periodo $A_s(T_p)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}s(t)\,dt$ e la potenza $P_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}\lvert s(t)\rvert^2dt$ (che per un periodico coincide con $\frac1{T_p}\int_{T_p}\lvert s\rvert^2$).
• La ripetizione periodica di periodo $T_p$ di un segnale $u(t)$ è $$s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}u(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}u(t-kT_p):$$ si sommano tutte le copie di $u$ traslate di multipli del periodo. È periodica di periodo $T_p$: cambiando $t\to t+T_p$ l'indice della somma scorre di uno, $k\to k-1$, e la somma estesa a tutti gli interi non cambia.

(Es. 2.5B) L'area su un periodo non dipende da $t_0$

Idea. Prendiamo una finestra lunga esattamente un periodo e la facciamo scorrere: ciò che esce a sinistra è identico (per la periodicità) a ciò che entra a destra, quindi l'area dentro la finestra non cambia.

Dimostrazione (calcolo esplicito). Fissiamo $t_0$ qualunque. Esiste un intero $k$ tale che $kT_p\le t_0<(k+1)T_p$. Spezziamo l'integrale nel punto $(k+1)T_p$, che sta nell'intervallo $[t_0,t_0+T_p]$: $$\int_{t_0}^{t_0+T_p}s(t)\,dt=\underbrace{\int_{t_0}^{(k+1)T_p}s(t)\,dt}_{I_1}+\underbrace{\int_{(k+1)T_p}^{t_0+T_p}s(t)\,dt}_{I_2}.$$ Poniamo $\tau=t_0-kT_p\in[0,T_p)$ (di quanto $t_0$ supera l'inizio del suo periodo).

• In $I_1$ sostituiamo $t=v+kT_p$ ($dt=dv$; estremi: $t=t_0\to v=\tau$, $t=(k+1)T_p\to v=T_p$). Per la periodicità $s(v+kT_p)=s(v)$, quindi $I_1=\int_{\tau}^{T_p}s(v)\,dv$.
• In $I_2$ sostituiamo $t=v+(k+1)T_p$ (estremi: $t=(k+1)T_p\to v=0$, $t=t_0+T_p\to v=t_0-kT_p=\tau$). Di nuovo $s(v+(k+1)T_p)=s(v)$, quindi $I_2=\int_0^{\tau}s(v)\,dv$.

Sommando: $\displaystyle\int_{t_0}^{t_0+T_p}s=\int_\tau^{T_p}s+\int_0^\tau s=\int_0^{T_p}s(v)\,dv$. Il risultato non dipende da $t_0$ (è l'area su $[0,T_p]$). $\square$

Dimostrazione alternativa (se $s$ è continuo): $F(t_0)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}s$ ha derivata $F'(t_0)=s(t_0+T_p)-s(t_0)=0$ per il teorema fondamentale del calcolo (Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →) e la periodicità; una funzione con derivata nulla è costante. La dimostrazione precedente non richiede la continuità.

Esempio numerico. $s(t)=\lvert\sin\pi t\rvert$ ha periodo $T_p=1$ e area su $[0,1]$ uguale a $\int_0^1\sin\pi t\,dt=\frac2\pi\approx0{,}63662$. Calcolando l'integrale su $[t_0,t_0+1]$ con $t_0=0;\ 0{,}3;\ -0{,}77;\ 5{,}1$ si trova sempre $0{,}63662$ (anche se la finestra taglia i picchi in punti diversi).

(Es. 2.5D) Area su un periodo di $\operatorname{rep}_{T_p}u$ = area di $u$

Dimostrazione. Si integra su $[0,T_p]$ (per 2.5B qualunque finestra va bene) la somma che definisce $s$, scambiando la somma con l'integrale (lecito se $u$ ha area finita): $$\int_0^{T_p}s(t)\,dt=\int_0^{T_p}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}u(t-kT_p)\,dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_0^{T_p}u(t-kT_p)\,dt.$$ Nell'integrale $k$-esimo si pone $v=t-kT_p$: gli estremi $t=0$ e $t=T_p$ diventano $v=-kT_p$ e $v=(1-k)T_p$, quindi $$\int_0^{T_p}u(t-kT_p)\,dt=\int_{-kT_p}^{(1-k)T_p}u(v)\,dv.$$ Gli intervalli $[-kT_p,(1-k)T_p]$, al variare di $k$ negli interi, sono consecutivi e non si sovrappongono: coprono tutto l'asse reale (sono le "fette" lunghe $T_p$ di $\mathbb R$). La somma dei loro integrali è quindi l'integrale su $\mathbb R$: $$\int_0^{T_p}s(t)\,dt=\sum_k\int_{-kT_p}^{(1-k)T_p}u(v)\,dv=\int_{-\infty}^{+\infty}u(v)\,dv=A_u.\qquad\square$$ In parole: la ripetizione periodica "ripiega" tutto il segnale $u$ dentro un periodo; anche se le copie si sovrappongono e si sommano, non si perde né si crea area.

Esempio 1: $u(t)=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ (esponenziale causale, $\alpha=1{,}3$) con $T_p=2$. L'area di $u$ è $\int_0^{\infty}e^{-\alpha t}dt=\frac1\alpha=0{,}76923$. La ripetizione periodica è, per $t\in[0,T_p)$ (in questo intervallo contribuiscono solo le copie con $k\le0$, per cui $t-kT_p\ge0$): $$s(t)=\sum_{k\le0}e^{-\alpha(t-kT_p)}=e^{-\alpha t}\sum_{h=0}^{\infty}\big(e^{-\alpha T_p}\big)^h=\frac{e^{-\alpha t}}{1-e^{-\alpha T_p}}$$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, $h=-k$, ragione $e^{-\alpha T_p}<1$). Area su un periodo: $$\int_0^{T_p}\frac{e^{-\alpha t}}{1-e^{-\alpha T_p}}dt=\frac{1}{1-e^{-\alpha T_p}}\cdot\frac{1-e^{-\alpha T_p}}{\alpha}=\frac1\alpha\ \checkmark$$ Numericamente, con le prime $121$ copie: l'integrale su $[0,2]$ vale $0{,}769231$, su $[-0{,}7,1{,}3]$ vale lo stesso, e in $t=0{,}5$ la serie vale $0{,}563931$ come la formula chiusa.

Esempio 2: $u(t)=e^{-\lvert t\rvert}$ (bilatero) con $T_p=1$. Area di $u$: $2\int_0^\infty e^{-t}dt=2$. Per $t\in[0,1)$ le copie con $k\le0$ danno $\sum_{k\le0}e^{-(t-k)}=\frac{e^{-t}}{1-e^{-1}}$ e quelle con $k\ge1$ danno $\sum_{k\ge1}e^{-(k-t)}=\frac{e^{t-1}}{1-e^{-1}}$. Quindi $s(t)=\dfrac{e^{-t}+e^{t-1}}{1-e^{-1}}$ su $[0,1)$ e $$\int_0^1s(t)\,dt=\frac{(1-e^{-1})+(1-e^{-1})}{1-e^{-1}}=2\ \checkmark$$

(Es. 2.6C) Un segnale traslato ha la stessa potenza

Definizione. $P_s=\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}\lvert s(t)\rvert^2dt$. Chiamiamo $G(T)=\int_{-T}^{T}\lvert s(t)\rvert^2dt$ l'energia nella finestra $[-T,T]$: è non decrescente in $T$ e per ipotesi $G(T)/(2T)\to P_s$.

Che cosa cambia nel segnale traslato. Con la sostituzione $v=t-t_0$: $$G_{t_0}(T)=\int_{-T}^{T}\lvert s(t-t_0)\rvert^2dt=\int_{-T-t_0}^{T-t_0}\lvert s(v)\rvert^2dv.$$ Per un segnale di energia (integrale su tutto $\mathbb R$) la traslazione non cambia nulla, perché basta il cambio di variabile. Qui l'integrale ha estremi finiti: la finestra $[-T-t_0,T-t_0]$ è la finestra originale spostata di $t_0$, e il valore dell'integrale può cambiare. Per esempio per $\mathbf 1(t)$ la finestra $[-T,T]$ contiene area $T$ mentre quella spostata di $t_0=3$ contiene solo $T-3$. Bisogna dimostrare che nel limite $T\to\infty$ questa differenza diventa trascurabile rispetto a $2T$.

Dimostrazione (confronto tra finestre). Sia $\tau=\lvert t_0\rvert$ e $T>\tau$. La finestra spostata $[-T-t_0,\,T-t_0]$ contiene la finestra più piccola $[-(T-\tau),\,T-\tau]$ e sta dentro quella più grande $[-(T+\tau),\,T+\tau]$ (verifica sugli estremi: $-T-t_0\le-(T-\tau)$ perché $-t_0\le\tau$, e $T-t_0\ge T-\tau$ perché $-t_0\ge-\tau$; analogamente per la finestra grande). Poiché $\lvert s\rvert^2\ge0$, un integrale su un intervallo più grande è più grande: $$G(T-\tau)\ \le\ G_{t_0}(T)\ \le\ G(T+\tau).$$ Si divide per $2T$ e si riscrive in modo da far comparire la potenza: $$\frac{G(T-\tau)}{2(T-\tau)}\cdot\frac{T-\tau}{T}\ \le\ \frac{G_{t_0}(T)}{2T}\ \le\ \frac{G(T+\tau)}{2(T+\tau)}\cdot\frac{T+\tau}{T}.$$ Per $T\to\infty$: $\frac{G(T\mp\tau)}{2(T\mp\tau)}\to P_s$ (stesso limite, con $T\mp\tau\to\infty$) e $\frac{T\mp\tau}{T}\to1$. I due estremi tendono entrambi a $P_s$: per il teorema del confronto (dei due carabinieri) anche il termine di mezzo, cioè la potenza di $s(t-t_0)$, tende a $P_s$. $\square$

Significato. L'effetto della traslazione è confinato ai due bordi della finestra, in strisce larghe $\lvert t_0\rvert$, contro una finestra larga $2T$: la loro importanza relativa è $\frac{\lvert t_0\rvert}{T}\to0$. Non serve che $s$ sia limitato: basta che la potenza esista. Lo stesso ragionamento vale per il valor medio.

Esempio numerico: il gradino traslato (Es. 2.6B). $s(t)=\mathbf 1(t-3)$ ha $\lvert s\rvert^2=\mathbf 1(t-3)$, quindi $G_{3}(T)=T-3$ e la potenza sulla finestra è $\frac{T-3}{2T}=\frac12-\frac{3}{2T}$, mentre per $\mathbf 1(t)$ è $\frac T{2T}=\frac12$ per ogni $T$:

Il valore tende a $\frac12=P_{\mathbf 1}$: a $T$ finito le potenze sono diverse, nel limite coincidono.

Per i segnali periodici la stessa cosa segue dall'Es. 2.5B applicato a $\lvert s\rvert^2$: l'energia su un periodo $\int_{-t_0}^{T_p-t_0}\lvert s\rvert^2$ non dipende dalla posizione della finestra.

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 2.5B: area su un periodo di abs(sin(pi t)) per vari t0
s = lambda t: np.abs(np.sin(np.pi*t))
print([round(quad(s, t0, t0 + 1, limit=200)[0], 6) for t0 in (0, 0.3, -0.77, 5.1)], round(2/np.pi, 6))

# 2.5D esempio 1: rep di exp(-al t)1(t) con Tp = 2, somma di 121 copie
al, Tp = 1.3, 2.0
u = lambda t: np.exp(-al*t) * (t >= 0)
rep = lambda t: sum(u(t - k*Tp) for k in range(-60, 61))
print(quad(rep, 0, Tp, limit=200)[0], quad(rep, -0.7, -0.7 + Tp, limit=200)[0], 1/al)
print(rep(0.5), np.exp(-al*0.5)/(1 - np.exp(-al*Tp)))

# 2.5D esempio 2: exp(-abs(t)), Tp = 1
r2 = lambda t: sum(np.exp(-abs(t - k)) for k in range(-60, 61))
print(quad(r2, 0, 1)[0], (np.exp(-0.3) + np.exp(0.3 - 1))/(1 - np.exp(-1)), r2(0.3))

# 2.6C: gradino traslato di 3, potenza sulla finestra [-T,T]
for T in (10, 100, 1000, 1e6):
    print(T, (T - 3)/(2*T))

Risultati: area di $\lvert\sin\pi t\rvert$ sempre $0{,}636620$; area di $\operatorname{rep}u$ pari a $0{,}769231=\frac1{1{,}3}$ su entrambe le finestre; per l'esempio 2 l'area vale $2$ e $s(0{,}3)=1{,}9575$ con la serie e con la formula; potenze del gradino traslato come in tabella.