Esercizio - processo a campioni indipendenti attraverso una finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 11 luglio 2025, problema 2). Il processo $x(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, è a campioni indipendenti con densità di probabilità del primo ordine $$f_x(a;t)=\tfrac12\,e^{-\lvert a\rvert}$$ (la stessa per ogni $t$) e passa attraverso una finestra con forma $w(t)=\cos(2\pi f_0t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, con $f_0=\dfrac1{12T}$, cioè $y(t)=w(t)\,x(t)$.

1. Determinare se il processo di uscita $y(t)$ è: a) a campioni indipendenti; b) stazionario in senso stretto e/o in senso lato.
2. Calcolare media e correlazione del processo di uscita $y(t)$.
3. Calcolare $P[y(2T)>1]$.

Teoria usata: Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →, Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →, Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

La finestra e le grandezze di $x$

Sul reticolo $t=nT$ la finestra vale $$w(nT)=\cos\!\Big(2\pi\frac{nT}{12T}\Big)=\cos\frac{\pi n}{6},$$ periodica in $n$ con periodo 12. I primi valori:

La densità $\tfrac12e^{-\lvert a\rvert}$ è la densità di Laplace, simmetrica e di integrale 1 ($2\cdot\frac12\int_0^\infty e^{-a}da=1$). Ne servono la media e la potenza: $$m_x=\int a\,\tfrac12e^{-\lvert a\rvert}da=0\ \text{(integranda dispari)},\qquad \sigma_x^2=M_x=\int a^2\,\tfrac12e^{-\lvert a\rvert}da=\int_0^\infty a^2e^{-a}da=2.$$ L'ultimo integrale è $\Gamma(3)=2!=2$. Poiché i campioni sono indipendenti, per istanti distinti $t\ne s$ si ha $r_x(t,s)=E[x(t)]E[x(s)]=0$ e $r_x(t,t)=2$ (Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →).

(1a) $y$ è a campioni indipendenti?

Sì. A ogni istante $y(t)=w(t)x(t)$ è una funzione deterministica del solo campione $x(t)$ allo stesso istante (la moltiplicazione per una finestra non mescola istanti diversi). Funzioni, anche diverse da istante a istante, di variabili aleatorie indipendenti sono indipendenti: per istanti distinti $t_1\ne t_2$ $$f_y(b_1,b_2;t_1,t_2)=f_y(b_1;t_1)\,f_y(b_2;t_2).$$ Quando la finestra si annulla ($n=3,9,\dots$) $y=0$ è una costante, indipendente da tutto.

(1b) Stazionarietà

Non è stazionario in senso stretto. Dove $w(t)\ne0$, $y(t)=w(t)x(t)$ è una trasformazione lineare di $x(t)$ (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →): si pone $b=w\,a$, $a=b/w$, $\lvert da/db\rvert=\frac1{\lvert w\rvert}$ e $$f_y(b;t)=\frac1{\lvert w(t)\rvert}\,f_x\!\Big(\frac b{w(t)}\Big)=\frac1{2\lvert w(t)\rvert}\,e^{-\lvert b\rvert/\lvert w(t)\rvert}.$$ Ora $\lvert w(t)\rvert$ cambia con $t$ ($1$ in $t=0$, $\frac{\sqrt3}2$ in $t=T$, $\frac12$ in $t=2T$): la densità del primo ordine dipende da $t$, quindi $y$ non è ss. Più piccola è la finestra, più la densità è stretta e alta (per $w=0$ degenera in una delta).

Non è stazionario neppure in senso lato, come mostra il punto (2): la potenza statistica $M_y(t)=2\cos^2(2\pi f_0t)$ non è costante, e per un processo sl deve esserlo.

(2) Media e correlazione di $y$

Media. $w(t)$ è deterministica e può uscire dal valore atteso: $$m_y(t)=E[w(t)x(t)]=w(t)\,m_x=0.$$ È costante, quindi $y$ è stazionario in media.

Correlazione. Per $t,s\in\mathbb Z(T)$: $$r_y(t,s)=E[w(t)x(t)\,w(s)x(s)]=w(t)\,w(s)\,r_x(t,s).$$ Con $r_x(t,s)=2$ per $t=s$ e $0$ per $t\ne s$ si ottiene $$\boxed{r_y(t,s)=\begin{cases}2\cos^2(2\pi f_0t)=1+\cos\dfrac{2\pi t}{6T} & t=s\\[2mm] 0 & t\ne s\end{cases}}$$ (la formula $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}2$ con $2\alpha=4\pi f_0t=\frac{\pi n}{3}$ dà $1+\cos\frac{\pi n}3$ per $t=nT$). In termini dell'impulso ideale di $\mathbb Z(T)$, che vale $\frac1T$ in 0: $r_y(t,s)=2T\,w(t)w(s)\,\delta_{\mathbb Z(T)}(t-s)$.

La potenza statistica è $M_y(t)=r_y(t,t)=1+\cos\frac{\pi n}3$: periodica di periodo $6T$ e variabile tra $0$ e $2$:

La correlazione dipende da $t$ e non solo da $t-s$: $y$ non è stazionario in senso lato (né in potenza). Riassumendo: a campioni indipendenti, a media nulla e stazionario in media, ma né sl né ss.

(3) $P[y(2T)>1]$

A $t=2T$ la finestra vale $w(2T)=\cos\frac{2\pi\cdot2T}{12T}=\cos\frac\pi3=\frac12$, quindi $y(2T)=\frac12\,x(2T)$ e $$P[y(2T)>1]=P\Big[\tfrac12x(2T)>1\Big]=P[x(2T)>2]=\int_2^\infty\tfrac12e^{-a}\,da=\tfrac12\,e^{-2}.$$ Numericamente $\frac12e^{-2}=0{,}0677$ (circa $6{,}8\%$). Controllo con la densità di $y(2T)$ trovata in (1b), $f_y(b;2T)=\frac1{2\cdot\frac12}e^{-\lvert b\rvert/\frac12}=e^{-2\lvert b\rvert}$: $\int_1^\infty e^{-2b}\,db=\frac12e^{-2}$. Una simulazione di $2\cdot10^6$ estrazioni di Laplace dà $P[\frac12x>1]=0{,}0674$.

Errori tipici

• Dire che $y$ è stazionario "perché $x$ lo è" (i campioni indipendenti con la stessa densità sono ss), senza vedere che la finestra introduce una dipendenza da $t$.
• Scrivere $r_y(t,s)=r_x(t-s)\,w(t-s)$ (finestra applicata alla differenza): la finestra moltiplica in $t$ e in $s$ separatamente, $w(t)w(s)r_x(t,s)$.
• Dimenticare che $\sigma_x^2=2$ per la densità $\frac12e^{-\lvert a\rvert}$ (non $1$): $\int a^2e^{-a}da=2$.

Vedi anche: Esercizio - cascata filtro con due impulsi, campionatore e finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025), Esercizio - esponenziale di un processo a simboli binari indipendenti (prova scritta del 30 maggio 2025).