Esercizio - parte pari e dispari di un segnale reale e convoluzione di gaussiane

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 3.4J, 3.4M).

• Es. 3.4J. Dalla scomposizione in parte pari e in parte dispari di un generico segnale reale $s(t)=s_p(t)+s_d(t)$ provare che $s_p(t)\leftrightarrow\operatorname{Re}S(f)$ e $s_d(t)\leftrightarrow i\operatorname{Im}S(f)$.
• Es. 3.4M. Calcolare la convoluzione dei segnali gaussiani $x(t)=e^{-\alpha t^2}$, $y(t)=e^{-\beta t^2}$ con $\alpha$ e $\beta$ positivi. Guida: eseguire il calcolo nel dominio della frequenza.

Teoria usata: Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →.

Convenzioni: $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$; per $S(f)=R(f)+iX(f)$ scriviamo $\operatorname{Re}S=R$ e $\operatorname{Im}S=X$ (il "coefficiente dell'immaginario", un numero reale), quindi $i\operatorname{Im}S=iX$ è la parte immaginaria come numero complesso.

Es. 3.4J - parte pari e parte dispari

Scomposizione. Ogni segnale $s(t)$ è somma di una parte pari e di una dispari: $$s_p(t)=\frac{s(t)+s(-t)}2,\qquad s_d(t)=\frac{s(t)-s(-t)}2.$$ Verifica: $s_p$ è pari perché cambiando $t\to-t$ i due addendi si scambiano; $s_d$ è dispari perché cambiando $t\to-t$ cambia segno; e $s_p+s_d=s(t)$ (il termine $s(-t)$ si cancella).

Dimostrazione con le regole della trasformata. Servono due fatti.

1. Ribaltamento: $s(-t)\leftrightarrow S(-f)$. Infatti $\int s(-t)e^{-i2\pi ft}dt$ con $u=-t$ diventa $\int s(u)e^{+i2\pi fu}du=S(-f)$.
2. Simmetria hermitiana per segnali reali: $S(-f)=S^*(f)$. Infatti $S(-f)=\int s(t)e^{+i2\pi ft}dt=\left[\int s^*(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^*=S^*(f)$, perché $s^*=s$.

Quindi, per la linearità: $$s_p\ \leftrightarrow\ \frac{S(f)+S(-f)}2=\frac{S+S^*}2=\operatorname{Re}S(f),\qquad s_d\ \leftrightarrow\ \frac{S(f)-S(-f)}2=\frac{S-S^*}2=i\operatorname{Im}S(f).$$ (Un numero complesso più il suo coniugato, diviso $2$, è la parte reale; meno il coniugato, diviso $2$, è $i$ per il coefficiente dell'immaginario.) $\blacksquare$

Dimostrazione diretta (senza le regole). $S(f)=\int s\cos2\pi ft\,dt-i\int s\sin2\pi ft\,dt$. Spezziamo $s=s_p+s_d$: $s_d\cos$ è dispari (dispari per pari) e $s_p\sin$ è dispari, quindi hanno integrale nullo. Restano $S(f)=\underbrace{\int s_p\cos2\pi ft\,dt}_{\text{reale}}-i\underbrace{\int s_d\sin2\pi ft\,dt}_{\text{reale}}$. Il primo termine è la parte reale di $S$ ed è la trasformata di $s_p$ (che, essendo $s_p$ pari, ha solo il coseno); il secondo è $i\operatorname{Im}S$ ed è la trasformata di $s_d$. Per un segnale reale e pari $S$ è quindi reale (e pari); per un segnale reale e dispari è immaginario puro (e dispari).

Conseguenze.

• Reale e pari $\Rightarrow$ trasformata reale e pari (come nell'Esercizio - dimensioni di una trasformata, modulazione e sinc quadro per $\operatorname{rect}\cdot\cos$); reale e dispari $\Rightarrow$ immaginaria pura e dispari.
• Per un segnale reale e causale ($s(t)=0$ per $t<0$) vale $s_d(t)=\operatorname{sgn}(t)\,s_p(t)$, quindi $\operatorname{Im}S$ si ricava da $\operatorname{Re}S$ e viceversa: parte reale e parte immaginaria dello spettro di un segnale causale non sono indipendenti.

Esempio. $s(t)=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ con $\alpha=2$. Dalla tabella, $S(f)=\frac1{\alpha+i2\pi f}=\frac{\alpha-i2\pi f}{\alpha^2+(2\pi f)^2}$, quindi $$\operatorname{Re}S=\frac\alpha{\alpha^2+(2\pi f)^2},\qquad i\operatorname{Im}S=\frac{-i2\pi f}{\alpha^2+(2\pi f)^2}.$$ Nel tempo: $s_p(t)=\frac{s(t)+s(-t)}2=\frac12e^{-\alpha|t|}$ (per $t>0$ vale $\frac12e^{-\alpha t}$, per $t<0$ vale $\frac12e^{\alpha t}$) e $s_d(t)=\frac12\operatorname{sgn}(t)\,e^{-\alpha|t|}$. Controllo: la trasformata di $e^{-\alpha|t|}$ è $S(f)+S(-f)=\frac1{\alpha+i2\pi f}+\frac1{\alpha-i2\pi f}=\frac{2\alpha}{\alpha^2+(2\pi f)^2}$ (esempio 3.3F del testo); la metà è proprio $\operatorname{Re}S$ ✓. In $t=0$ il segnale vale l'emivalore $\frac12$ e $s_p(0)=\frac12$, $s_d(0)=0$ ✓.

Numeri ($\alpha=2$): $f=0{,}3$: $\operatorname{Re}S=0{,}26479$, $\operatorname{Im}S=-0{,}24956$; $f=1$: $\operatorname{Re}S=0{,}04600$, $\operatorname{Im}S=-0{,}14451$. Le trasformate calcolate numericamente per integrazione di $s_p$ (con il coseno) e di $s_d$ (con il seno) coincidono con queste a meno di $10^{-12}$.

Es. 3.4M - convoluzione di due gaussiane, in frequenza

Perché in frequenza. Calcolare $\int e^{-\alpha u^2}e^{-\beta(t-u)^2}du$ nel tempo richiede di completare il quadrato nell'esponente (è il procedimento dell'Esempio 2.8D del testo). In frequenza la convoluzione diventa un prodotto di gaussiane, che è ancora una gaussiana.

Passo 1: la trasformata di $e^{-\alpha t^2}$. La coppia fondamentale (nota; dimostrata nell'Esempio 3.3G con la derivata) è $e^{-\pi t^2}\leftrightarrow e^{-\pi f^2}$. Con il cambiamento di scala $s(at)\leftrightarrow\frac1{|a|}S\left(\frac fa\right)$ e $a=\sqrt{\alpha/\pi}$ (così che $\pi a^2t^2=\alpha t^2$): $$e^{-\alpha t^2}=e^{-\pi(at)^2}\ \leftrightarrow\ \frac1a e^{-\pi f^2/a^2}=\sqrt{\frac\pi\alpha}\,e^{-\pi^2f^2/\alpha},$$ perché $\frac1a=\sqrt{\frac\pi\alpha}$ e $\frac{\pi}{a^2}=\frac{\pi^2}\alpha$. Analogamente $y=e^{-\beta t^2}\leftrightarrow\sqrt{\frac\pi\beta}e^{-\pi^2f^2/\beta}$. (Come controllo, la trasformata di $x$ in $f=0$ è l'area $\sqrt{\pi/\alpha}$, l'area della gaussiana.)

Passo 2: il prodotto. Per la regola di convoluzione $x*y\leftrightarrow XY$: $$X(f)Y(f)=\frac\pi{\sqrt{\alpha\beta}}\exp\left[-\pi^2f^2\left(\frac1\alpha+\frac1\beta\right)\right]=\frac\pi{\sqrt{\alpha\beta}}\,e^{-\pi^2f^2/\gamma},\qquad\frac1\gamma=\frac1\alpha+\frac1\beta\ \Rightarrow\ \gamma=\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}.$$ ($\gamma$ è il "parallelo" di $\alpha$ e $\beta$, come due resistenze in parallelo.)

Passo 3: antitrasformata. Cerchiamo il segnale la cui trasformata è $e^{-\pi^2f^2/\gamma}$. Dallo stesso ragionamento del passo 1, con $b=\sqrt{\gamma/\pi}$ (così $\frac\pi{b^2}=\frac{\pi^2}\gamma$): $e^{-\pi f^2/b^2}$ è la trasformata di $b\,e^{-\pi b^2t^2}=\sqrt{\frac\gamma\pi}\,e^{-\gamma t^2}$ (infatti $e^{-\pi(bt)^2}\leftrightarrow\frac1be^{-\pi f^2/b^2}$, e si moltiplica per $b$). Quindi $$x*y(t)=\frac\pi{\sqrt{\alpha\beta}}\sqrt{\frac\gamma\pi}\,e^{-\gamma t^2}=\sqrt{\frac{\pi\gamma}{\alpha\beta}}\,e^{-\gamma t^2}.$$ Poiché $\frac\gamma{\alpha\beta}=\frac1{\alpha+\beta}$: $$\boxed{e^{-\alpha t^2}*e^{-\beta t^2}=\sqrt{\frac\pi{\alpha+\beta}}\;\exp\left(-\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}\,t^2\right).}$$ La convoluzione di due gaussiane è una gaussiana.

Confronto con l'Esempio 2.8D. Nel testo $x=e^{-\pi\alpha't^2}$, $y=e^{-\pi\beta't^2}$ e il risultato è $\frac1{\sqrt{\alpha'+\beta'}}\exp\left(-\pi\frac{\alpha'\beta'}{\alpha'+\beta'}t^2\right)$. Ponendo $\alpha=\pi\alpha'$, $\beta=\pi\beta'$ nella nostra formula: $\sqrt{\frac\pi{\pi(\alpha'+\beta')}}=\frac1{\sqrt{\alpha'+\beta'}}$ e $\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}=\frac{\pi^2\alpha'\beta'}{\pi(\alpha'+\beta')}=\pi\frac{\alpha'\beta'}{\alpha'+\beta'}$ ✓: i due risultati coincidono. Quello in frequenza richiede meno passaggi, e non richiede l'artificio del quadrato.

Controlli.

• Area: $\operatorname{area}(x*y)=\operatorname{area}(x)\operatorname{area}(y)=\sqrt{\frac\pi\alpha}\sqrt{\frac\pi\beta}=\frac\pi{\sqrt{\alpha\beta}}$. Dal risultato: $\sqrt{\frac\pi{\alpha+\beta}}\cdot\sqrt{\frac\pi\gamma}=\frac\pi{\sqrt{(\alpha+\beta)\gamma}}=\frac\pi{\sqrt{\alpha\beta}}$ ✓.
• Larghezze: $e^{-\alpha t^2}$ è proporzionale a una gaussiana di varianza $\sigma^2=\frac1{2\alpha}$. La varianza del risultato è $\frac1{2\gamma}=\frac{\alpha+\beta}{2\alpha\beta}=\frac1{2\alpha}+\frac1{2\beta}$: le varianze si sommano, come per la somma di variabili aleatorie indipendenti (la densità della somma è la convoluzione delle densità).
• Caso simmetrico: $\alpha=\beta$: $\gamma=\frac\alpha2$ e $x*y=\sqrt{\frac\pi{2\alpha}}\,e^{-\alpha t^2/2}$ (più larga di un fattore $\sqrt2$).

Numeri ($\alpha=1$, $\beta=3$): $\gamma=\frac34$, $x*y(t)=\sqrt{\frac\pi4}e^{-0{,}75t^2}=0{,}88623\,e^{-0{,}75t^2}$; valori $0{,}88623;\ 0{,}78601;\ 0{,}41862;\ 0{,}04412$ per $t=0;\,0{,}4;\,1;\,2$.

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 3.4J: s = e^{-a t} 1(t), a = 2: parte pari/dispari e parte reale/immaginaria di S
a = 2.0
S = lambda f: 1/(a + 2j*np.pi*f)
sp = lambda t: 0.5*np.exp(-a*abs(t))
sd = lambda t: 0.5*np.sign(t)*np.exp(-a*abs(t))
for f in (0, 0.3, 1.0):
    Sp = quad(lambda t: sp(t)*np.cos(2*np.pi*f*t), -40, 40, limit=400)[0]               # trasformata di s_p (reale)
    Sd = -1j*quad(lambda t: sd(t)*np.sin(2*np.pi*f*t), -40, 40, limit=400, points=[0])[0]  # trasformata di s_d (immaginaria)
    print(f, round(Sp, 6), round(S(f).real, 6), np.round(Sd, 6), np.round(1j*S(f).imag, 6))

# 3.4M: convoluzione di gaussiane, alpha = 1, beta = 3
al, be = 1.0, 3.0
g = al*be/(al + be)
for t in (0, 0.4, 1.0, 2.0):
    num = quad(lambda u: np.exp(-al*u*u)*np.exp(-be*(t - u)**2), -30, 30)[0]
    print(t, round(num, 6), round(np.sqrt(np.pi/(al + be))*np.exp(-g*t*t), 6))        # 0.886227 0.78601 0.418624 0.044123

# Esempio 2.8D del testo: x = exp(-pi a' t^2), y = exp(-pi b' t^2)  ->  exp(-pi a'b'/(a'+b') t^2)/sqrt(a'+b')
ap, bp = 0.7, 1.9
for t in (0, 0.5, 1.2):
    num = quad(lambda u: np.exp(-np.pi*ap*u*u - np.pi*bp*(t - u)**2), -30, 30)[0]
    print(t, round(num, 6), round(np.exp(-np.pi*ap*bp/(ap + bp)*t*t)/np.sqrt(ap + bp), 6))

Risultati: tutte le coppie di valori coincidono (esempio: $0{,}886227$ e $0{,}78601$ in $t=0$ e $t=0{,}4$; $0{,}620174$ in $t=0$ per l'Esempio 2.8D con $\alpha'=0{,}7$, $\beta'=1{,}9$); anche le trasformate $X(f)=\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-\pi^2f^2/\alpha}$ calcolate numericamente ($1{,}77245$ in $f=0$, $1{,}19432$ in $f=0{,}2$, $0{,}15031$ in $f=0{,}5$ con $\alpha=1$) coincidono con la formula.