Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 6 febbraio 2026, problema 1). Data la cascata di trasformazioni lineari

$$x(t),\ t\in\mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ \uparrow\ g_1(\cdot)\ }\ y(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ g_2(\cdot)\ }\ z(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ z_c(t),\ t\in\mathbb Z(T)$$

con $g_1(t)=g_2(t)=\operatorname{triang}\left(\frac tT\right)$ (il primo blocco è un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$, il secondo un filtro continuo, l'ultimo un campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$):

1. per $T=1\ \mu$s e ingresso $x(nT)=-1$ se $n=0$, $x(nT)=1$ se $n=\pm2$, $x(nT)=0$ altrimenti, dare una rappresentazione grafica accurata di $y(t)$ e calcolarne l'energia;
2. identificare la trasformazione equivalente alla cascata, scrivendo la sua risposta impulsiva e la sua risposta in frequenza. Si tratta di una trasformazione invertibile?
3. scrivere una procedura Matlab che calcoli per via numerica e rappresenti graficamente la trasformata di Fourier $Z_c(f)$ dell'uscita corrispondente al segnale $y(t)=2\,e^{-t/T}\,1(t)$, $t\in\mathbb R$.

Teoria usata: Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →.

(1) Il segnale $y(t)$ e la sua energia

Regola dell'interpolatore. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g_1$ somma sul reticolo con il peso $T$ dell'integrale di Haar: $$y(t)=\sum_{n}T\,g_1(t-nT)\,x(nT)=\sum_n x(nT)\,g_{0}(t-nT),\qquad g_0(t)=T\,g_1(t)$$ (Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →). La funzione $g_0=T\operatorname{triang}(t/T)$ è la funzione interpolatrice: un triangolo di altezza $T$ e base $2T$.

Perché compare il fattore $T$. Sul reticolo $\mathbb Z(T)$ l'impulso ideale vale $\frac1T$ in $0$ (area $1$). Se all'ingresso c'è $\delta_{\mathbb Z(T)}$, cioè $x(0)=\frac1T$, l'uscita deve essere $g_1(t)$ stessa: $T\,g_1(t)\cdot\frac1T=g_1(t)$. Senza il fattore $T$ questa proprietà (la risposta all'impulso è la risposta impulsiva) non varrebbe.

Calcolo. I soli campioni non nulli sono $x(0)=-1$, $x(\pm2T)=1$, quindi $$y(t)=T\left[-\operatorname{triang}\left(\frac tT\right)+\operatorname{triang}\left(\frac{t-2T}{T}\right)+\operatorname{triang}\left(\frac{t+2T}{T}\right)\right].$$ Ogni triangolo ha il vertice nell'istante del suo campione e si annulla nei due istanti vicini $\pm T$: l'interpolatore triangolare è quindi la interpolazione lineare tra i valori $T\,x(nT)$ (con $T=10^{-6}$ s i valori sono $-10^{-6}$ e $+10^{-6}$ in unità di $x$). Nei punti di campionamento $y(nT)=T\,x(nT)$: $y(-2T)=T$, $y(0)=-T$, $y(2T)=T$; in $\pm T$ e in $\pm3T$ il segnale vale $0$ (il campione intermedio $x(\pm T)=0$ e quelli oltre i vertici sono nulli).

Energia. $E_y=\int_{\mathbb R}|y(t)|^2dt$ (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →). I tre triangoli hanno supporti $(-3T,-T)$, $(-T,T)$, $(T,3T)$: si toccano solo nei punti dove si annullano, quindi il quadrato della somma è la somma dei quadrati (i prodotti incrociati sono nulli, perché in ogni istante al più un triangolo è diverso da zero). Per un triangolo: $$\int_{-T}^{T}\left(1-\frac{|t|}{T}\right)^2dt=2T\int_0^1(1-u)^2du=\frac{2T}{3}.$$ Perciò $$E_y=3\cdot T^2\cdot\frac{2T}{3}=2T^3=2\cdot(10^{-6})^3=2\cdot10^{-18}$$ (in unità di $x^2$ per s$^3$). Verifica numerica: integrando $y^2$ su una griglia con $200$ punti per $T$ si ottiene $2{,}00003\cdot10^{-18}$.

Perché è comodo questo ingresso. Tra due campioni non nulli c'è sempre almeno un campione nullo, per cui i triangoli non si sovrappongono. Se due campioni non nulli fossero adiacenti, comparirebbe il termine incrociato $\int\operatorname{triang}\frac tT\operatorname{triang}\frac{t-T}T\,dt=\frac T6$.

(2) La trasformazione equivalente

Passo 1: i tre blocchi. Il filtro $g_2$ è LTI, quindi la convoluzione (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →) con $g_2$ è lineare e commuta con le traslazioni: filtrare la somma $y=\sum_nx(nT)\,T\,g_1(\cdot-nT)$ equivale a filtrare ogni triangolo traslato e a sommare i risultati, $$z(t)=(g_2*y)(t)=\sum_nx(nT)\,T\,(g_1*g_2)(t-nT).$$ Ogni triangolo $T\,g_1(t-nT)$ diventa così $T\,(g_1*g_2)(t-nT)$.

Passo 2: campionamento. Il campionatore tiene i valori in $t=mT$: $$z_c(mT)=\sum_nT\,(g_1*g_2)\big((m-n)T\big)\,x(nT).$$ È una convoluzione sul reticolo $\mathbb Z(T)$ (somma con peso $T$): la trasformazione equivalente è un filtro LTI $\mathbb Z(T)\to\mathbb Z(T)$ con risposta impulsiva $$g(kT)=(g_1*g_2)(kT),\qquad k\in\mathbb Z.$$

Passo 3: i valori della convoluzione. Servono i soli campioni $k\in\mathbb Z$. Il supporto di $g_1*g_2$ è $(-2T,2T)$ (somma dei due supporti $(-T,T)$), quindi $g(\pm2T)=0$ e $g(kT)=0$ per $|k|\ge2$. Restano:

• $k=0$: $(g_1*g_2)(0)=\int\operatorname{triang}^2\frac tT\,dt=\frac{2T}3$, come nel punto (1);
• $k=\pm1$: $(g_1*g_2)(T)=\int\operatorname{triang}\frac tT\operatorname{triang}\frac{T-t}T\,dt=\int_0^T\left(1-\frac tT\right)\frac tT\,dt=T\left(\frac12-\frac13\right)=\frac T6$ (le due code si sovrappongono solo su $(0,T)$; per simmetria vale lo stesso in $-T$).

(Come controllo: in forma chiusa $g_1*g_2=T\,\beta(t/T)$ con $\beta$ la B-spline cubica, $\beta(0)=\frac23$, $\beta(\pm1)=\frac16$.) Dunque, scrivendo gli impulsi ideali su $\mathbb Z(T)$ (valore $\frac1T$ in $0$): $$\boxed{g(t)=T^2\left[\frac23\,\delta_{\mathbb Z(T)}(t)+\frac16\,\delta_{\mathbb Z(T)}(t-T)+\frac16\,\delta_{\mathbb Z(T)}(t+T)\right]}$$ cioè $g(0)=\frac{2T}3$, $g(\pm T)=\frac T6$. In termini di ingresso/uscita: $$z_c(nT)=T^2\left[\frac23x(nT)+\frac16x(nT-T)+\frac16x(nT+T)\right],$$ un filtro FIR simmetrico, non causale (usa $x(nT+T)$).

Passo 4: risposta in frequenza. Trasformata discreta di $g$, con la somma pesata da $T$ (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →): $$G(f)=\sum_kT\,g(kT)\,e^{-i2\pi fkT}=T\left[\frac{2T}3+\frac T6\left(e^{-i2\pi fT}+e^{i2\pi fT}\right)\right]=\boxed{\frac{T^2}{3}\Big(2+\cos 2\pi fT\Big)}$$ periodica di periodo $\frac1T$. Si ritrova lo stesso risultato per un'altra strada, la ripetizione periodica dei prodotti delle risposte in frequenza continue, dove $G_1(f)=G_2(f)=T\operatorname{sinc}^2(Tf)$ (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →): l'interpolatore moltiplica per $G_1$, il filtro per $G_2$ e il campionatore ripete con periodo $\frac1T$ senza fattore $\frac1T$: $$G(f)=\sum_{k}T^2\operatorname{sinc}^4\big(T(f-k/T)\big).$$ Controlli: in $f=0$ solo $k=0$ contribuisce e $G(0)=T^2$, che coincide con $\frac{T^2}3(2+1)=T^2$; in $f=\frac1{2T}$ i termini della serie sono $\operatorname{sinc}^4\left(\pm\frac12\right),\operatorname{sinc}^4\left(\pm\frac32\right),\dots$ e valgono $\frac{16}{\pi^4m^4}$ con $m=1,3,5,\dots$ (ciascuno due volte), da cui $\frac{32}{\pi^4}\sum_{m\ \text{dispari}}\frac1{m^4}=\frac{32}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{96}=\frac13$, e la formula dà $\frac{T^2}{3}(2-1)=\frac{T^2}3$. ✓

Passo 5: invertibilità. Un filtro LTI è invertibile se la sua risposta in frequenza non si annulla (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). Qui $$\frac{T^2}3\le G(f)\le T^2\quad\text{per ogni }f,$$ quindi $G(f)\ne0$: sì, la trasformazione è invertibile, con inversa LTI di risposta in frequenza $H(f)=\frac1{G(f)}=\frac{3}{T^2(2+\cos2\pi fT)}$. L'inversa è un filtro a risposta impulsiva infinita; sviluppando $\frac1{2+\cos\theta}$ in serie di Fourier si trova $$h(kT)=\frac{\sqrt3}{T^3}\left(\sqrt3-2\right)^{|k|},$$ che decade geometricamente (fattore $|\sqrt3-2|\approx0{,}268$): è un filtro stabile. (Coefficienti verificati numericamente: $\frac1{\sqrt3}$, $-0{,}1547$, $0{,}0415$, $\dots$) Il risultato è che la cascata, pur passando per un segnale continuo e un campionamento, non perde informazione: da $z_c$ si risale a $x$.

Applicazione ai dati del punto (1). Dalla formula del filtro, con $x=(\dots,0,1,0,-1,0,1,0,\dots)$ (il valore $-1$ in $n=0$): $$z_c(nT)/T^2=\frac16,\ \frac23,\ 0,\ -\frac23,\ 0,\ \frac23,\ \frac16\qquad(n=-3,\dots,3),$$ e nullo altrove. Confermato campionando numericamente $g_2*y$.

(3) Procedura per $Z_c(f)$ (Python, equivalente del Matlab)

Il segnale $y(t)=2e^{-t/T}1(t)$ entra direttamente in $g_2$ (il blocco interpolatore è già stato attraversato). Quindi $z=g_2*y$, $z_c(nT)=z(nT)$ e $$Z_c(f)=\sum_nT\,z_c(nT)\,e^{-i2\pi fnT}=\sum_kZ(f-k/T),\qquad Z(f)=G_2(f)\,Y(f)=T\operatorname{sinc}^2(Tf)\cdot\frac{2T}{1+i2\pi fT}.$$

Il calcolo numerico ripete questi passaggi: griglia fine per il tempo continuo, convoluzione, campionamento, trasformata discreta.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T  = 1e-6                      # periodo (s)
L  = 200                       # campioni della griglia "continua" per ogni T
dt = T / L                     # passo della griglia fine
tri = lambda u: np.maximum(0, 1 - np.abs(u))

ty = np.arange(0, 40*T, dt)    # y(t) = 2 e^{-t/T} 1(t); oltre 40T e^{-40} e' trascurabile
y  = 2*np.exp(-ty/T)
y[0] = 1.0                     # 1(0) = 1/2: meta' del salto da 0 a 2

tg = np.arange(-T, T + dt/2, dt)    # g2 = triang(t/T) campionata con lo stesso dt, su [-T, T]
g2 = tri(tg/T)

z  = np.convolve(y, g2) * dt        # integrale di convoluzione = somma * dt   (Matlab: conv(y,g2)*dt)
tz = ty[0] + tg[0] + np.arange(len(z))*dt   # l'asse di z inizia alla somma degli inizi

n  = np.arange(-1, 40)              # istanti nT in cui z puo' essere non nullo
zc = z[np.round((n*T - tz[0]) / dt).astype(int)]     # campionamento: z(nT)

f  = np.linspace(-1.5/T, 1.5/T, 1201)                # asse delle frequenze (Hz): 3 periodi 1/T
Zc = T * np.exp(-2j*np.pi*np.outer(f, n*T)) @ zc     # Zc(f) = sum_n T zc(nT) e^{-i 2 pi f nT}

fig, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
ax[0].plot(f/1e6, np.abs(Zc));   ax[0].set_ylabel("|Zc(f)|")
ax[1].plot(f/1e6, np.angle(Zc)); ax[1].set_ylabel("fase (rad)"); ax[1].set_xlabel("f (MHz)")
plt.show()

Spiegazione delle scelte (con il comando Matlab corrispondente):

• Griglia fine $dt=T/200$. Il segnale è continuo: lo si rappresenta con molti campioni per $T$, in modo che la somma $\sum\dots\,dt$ approssimi bene l'integrale.
• $y(0)=1$. Il gradino continuo vale $\frac12$ nell'origine ($1(0)=\frac12$) e il salto $0\to2$ viene così contato per metà, come fa l'integrale.
• Fattore $dt$ nella convoluzione: np.convolve (in Matlab conv) calcola solo la somma $\sum y(k)g(n-k)$; l'integrale di convoluzione richiede $\cdot\,dt$.
• Asse dei tempi di $z$. La convoluzione di due segnali che iniziano in $0$ e in $-T$ inizia in $-T$ (somma degli estremi inferiori). Da questo si ricava l'indice di ogni istante $nT$.
• Campionamento. Si prelevano gli indici corrispondenti agli istanti $nT$ (in Matlab zc = z(1:L:end) quando l'inizio coincide con un multiplo di $T$).
• Trasformata. Si usa la definizione discreta con il peso $T$: $Z_c(f)=T\sum_nz_c(nT)e^{-i2\pi fnT}$. È una moltiplicazione matrice-vettore (in Matlab T*exp(-1i*2*pi*f(:)*(n*T))*zc(:)); con una griglia $f$ arbitraria evita lo zero padding e le fftshift. Con la FFT servirebbero zero padding, il fattore $T$ e fftshift per centrare l'asse.
• Intervallo di frequenza $[-1{,}5/T,\ 1{,}5/T]$: si vedono tre periodi, perché $Z_c$ è periodica di periodo $\frac1T=1$ MHz.

Controllo. Si confronta con la serie delle repliche $Z_c(f)=2T^2\sum_k\frac{\operatorname{sinc}^2(fT-k)}{1+i2\pi(fT-k)}$: lo scarto massimo relativo è $4\cdot10^{-6}$ e $Z_c(0)=2T^2$ (perché $\operatorname{sinc}(k)=0$ per $k\ne0$, quindi $Z_c(0)=Z(0)=T\cdot2T$). Un modo più semplice di scrivere il risultato è $$\frac{Z_c(f)}{2T^2}=\frac{\sin^2(\pi fT)}{\pi^2}\sum_k\frac{1-i2\pi(fT-k)}{(fT-k)^2\left[1+4\pi^2(fT-k)^2\right]},$$ con parte reale e immaginaria mostrate qui sotto (serie troncata a $|k|\le3$, con $f$ espressa in MHz perché $T=1\ \mu$s).

Errori tipici

• Dimenticare il peso $T$ dell'interpolatore e della convoluzione sul reticolo: l'energia verrebbe $2T$ invece di $2T^3$ e $G(f)$ perderebbe un fattore $T^2$.
• Prendere la risposta impulsiva equivalente $g_1*g_2$ continua invece dei suoi campioni in $kT$: la trasformazione equivalente è su $\mathbb Z(T)$, non su $\mathbb R$.
• Dire che il campionatore rende la cascata non invertibile: lo sarebbe da solo; qui il filtro equivalente ha $G(f)\ge T^2/3>0$ e si inverte.

Vedi anche: Esercizio - cascata di filtri discreti con decimazione (prova scritta del 17 settembre 2025), Esercizio - segnale discreto esponenziale, finestra triangolare e campionamento (prova scritta del 3 settembre 2025).