Esercizio - convoluzione ciclica di impulsi rettangolari periodici

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.8E). Calcolare la convoluzione ciclica del segnale $$x(t)=\operatorname{rep}_{T_p}\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$$ con se stesso. Si assuma $T_p=4T$.

Teoria usata: ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Esercizio - segnali periodici e ripetizione periodica.

Il segnale e la definizione di convoluzione ciclica

Il segnale. $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ vale $1$ per $\lvert t\rvert<\frac T2$ (impulso di durata $T$ centrato in $0$). Con $T_p=4T$ la sua ripetizione periodica è un'onda quadra: impulsi di durata $T$, ripetuti ogni $4T$, cioè centrati in $0,\pm4T,\pm8T,\dots$; tra due impulsi c'è uno spazio nullo di durata $3T$. Il segnale vale $1$ per un quarto del periodo (duty cycle $\frac14$).

Perché serve una definizione speciale. Per due segnali aperiodici la convoluzione è $\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(t-u)\,du$. Se $x$ e $y$ sono entrambi periodici (non nulli) il prodotto $x(u)y(t-u)$ si ripete identico a ogni periodo e l'integrale su tutto $\mathbb R$ diverge. Per esempio per $x(u)^2$ di questo esercizio, su $[-L,L]$, l'integrale vale $\frac{2L}{4T}\cdot T=\frac L2$ (in $[-L,L]$ ci sono $\frac{2L}{4T}$ impulsi, ciascuno di area $T$): $5$ per $L=10$, $50$ per $L=100$, $500$ per $L=1000$, cresce senza limite.

Convoluzione ciclica di due segnali con lo stesso periodo $T_p$: $$x*y(t)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}x(u)\,y(t-u)\,du,$$ l'integrale è esteso a un solo periodo, di inizio $t_0$ qualunque. Si dice ciclica perché è come se il tempo fosse una circonferenza di lunghezza $T_p$ (in contrapposizione alla convoluzione aciclica su $\mathbb R$). Proprietà:

• il risultato non dipende da $t_0$: l'integrando $u\mapsto x(u)y(t-u)$ è periodico di periodo $T_p$ (entrambi i fattori lo sono), e l'integrale su un periodo di un segnale periodico non dipende dall'inizio (Esercizio - segnali periodici e ripetizione periodica, Es. 2.5B);
• il risultato è periodico di periodo $T_p$ in $t$ (se $t\to t+T_p$ anche $y(t-u)$ si riproduce uguale);
• vale la regola delle aree, con "area" intesa su un periodo: $A(x*y)=A(x)\,A(y)$.

Calcolo

Passo 1: scelta del periodo. Integriamo su $[-2T,2T)$, un periodo centrato nell'origine. In questo intervallo c'è una sola replica dell'impulso, quella centrale: le repliche vicine sono centrate in $\pm4T$ e occupano $(3{,}5T;\,4{,}5T)$ e $(-4{,}5T;\,-3{,}5T)$, fuori dall'intervallo. Quindi per $u\in[-2T,2T)$ si ha $x(u)=\operatorname{rect}\left(\frac uT\right)$, che vale $1$ per $\lvert u\rvert<\frac T2$ e $0$ altrove.

Passo 2: si riduce a un integrale di $x$. Il fattore $x(u)$ annulla l'integrando fuori da $(-\frac T2,\frac T2)$ e vale $1$ dentro, quindi $$s(t)=x*x(t)=\int_{-T/2}^{T/2}x(t-u)\,du .$$ Con la sostituzione $v=t-u$ (gli estremi $u=\mp\frac T2$ diventano $v=t\pm\frac T2$, e invertendoli il segno si ripristina): $$s(t)=\int_{t-T/2}^{t+T/2}x(v)\,dv .$$ Interpretazione: $s(t)$ è la lunghezza della parte della finestra $(t-\frac T2,\,t+\frac T2)$ (larga $T$, centrata in $t$) che cade sugli impulsi di $x$ (dove $x=1$). Cioè si fa scorrere sul segnale una finestra larga quanto l'impulso e si misura quanto si sovrappone.

Passo 3: la sovrapposizione. Per $t\in[-2T,2T]$ la finestra sta dentro $[-\frac52T,\frac52T]$ e incontra solo l'impulso centrale $(-\frac T2,\frac T2)$ (il successivo inizia in $3{,}5T$). La sovrapposizione di due intervalli di lunghezza $T$ i cui centri distano $\lvert t\rvert$ è $T-\lvert t\rvert$ se $\lvert t\rvert<T$, zero altrimenti: $$s(t)=\begin{cases}T-\lvert t\rvert & \lvert t\rvert\le T\\ 0 & T\le\lvert t\rvert\le2T\end{cases}\qquad t\in[-2T,2T].$$ (Per esempio per $t=\frac T2$ la finestra è $(0,T)$ e si sovrappone a $(-\frac T2,\frac T2)$ per lunghezza $\frac T2$; per $t=T$ le due finestre si toccano soltanto; per $t=2T$ la finestra $(\frac32T,\frac52T)$ non incontra impulsi.)

Passo 4: tutto $\mathbb R$. Il risultato è periodico di periodo $T_p=4T$, quindi si ripete la forma ottenuta in $[-2T,2T]$: $$\boxed{x*x(t)=\operatorname{rep}_{4T}\Big[T\,\operatorname{tri}\Big(\frac tT\Big)\Big]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}T\,\operatorname{tri}\Big(\frac{t-4kT}{T}\Big)}$$ dove $\operatorname{tri}(x)=1-\lvert x\rvert$ per $\lvert x\rvert<1$ e $0$ altrove è il triangolo unitario (Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →). Si tratta di una sequenza di triangoli di altezza $T$ e base $2T$, centrati in $0,\pm4T,\dots$, separati da tratti nulli lunghi $2T$.

Confronto con la convoluzione aciclica

L'impulso singolo $u(t)=\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ ha convoluzione aciclica con se stesso $u*u(t)=T\operatorname{tri}\left(\frac tT\right)$: un triangolo di altezza $T$ e base $2T$ (vedi Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari, caso $D_1=D_2$). Il risultato ciclico è la ripetizione periodica di questo triangolo: $$\operatorname{rep}_{T_p}u\ \circledast\ \operatorname{rep}_{T_p}u=\operatorname{rep}_{T_p}(u*u),$$ dove $\circledast$ indica la convoluzione ciclica e $*$ quella aciclica. In generale, per due segnali diversi, $\operatorname{rep}_{T_p}u\circledast\operatorname{rep}_{T_p}w=\operatorname{rep}_{T_p}(u*w)$. Dimostrazione. Siano $x=\operatorname{rep}_{T_p}u$ e $y=\operatorname{rep}_{T_p}w$. Scrivendo $x(\tau)=\sum_ku(\tau-kT_p)$ ed integrando su un periodo, $$x*y(t)=\sum_k\int_{[0,T_p]}u(\tau-kT_p)\,y(t-\tau)\,d\tau=\sum_k\int_{-kT_p}^{(1-k)T_p}u(v)\,y(t-v-kT_p)\,dv=\sum_k\int_{-kT_p}^{(1-k)T_p}u(v)\,y(t-v)\,dv$$ ($v=\tau-kT_p$, poi $y(t-v-kT_p)=y(t-v)$ per la periodicità di $y$). Gli intervalli $[-kT_p,(1-k)T_p]$ coprono tutto $\mathbb R$ senza sovrapporsi, quindi la somma è $\int_{-\infty}^{+\infty}u(v)\,y(t-v)\,dv=u*y(t)$, convoluzione aciclica di $u$ con il segnale periodico $y$. Con $y=\sum_jw(\cdot-jT_p)$ e la linearità della convoluzione (e la regola delle traslazioni) si ottiene $u*y=\sum_j(u*w)(t-jT_p)=\operatorname{rep}_{T_p}(u*w)$. $\square$

Quando si può dire "è la ripetizione del triangolo senza sovrapposizioni": il triangolo $u*u$ ha durata $2T$ (somma delle durate), quindi le repliche di periodo $T_p$ non si sovrappongono se $T_p\ge2T$. Con $T_p=4T$ non si sovrappongono. Con un periodo più corto (per esempio $T_p=\frac32T$, dove gli impulsi non si toccano ma i triangoli sì) le code dei triangoli si sommerebbero.

Controllo con la regola delle aree. L'area su un periodo di $x$ è $T$ (un impulso alto $1$, largo $T$). Quindi l'area su un periodo di $x*x$ deve essere $T\cdot T=T^2$. L'area di un triangolo di altezza $T$ e base $2T$ è $\frac12\cdot2T\cdot T=T^2$ ✓.

Numeri con $T=1$ ($T_p=4$): $s(0)=1$, $s(0{,}5)=0{,}5$, $s(1)=0$, $s(1{,}5)=0$, $s(2)=0$, $s(3{,}5)=s(-0{,}5)=0{,}5$, $s(4)=s(0)=1$.

Una vista del calcolo in un periodo, per $t=0{,}5$ ($T=1$): si moltiplicano $x(u)$ e $x(0{,}5-u)$ (ribaltato e traslato) e si integra; la sovrapposizione è l'intervallo $(0,\frac12)$ di lunghezza $0{,}5$.

Controllo

import numpy as np

T, Tp = 1.0, 4.0
n = 40000; du = Tp/n
u = -Tp/2 + du*(np.arange(n) + 0.5)                       # un periodo, somma di Riemann
x = lambda t: (np.abs((t + Tp/2) % Tp - Tp/2) < T/2) * 1.0   # onda quadra periodica
tri = lambda t: np.maximum(0, 1 - np.abs(t))
rep = lambda f, t: sum(f(t - k*Tp) for k in range(-3, 4))   # ripetizione periodica

for t in (0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.5, -0.5, 4.0):
    ciclica = np.sum(x(u) * x(t - u)) * du                  # integrale su un periodo
    print(t, round(ciclica, 4), T * rep(lambda v: tri(v/T), t))

# indipendenza dalla finestra: periodo [0.3, 4.3] invece di [-2, 2]
u2 = 0.3 + du*(np.arange(n) + 0.5)
print(np.sum(x(u2) * x(0.5 - u2)) * du)                     # ancora 0.5

# la convoluzione aciclica (su [-L, L]) di x con se stesso diverge
for L in (10, 100, 1000):
    m = int(2*L/1e-3); uu = -L + 1e-3*(np.arange(m) + 0.5)
    print(L, np.sum(x(uu)**2) * 1e-3)                       # 5, 50, 500

Risultati: le otto valutazioni coincidono con $T\operatorname{rep}\operatorname{tri}$ (per esempio $1$, $0{,}5$, $0$, $0{,}5$ in $t=0,\ 0{,}5,\ 1{,}5,\ 3{,}5$); con la finestra $[0{,}3,4{,}3]$ si trova ancora $0{,}5$; il valore aciclico cresce come $\frac L2$.