Esercizio - processo gaussiano campionato, interpolato ed elevato al quadrato (prova scritta del 6 febbraio 2026)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 6 febbraio 2026, problema 2). All'ingresso della cascata

$$x(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ x_c(t),\ t\in\mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ \uparrow\ g(\cdot)\ }\ y(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ [\cdot]^2\ }\ z(t),\ t\in\mathbb R$$

con $g(t)=\operatorname{sinc}\left[t/(2T)\right]$, $t\in\mathbb R$, è applicato il processo aleatorio $x(t)$, $t\in\mathbb R$, gaussiano, stazionario, a media nulla e con correlazione $r_x(\tau)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\tau}{2T}\right)$.

1. Calcolare le probabilità $P[y(T)>y(0)]$ e $P[x(0)+x(2T)>1]$.
2. Determinare se $z(t)$ è stazionario in media e calcolarne la media.
3. Determinare se $z(t)$ è stazionario in potenza statistica.

Teoria usata: Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →, Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →.

Passo 0: spettri e struttura della cascata

Densità spettrale di $x$. Dalla coppia $\operatorname{sinc}\left(\frac tD\right)\leftrightarrow D\operatorname{rect}(Df)$ e da quella con il quadrato, $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tD\right)\leftrightarrow D\operatorname{triang}(Df)$, con $D=2T$: $$R_x(f)=\mathcal F[r_x](f)=2T\operatorname{triang}(2Tf),\qquad\text{supporto }|f|<\frac1{2T}.$$ La banda del processo è $B=\frac1{2T}$ (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →). La potenza statistica è $M_x=r_x(0)=1$ (area del triangolo: $2T\cdot\frac1{2T}=1$ ✓).

Campionatore. $x_c(nT)=x(nT)$ ha media nulla e correlazione $r_{x_c}(kT)=r_x(kT)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac k2\right)$, quindi è stazionario su $\mathbb Z(T)$; la sua densità spettrale è la ripetizione periodica, senza fattore $\frac1T$, $$R_{x_c}(f)=\sum_kR_x\left(f-\frac kT\right).$$ Le repliche hanno periodo $\frac1T=2B$ e si toccano solo nei punti $\pm\frac1{2T}$ dove il triangolo vale $0$: non c'è aliasing (si è al limite di Nyquist). Nella banda base $|f|<\frac1{2T}$ risulta $R_{x_c}(f)=2T\operatorname{triang}(2Tf)$.

Interpolatore. Con la regola $y(t)=\sum_nT\,g(t-nT)\,x_c(nT)$ la funzione interpolatrice è $g_0=T\,g=T\operatorname{sinc}\left(\frac t{2T}\right)$ e $$y(t)=T\sum_nx(nT)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT}{2T}\right).$$ La risposta in frequenza è $G(f)=2T\operatorname{rect}(2Tf)$, un passa-basso ideale di banda $|f|<\frac1{4T}$ e guadagno $2T$. Non è l'interpolatore ideale, che avrebbe $g=\frac1T\operatorname{sinc}\frac tT$ e $G=\operatorname{rect}(Tf)$ (banda $\frac1{2T}$, guadagno $1$): $y$ non è una copia di $x$, ma una sua versione filtrata, di banda dimezzata e amplificata.

$y$ è stazionario. In generale l'uscita di un interpolatore con ingresso stazionario è ciclostazionaria (la sua statistica è periodica di periodo $T$), ma qui lo è proprio stazionario. Con la rappresentazione $r_{x_c}(kT)=\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}R_{x_c}(f)\,e^{i2\pi fkT}df$, $$r_y(t,s)=\sum_n\sum_mT^2g(t-nT)\,g(s-mT)\,r_x\big((n-m)T\big)=\int_{-\frac1{2T}}^{\frac1{2T}}R_{x_c}(f)\,A_t(f)\,\overline{A_s(f)}\,df,$$ dove $A_t(f)=\sum_nT\,g(t-nT)\,e^{i2\pi fnT}$. Per la formula di Poisson $A_t(f)=e^{i2\pi ft}\sum_kG\left(f+\frac kT\right)e^{i2\pi kt/T}$. Per $|f|<\frac1{2T}$ i termini con $k\neq0$ valgono zero, perché $G$ è nulla fuori da $|f|<\frac1{4T}$ e $\left|f+\frac kT\right|\ge\frac1{2T}$. Resta $A_t(f)=e^{i2\pi ft}G(f)$ e $$r_y(t,s)=\int R_{x_c}(f)\,|G(f)|^2e^{i2\pi f(t-s)}df=r_y(t-s):$$ dipende solo da $t-s$. Inoltre $y$ è gaussiano (combinazione lineare, anche infinita, di variabili gaussiane congiunte, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →) a media nulla.

Densità spettrale e potenza di $y$. $$R_y(f)=|G(f)|^2R_{x_c}(f)=4T^2\operatorname{rect}(2Tf)\cdot2T\operatorname{triang}(2Tf)=8T^3\left(1-2T|f|\right)\ \text{per }|f|<\frac1{4T},$$ nulla altrove. La potenza statistica (Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →) è l'area: $$M_y=r_y(0)=\int_{-\frac1{4T}}^{\frac1{4T}}8T^3(1-2T|f|)\,df=8T^3\left[\frac1{2T}-2T\left(\frac1{4T}\right)^2\right]=8T^3\cdot\frac3{8T}=3T^2.$$ (Calcolo dell'area del trapezio: $2\cdot\frac1{4T}-2T\cdot\frac1{16T^2}=\frac1{2T}-\frac1{8T}=\frac3{8T}$.) In forma esplicita, con $a=\pi\tau/T$, $$r_y(\tau)=8T^2\left[\frac{\sin(a/2)}{2a}+\frac{1-\cos(a/2)}{a^2}\right],\qquad r_y(0)=3T^2,\quad r_y(T)\approx2{,}0838\,T^2.$$

Verifica numerica. Calcolando la somma doppia di $r_y(t,s)$ troncata a $\pm2500$ campioni si ottiene $\operatorname{Var}[y(t)]=2{,}9998\,T^2$ per $t=0,\ 0{,}13T,\ 0{,}5T,\ 0{,}77T,\ T$ (indipendente da $t$, quindi $y$ è stazionario) e $r_y(T)=2{,}0838\,T^2$, uguali ai valori analitici.

(1) Le due probabilità

$P[y(T)>y(0)]$. La differenza $D=y(T)-y(0)$ è una combinazione lineare di variabili gaussiane congiunte, quindi gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →); ha media $0$ perché $m_y=0$ e varianza $$\sigma_D^2=r_y(0)+r_y(0)-2r_y(T)=2(3-2{,}0838)\,T^2\approx1{,}832\,T^2>0.$$ Una gaussiana non degenere a media nulla è simmetrica rispetto a $0$, quindi $$\boxed{P[y(T)>y(0)]=P[D>0]=\frac12.}$$ Non servono né la varianza né la correlazione (basta sapere che $D\ne0$ quasi certamente): è la risposta attesa, non un calcolo.

$P[x(0)+x(2T)>1]$. Qui si usa il processo $x$ originale. Si pone $S=x(0)+x(2T)$, gaussiano a media nulla, con $$\sigma_S^2=r_x(0)+r_x(0)+2r_x(2T)=1+1+2\operatorname{sinc}^2(1)=2,$$ perché $r_x(2T)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac{2T}{2T}\right)=\operatorname{sinc}^2(1)=0$: i due campioni sono scorrelati, quindi (essendo gaussiani congiunti) indipendenti. Standardizzando, con $Q(z)=1-\Phi(z)$: $$P[S>1]=Q\left(\frac1{\sqrt2}\right)=1-\Phi(0{,}7071)=1-0{,}7602=\boxed{0{,}2398.}$$

(2) Media di $z(t)=y^2(t)$

La media di $z$ è la potenza statistica di $y$: $$m_z(t)=E[y^2(t)]=r_y(t,t)=r_y(0)=3T^2.$$ Non dipende da $t$ (perché $y$ è stazionario: $r_y(t,t)=r_y(0)$ per ogni $t$): $z$ è stazionario in media con $$\boxed{m_z=3T^2.}$$ Dimensionalmente, con $x$ adimensionale, $m_z$ ha le dimensioni di s$^2$ (per il peso $T$ dell'interpolatore).

(3) Potenza statistica di $z$

La potenza statistica di $z$ è $M_z(t)=E[z^2(t)]=E[y^4(t)]$, il momento di ordine $4$ di una gaussiana $N(0,\sigma^2)$ con $\sigma^2=r_y(0)=3T^2$. Per una gaussiana a media nulla $E[Y^4]=3\sigma^4$ (si ottiene integrando per parti $E[Y\cdot Y^3]=\sigma^2E[3Y^2]$, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Quindi $$M_z(t)=3\sigma^4=3\left(3T^2\right)^2=27\,T^4,$$ indipendente da $t$: $z$ è stazionario in potenza statistica, con $M_z=27T^4$ (e varianza $\operatorname{Var}[z]=M_z-m_z^2=27T^4-9T^4=18T^4=2\sigma^4$).

Qualcosa di più. Con la formula dei momenti di ordine $4$ delle gaussiane $E[y(t)^2y(s)^2]=\sigma^4+2r_y(t-s)^2$ si trova che la correlazione $r_z(t,s)=9T^4+2r_y(t-s)^2$ dipende da $t-s$: $z$ è stazionario in senso lato.

Errori tipici

• Trattare $g$ come l'interpolatore ideale ($y=x$): si troverebbe $m_z=r_x(0)=1$ e $M_z=3$. Qui l'interpolatore taglia a metà la banda e ha guadagno $2T$ (e $y$ non coincide con $x$).
• Dimenticare il peso $T$ dell'interpolatore (la funzione interpolatrice è $T\,g$, non $g$).
• Calcolare varianze e correlazioni per $P[y(T)>y(0)]$: è $\frac12$ per simmetria.
• Dire che $z$ non è stazionario perché la trasformazione $[\cdot]^2$ è non lineare: se $y$ è stazionario, $E[z]$ e $E[z^2]$ sono costanti.

Vedi anche: Esercizio - processi gaussiani con correlazione modulata e filtro passa-basso (prova scritta del 17 settembre 2025), Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026).