Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Esempio 2.8A, Es. 2.8L, Es. 2.8O, Esempio 2.8B).

• Esempio 2.8A. Calcolare la convoluzione dei due impulsi rettangolari $x(t)=A_1\operatorname{rect}\left(\frac t{4D}\right)$ e $y(t)=A_2\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$.
• Es. 2.8L. Calcolare la convoluzione dei due impulsi rettangolari $x(t)=A_1\operatorname{rect}\left(\frac t{2D_1}\right)$ e $y(t)=A_2\operatorname{rect}\left(\frac t{2D_2}\right)$.
• Es. 2.8O. Utilizzando il risultato dell'Esempio 2.8A, calcolare la convoluzione di $x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-5D}{D}\right)$ e $y(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t+3D}{2D}\right)$ e rappresentarla graficamente.
• Esempio 2.8B. Calcolare la convoluzione di $x(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$ con il gradino $y(t)=\mathbf 1(t)$.

Teoria usata: ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Esercizio - proprietà della convoluzione.

Il metodo: la convoluzione di due rect è una lunghezza di intersezione

L'impulso rettangolare $A\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{d}\right)$ vale $A$ per $\lvert t-t_0\rvert<\frac d2$ (durata $d$, centrato in $t_0$) e $0$ altrove. Perciò $x(u)\,y(t-u)$ vale $A_1A_2$ nei punti $u$ dove entrambi valgono 1 e $0$ altrove, e $$x*y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(t-u)\,du=A_1A_2\cdot\text{misura}\big(e[x]\cap e_t\big),$$ dove $e[x]$ è l'intervallo in cui $x(u)=A_1$ e $e_t=\{u:\ y(t-u)\ne0\}$ è l'intervallo in cui $y(t-u)=A_2$. Se $y$ vale $A_2$ su $\lvert v\rvert<D_2$, allora $y(t-u)\neq0$ quando $\lvert t-u\rvert<D_2$, cioè $u\in(t-D_2,\,t+D_2)$: è $y$ ribaltato e traslato, e (essendo $y$ pari) il ribaltamento non cambia nulla. Il calcolo si riduce a trovare la lunghezza dell'intersezione di due intervalli $[a_1,b_1]$ e $[a_2,b_2]$ al variare di $t$. I tre casi sono:

1. disgiunti ($b_1<a_2$ oppure $b_2<a_1$): intersezione vuota, lunghezza $0$;
2. sovrapposti in parte: la lunghezza è la differenza tra l'estremo destro più a sinistra e l'estremo sinistro più a destra, $\min(b_1,b_2)-\max(a_1,a_2)$;
3. uno contenuto nell'altro: la lunghezza è quella dell'intervallo più corto.

Estensione del risultato. Prima di calcolare conviene sapere dove il risultato è diverso da zero: $e[x*y]=[t_x+t_y,\ T_x+T_y]$ (somma degli estremi; le durate si sommano). Si possono quindi limitare i conti a quell'intervallo. Inoltre due segnali pari hanno una convoluzione pari: basta calcolare per $t\ge0$.

(Esempio 2.8A) $x=A_1\operatorname{rect}\left(\frac t{4D}\right)$ e $y=A_2\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$

Dati. $x$ vale $A_1$ per $\lvert u\rvert<2D$ ($e[x]=[-2D,2D]$, durata $4D$); $y$ vale $A_2$ per $\lvert v\rvert<D$ ($e[y]=[-D,D]$, durata $2D$). Quindi $e[x*y]=[-3D,3D]$.

Quale tenere fisso. Il secondo impulso è più corto del primo: conviene tenere fisso $x$ e far scorrere $y(t-u)$, cioè l'intervallo $e_t=[t-D,\,t+D]$ (centrato in $t$, lungo $2D$) mentre $x$ occupa $[-2D,2D]$. Allora $$x*y(t)=A_1A_2\cdot\text{misura}\Big([-2D,2D]\cap[t-D,t+D]\Big).$$

Esame dell'intersezione al variare di $t$ (la finestra $e_t$ scorre da sinistra a destra):

• $t<-3D$ (finestra tutta a sinistra, $t+D<-2D$): disgiunti, misura $0$.
• $-3D<t<-D$ (la finestra entra da sinistra: $t-D<-2D<t+D<2D$): sovrapposizione parziale. L'intersezione è $[-2D,\,t+D]$, di misura $(t+D)-(-2D)=t+3D$.
• $-D<t<D$ (la finestra sta tutta dentro $[-2D,2D]$: $t-D>-2D$ e $t+D<2D$): contenimento. L'intersezione è $[t-D,t+D]$, di misura $2D$ (l'impulso più corto).
• $D<t<3D$ (la finestra esce da destra: $-2D<t-D<2D<t+D$): sovrapposizione parziale. L'intersezione è $[t-D,\,2D]$, di misura $2D-(t-D)=3D-t$.
• $t>3D$: disgiunti, misura $0$.

Dunque $$x*y(t)=\begin{cases}0 & t<-3D\ \text{ e }\ t>3D\\ A_1A_2\,(t+3D) & -3D<t<-D\\ A_1A_2\,2D & -D<t<D\\ A_1A_2\,(3D-t) & D<t<3D\end{cases}$$ Un trapezio isoscele di base maggiore $6D$ (da $-3D$ a $3D$), base minore $2D$ (da $-D$ a $D$) e altezza $A=2D\,A_1A_2$. Nei punti di raccordo $t=\pm D$, $\pm3D$ le formule danno lo stesso valore da destra e da sinistra (per esempio in $t=-D$: $A_1A_2\cdot2D$ in entrambi i casi), quindi la convoluzione è continua. Questo è tipico: la convoluzione di segnali limitati è continua anche se i due segnali non lo sono.

Controllo con l'area. Area di $x$: $4D\,A_1$; area di $y$: $2D\,A_2$; prodotto $8D^2A_1A_2$. Area del trapezio: $\frac{(6D+2D)}{2}\cdot2DA_1A_2=8D^2A_1A_2$ ✓.

Numeri con $D=1$, $A_1=2$, $A_2=3$ (quindi $A_1A_2=6$ e altezza $2D\,A_1A_2=12$): $t=-2{,}5\to6\cdot(-2{,}5+3)=3$; $t=-1,\ 0,\ 0{,}7\to12$; $t=2\to6\cdot(3-2)=6$; $t=3{,}5\to0$. Una somma di Riemann numerica dell'integrale di convoluzione dà $3{,}0;\ 12{,}0;\ 12{,}0;\ 12{,}0;\ 6{,}0;\ 0{,}0$ negli stessi punti.

(Es. 2.8L) Impulsi di durata diversa $2D_1$ e $2D_2$

Dati. $x=A_1\operatorname{rect}\left(\frac t{2D_1}\right)$ vale $A_1$ per $\lvert t\rvert<D_1$ (durata $2D_1$); $y=A_2\operatorname{rect}\left(\frac t{2D_2}\right)$ vale $A_2$ per $\lvert t\rvert<D_2$ (durata $2D_2$). Per commutatività della convoluzione si può supporre $D_1\ge D_2$ (il primo è il più lungo). L'estensione del risultato è $[-(D_1+D_2),\,D_1+D_2]$.

Intersezione di $[-D_1,D_1]$ con la finestra $[t-D_2,\,t+D_2]$ che scorre. Poiché il risultato è pari basta $t\ge0$:

• $0\le t\le D_1-D_2$: la finestra è contenuta (da $t-D_2\ge-D_2\ge-D_1$ e $t+D_2\le D_1$): misura $2D_2$ (la lunghezza dell'impulso corto).
• $D_1-D_2\le t\le D_1+D_2$: la finestra esce a destra: l'intersezione è $[t-D_2,\,D_1]$, di misura $D_1-t+D_2$.
• $t\ge D_1+D_2$: disgiunti: misura $0$.

In forma compatta, valida anche per $t<0$ sostituendo $t$ con $\lvert t\rvert$: $$\boxed{x*y(t)=\begin{cases}A_1A_2\cdot2D_2 & \lvert t\rvert\le D_1-D_2\\ A_1A_2\,(D_1+D_2-\lvert t\rvert) & D_1-D_2\le\lvert t\rvert\le D_1+D_2\\ 0 & \lvert t\rvert\ge D_1+D_2\end{cases}}\qquad(D_1\ge D_2)$$ Trapezio isoscele (base maggiore $2(D_1+D_2)$, base minore $2(D_1-D_2)$, altezza $2D_2A_1A_2$): l'altezza vale $A_1A_2$ per la durata dell'impulso più corto.

Controlli.

• Con $D_1=2D$ e $D_2=D$ si ottiene $A_1A_2\,2D$ per $\lvert t\rvert\le D$ e $A_1A_2(3D-\lvert t\rvert)$ per $D\le\lvert t\rvert\le3D$: il risultato dell'Esempio 2.8A ✓.
• Area: $\frac{2(D_1+D_2)+2(D_1-D_2)}{2}\cdot2D_2A_1A_2=4D_1D_2A_1A_2=(2D_1A_1)(2D_2A_2)$ (prodotto delle aree) ✓.
• Continuità in $\lvert t\rvert=D_1-D_2$: $D_1+D_2-(D_1-D_2)=2D_2$ ✓.

Il caso $D_1=D_2=D$: il triangolo

Se i due impulsi hanno la stessa durata $2D$ il tratto piatto ($\lvert t\rvert\le D_1-D_2=0$) si riduce al solo punto $t=0$ e il trapezio diventa un triangolo: $$x*y(t)=A_1A_2\,(2D-\lvert t\rvert)\ \ (\lvert t\rvert\le2D)=2D\,A_1A_2\,\operatorname{tri}\Big(\frac t{2D}\Big),$$ con $\operatorname{tri}(s)=1-\lvert s\rvert$ per $\lvert s\rvert<1$ e $0$ altrove (Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →). Altezza $2DA_1A_2$ in $t=0$ (sovrapposizione completa), base $4D$. Controllo con l'area: $\frac12\cdot4D\cdot2DA_1A_2=4D^2A_1A_2=(2DA_1)(2DA_2)$ ✓.

Numeri. (a) $D_1=3$, $D_2=1$, $A_1=2$, $A_2=0{,}5$: altezza $1\cdot2\cdot1=2$ per $\lvert t\rvert\le2$, pendenza $-1$ da $t=2$ a $t=4$: $t=3\to1$; $t=3{,}9\to0{,}1$; $t=5\to0$. (b) $D_1=D_2=2$, $A_1=A_2=1$: $t=0\to4$, $t=1\to3$, $t=2\to2$, $t=3{,}5\to0{,}5$. Somme di Riemann numeriche confermano tutti questi valori.

(Es. 2.8O) Due impulsi traslati

Passo 1: si riconoscono gli impulsi. $x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-5D}{D}\right)$ vale $1$ per $\lvert t-5D\rvert<\frac D2$: durata $D$, centro $5D$, estensione $[\frac92D,\frac{11}2D]$. $y(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t+3D}{2D}\right)$ vale $1$ per $\lvert t+3D\rvert<D$: durata $2D$, centro $-3D$, estensione $[-4D,-2D]$. Estensione del risultato: $[\frac92D-4D,\ \frac{11}2D-2D]=[\frac D2,\frac72D]$.

Passo 2: si centrano. Sono i segnali non traslati $x_0(t)=\operatorname{rect}\left(\frac tD\right)$ e $y_0(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$ traslati di $5D$ e di $-3D$. La convoluzione di segnali traslati è la convoluzione dei segnali centrati, traslata della somma delle traslazioni (Esercizio - proprietà della convoluzione, 2.8G e 2.8M): $$x*y(t)=(x_0*y_0)\big(t-(5D-3D)\big)=(x_0*y_0)(t-2D).$$

Passo 3: si usa l'Esempio 2.8A. L'esempio ha un impulso di durata $4D'$ e uno di durata $2D'$ (con $D'$ al posto di $D$). Qui le durate sono $2D$ e $D$: corrispondono a $4D'=2D$ e $2D'=D$, quindi $D'=\frac D2$, e $A_1=A_2=1$. Il risultato dell'esempio con $D'=\frac D2$ è un trapezio isoscele centrato in $0$, di estensione $[-3D',3D']=[-\frac32D,\frac32D]$, parte piatta per $\lvert t\rvert<D'=\frac D2$ con altezza $2D'A_1A_2=D$ e fianchi di pendenza $\pm1$: $$x_0*y_0(t)=\begin{cases}0&\lvert t\rvert>\frac32D\\ \frac32D-\lvert t\rvert&\frac D2<\lvert t\rvert<\frac32D\\ D&\lvert t\rvert<\frac D2\end{cases}$$ (Si ottiene lo stesso con l'Es. 2.8L: $D_1=D$, $D_2=\frac D2$: altezza $2D_2=D$, $D_1+D_2=\frac32D$, $D_1-D_2=\frac D2$ ✓.)

Passo 4: si trasla di $2D$. $$\boxed{x*y(t)=\begin{cases}0&t<\frac D2\ \text{ e }\ t>\frac72D\\ t-\frac D2&\frac D2<t<\frac32D\\ D&\frac32D<t<\frac52D\\ \frac72D-t&\frac52D<t<\frac72D\end{cases}}$$ Un trapezio con base maggiore da $\frac D2$ a $\frac72D$, parte piatta da $\frac32D$ a $\frac52D$ di altezza $D$. Con $D=1$ si può scrivere $\max\big(0,\min(1,\,t-\tfrac12,\,\tfrac72-t)\big)$.

Controllo con l'area: $\text{area}(x)=D$, $\text{area}(y)=2D$, prodotto $2D^2$; area del trapezio: $\frac{3D+D}{2}\cdot D=2D^2$ ✓. Numeri ($D=1$): $t=0\to0$; $t=1\to0{,}5$; $t=1{,}5,\,2,\,2{,}5\to1$; $t=3\to0{,}5$; $t=4\to0$ (somma di Riemann numerica identica).

(Esempio 2.8B) Impulso rettangolare e gradino

Regola generale. Convolvere con il gradino significa integrare: $x*\mathbf 1(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,\mathbf 1(t-u)\,du=\int_{-\infty}^{t}x(u)\,du$, perché $\mathbf 1(t-u)=1$ se $u<t$ e $0$ se $u>t$ (in $u=t$ vale $\frac12$ ma un punto non conta).

Con $x=A\operatorname{rect}\left(\frac t{2D}\right)$ (vale $A$ su $(-D,D)$, $0$ fuori; $e[x*\mathbf 1]=[-D,+\infty)$):

• $t<-D$: l'integrale da $-\infty$ a $t$ è su una zona dove $x=0$: $s(t)=0$.
• $-D<t<D$: $s(t)=\int_{-D}^{t}A\,du=A\,(t+D)$ (cresce linearmente da $0$ a $2AD$).
• $t>D$: $s(t)=\int_{-D}^{D}A\,du=2AD$ (costante, tutta l'area dell'impulso). $$x*\mathbf 1(t)=\begin{cases}0&t<-D\\ A\,(t+D)&-D<t<D\\ 2AD&t>D\end{cases}$$ Un gradino "addolcito": parte come un gradino ma con un raccordo lineare tra $-D$ e $D$. Il valore finale $2AD$ è l'area dell'impulso, come previsto (il gradino ha "area unitaria" a destra). Si verifica anche che la derivata del risultato è $x$ (Esercizio - proprietà della convoluzione, 2.8B): pendenza $A$ su $(-D,D)$ e $0$ fuori. Numeri ($A=1$, $D=1$): $t=-1{,}5\to0$; $t=-0{,}5\to0{,}5$; $t=0\to1$; $t=0{,}5\to1{,}5$; $t=1,\,3\to2$.

Controllo

import numpy as np

rect = lambda x: np.where(np.abs(x) < 0.5, 1.0, np.where(np.abs(x) == 0.5, 0.5, 0.0))
du = 1e-3
u = np.arange(-12, 12, du)
conv = lambda x, y, t: np.sum(x(u) * y(t - u)) * du          # somma di Riemann dell'integrale di convoluzione

def formula(t, A1, D1, A2, D2):                                # Es. 2.8L (trapezio), vale anche per Esempio 2.8A
    if D1 < D2:
        D1, D2 = D2, D1
    a = abs(t)
    return A1*A2 * (2*D2 if a <= D1 - D2 else max(0.0, D1 + D2 - a))

# Esempio 2.8A con D = 1, A1 = 2, A2 = 3
x = lambda t: 2*rect(t/4); y = lambda t: 3*rect(t/2)
for t in (-3.5, -2.5, -1, 0, 0.7, 2, 3):
    print(t, round(conv(x, y, t), 3), formula(t, 2, 2, 3, 1))

# Es. 2.8L: D1 = 3, D2 = 1, A1 = 2, A2 = 0.5, poi D1 = D2 = 2
x = lambda t: 2*rect(t/6); y = lambda t: 0.5*rect(t/2)
for t in (0, 1.5, 2, 3, 3.9, 5):
    print(t, round(conv(x, y, t), 3), formula(t, 2, 3, 0.5, 1))
x = lambda t: rect(t/4)
for t in (0, 1, 2, 3.5):
    print(t, round(conv(x, x, t), 3), formula(t, 1, 2, 1, 2))

# Es. 2.8O con D = 1
x = lambda t: rect(t - 5); y = lambda t: rect((t + 3)/2)
trap = lambda t: max(0.0, min(1.0, t - 0.5, 3.5 - t))
for t in (0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4):
    print(t, round(conv(x, y, t), 3), trap(t))

# Esempio 2.8B con A = 1, D = 1: rect(t/2) * gradino
x = lambda t: rect(t/2); g = lambda t: np.where(t > 0, 1.0, np.where(t == 0, 0.5, 0.0))
for t in (-1.5, -0.5, 0, 0.5, 1, 3):
    print(t, round(conv(x, g, t), 3), min(2, max(0, t + 1)))

In tutti i casi la colonna calcolata con la somma di Riemann coincide con la formula (le due colonne dei risultati sono uguali, all'arrotondamento a tre decimali).