Esercizio - coefficienti di Fourier di un triangolo periodico e forma trigonometrica

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 3.1B, 3.1C, 3.1F).

• Es. 3.1B. Provare che i coefficienti di Fourier hanno le stesse dimensioni del segnale: se $s(t)$ è una tensione in volt, anche i coefficienti $S_n$ si esprimono in volt.
• Es. 3.1C. Partendo dalla forma esponenziale della serie di Fourier e supponendo il segnale reale, ricavare la forma in coseni e seni $s(t)=A_0+\sum_{n\ge1}A_n\cos(2\pi nFt+\varphi_n)$.
• Es. 3.1F. Calcolare il valor medio, la potenza e i coefficienti di Fourier del segnale $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}\left[\operatorname{rect}\left(\frac t{T_0}\right)A_0\left(1-\frac{|t|}{T_0}\right)\right]$, supponendo $T_0<T_p$.

Teoria usata: Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →.

Convenzioni: periodo $T_p$, frequenza fondamentale $F=\frac1{T_p}$, serie $s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}S_n\,e^{i2\pi nFt}$ con coefficienti $$S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)\,e^{-i2\pi nFt}\,dt,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Es. 3.1B - le dimensioni dei coefficienti

Idea. Una formula fisica è corretta solo se i due membri hanno la stessa unità di misura. Scriviamo l'unità di ogni fattore della formula di $S_n$.

Sia $[s]$ l'unità del segnale (qui il volt, V) e $[t]$ quella del tempo (il secondo, s). Nella formula di $S_n$ compaiono:

• $\frac1{T_p}$: l'inverso di un tempo, quindi $\frac1{[t]}$;
• $s(t)$: ha unità $[s]$;
• $e^{-i2\pi nFt}$: è l'esponenziale di un angolo. L'argomento $2\pi nFt$ è un numero puro, perché $F$ è in $\text{s}^{-1}$ e $t$ in s, quindi $F\,t$ non ha unità. Un esponenziale complesso di modulo $1$ è adimensionale;
• $dt$: ha unità $[t]$ (l'integrale è una somma di prodotti "valore per intervallino di tempo").

Mettendo tutto insieme: $$[S_n]=\frac1{[t]}\cdot[s]\cdot 1\cdot[t]=[s].$$ Il tempo del $dt$ si semplifica con il tempo del $\frac1{T_p}$: i coefficienti sono in volt come il segnale. Dunque se $s(t)$ è una tensione, $S_n$ è una tensione.

Perché è sensato. $S_0=\frac1{T_p}\int_{T_p}s\,dt$ è il valor medio, e il valor medio di una tensione è una tensione. Un'ulteriore conferma: la serie $s(t)=\sum S_ne^{i2\pi nFt}$ somma i coefficienti moltiplicati per numeri puri, quindi i termini della somma hanno le unità di $S_n$ e il risultato quelle di $s$: la formula è coerente solo se $[S_n]=[s]$. Anche la potenza $P=\sum|S_n|^2$ ha le unità giuste, $\text{V}^2$.

Esempio. $s(t)=3\ \text{V}$ costante: $S_0=\frac1{T_p}\int_0^{T_p}3\,dt=3\ \text{V}$ e $S_n=0$ per $n\ne0$.

Es. 3.1C - dalla forma esponenziale a quella in coseni e seni

Ipotesi. $s(t)$ è reale. Allora i coefficienti hanno simmetria hermitiana (Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →): $S_{-n}=S_n^*$. Lo si dimostra subito: $$S_{-n}=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)\,e^{+i2\pi nFt}dt=\left[\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)^*\,e^{-i2\pi nFt}dt\right]^*=S_n^*,$$ dove si è usato $s^*=s$ (segnale reale): coniugare l'integrale coniuga integrando e esponenziale.

Passo 1: accoppiare $n$ e $-n$. Nella serie esponenziale separiamo il termine $n=0$ dai termini con $n\ge1$ e da quelli con $n\le-1$ (che riscriviamo con $n\to-n$): $$s(t)=S_0+\sum_{n=1}^\infty\left[S_n\,e^{i2\pi nFt}+S_{-n}\,e^{-i2\pi nFt}\right]=S_0+\sum_{n=1}^\infty\left[S_n\,e^{i2\pi nFt}+S_n^*\,e^{-i2\pi nFt}\right].$$ Nella parentesi c'è un numero complesso più il suo coniugato, perché $\left(S_ne^{i2\pi nFt}\right)^*=S_n^*e^{-i2\pi nFt}$. Un numero più il suo coniugato è il doppio della parte reale: $$s(t)=S_0+2\sum_{n=1}^\infty\operatorname{Re}\left\{S_n\,e^{i2\pi nFt}\right\}.$$ Questa è anche la prova che $S_0$ è reale (per $n=0$ la simmetria dice $S_0=S_0^*$): il segnale reale ha valor medio reale.

Passo 2: forma in seni e coseni. Scriviamo $S_n=R_n+iX_n$ (parte reale e coefficiente dell'immaginario). Per Eulero $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ con $\theta=2\pi nFt$: $$S_ne^{i\theta}=(R_n+iX_n)(\cos\theta+i\sin\theta)=(R_n\cos\theta-X_n\sin\theta)+i(R_n\sin\theta+X_n\cos\theta).$$ Parte reale: $R_n\cos\theta-X_n\sin\theta$. Quindi $$\boxed{s(t)=R_0+2\sum_{n=1}^\infty\left[R_n\cos 2\pi nFt-X_n\sin2\pi nFt\right].}$$

Passo 3: forma in soli coseni (3.19). Scriviamo $S_n$ in forma polare, $S_n=|S_n|\,e^{i\varphi_n}$ con $\varphi_n=\arg S_n$. Allora $$\operatorname{Re}\left\{|S_n|e^{i\varphi_n}e^{i\theta}\right\}=|S_n|\cos(\theta+\varphi_n),$$ perché la parte reale di $e^{i(\theta+\varphi_n)}$ è il coseno dell'angolo totale. Ponendo $$A_0=S_0,\qquad A_n=2|S_n|,\qquad\varphi_n=\arg S_n\quad(n\ge1)$$ si ottiene $$\boxed{s(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(2\pi nFt+\varphi_n).}$$ Il fattore $2$ in $A_n$ viene dall'aver riunito le due frequenze $\pm nF$ in una sola componente a frequenza positiva $nF$ (l'armonica $n$-esima); $A_0=S_0$ non ha il fattore $2$ perché il termine $n=0$ non ha un "gemello".

Passaggio da una forma all'altra. Confrontando le due scritture, $A_n\cos(\theta+\varphi_n)=A_n\cos\varphi_n\cos\theta-A_n\sin\varphi_n\sin\theta$, quindi $$A_n\cos\varphi_n=2R_n,\qquad A_n\sin\varphi_n=2X_n,$$ cioè $A_n=2\sqrt{R_n^2+X_n^2}=2|S_n|$ e $\varphi_n=\operatorname{atan2}(X_n,R_n)$.

Esempio numerico. Sia $F=1$ Hz, $S_0=2$, $S_{\pm1}=3\pm4i$ (con $S_{-1}=S_1^*$), $S_{\pm2}=\mp i$ e tutti gli altri nulli. Allora $R_1=3$, $X_1=4$, $R_2=0$, $X_2=-1$.

• Forma in seni e coseni: $s(t)=2+2[3\cos2\pi t-4\sin2\pi t]+2[0-(-1)\sin4\pi t]=2+6\cos2\pi t-8\sin2\pi t+2\sin4\pi t$.
• Forma in soli coseni: $A_0=2$; $A_1=2\sqrt{3^2+4^2}=10$, $\varphi_1=\arctan\frac43\approx0{,}9273$ rad; $A_2=2\cdot1=2$, $\varphi_2=\arg(-i)=-\frac\pi2$. Quindi $$s(t)=2+10\cos(2\pi t+0{,}9273)+2\cos\left(4\pi t-\tfrac\pi2\right).$$ Controllo del primo coseno: $10\cos(2\pi t+0{,}9273)=10\cos0{,}9273\cos2\pi t-10\sin0{,}9273\sin2\pi t=6\cos2\pi t-8\sin2\pi t$, perché $\cos0{,}9273=0{,}6$ e $\sin0{,}9273=0{,}8$. Il secondo: $2\cos(4\pi t-\frac\pi2)=2\sin4\pi t$. Le due forme coincidono.

Es. 3.1F - triangolo (troncato) periodico: media, potenza e coefficienti

Il segnale

Il fattore $\operatorname{rect}\left(\frac t{T_0}\right)$ vale $1$ per $|t|<\frac{T_0}2$ (e $\frac12$ in $\pm\frac{T_0}2$, regola dell'emivalore) e $0$ fuori. Il fattore $A_0\left(1-\frac{|t|}{T_0}\right)$ è un triangolo di altezza $A_0$ e semi-base $T_0$ ($\operatorname{tri}(x)=1-|x|$ per $|x|<1$). Il prodotto, quindi, prende solo la metà centrale del triangolo: l'impulso vale $A_0$ in $t=0$, scende linearmente fino a $A_0/2$ in $\pm\frac{T_0}2$ e poi cade a $0$ con un salto. Ha durata $T_0$. Il segnale è la ripetizione periodica di questo impulso con periodo $T_p$. La condizione $T_0<T_p$ serve a evitare che gli impulsi ripetuti si sovrappongano (la durata deve stare nel periodo).

Numeri usati nei controlli: $A_0=2$ V, $T_0=1$ ms, $T_p=4$ ms, quindi $F=\frac1{T_p}=250$ Hz e il ciclo utile $d=\frac{T_0}{T_p}=\frac14$.

Poiché $s(t)$ è reale e pari, ci aspettiamo coefficienti $S_n$ reali e pari in $n$ (vedi Esercizio - serie di Fourier di segnali pari e con simmetria di mezzo periodo).

Valor medio

Il valor medio su un periodo è $S_0$. Si integra su $\left[-\frac{T_p}2,\frac{T_p}2\right]$, dove $s$ è non nullo solo per $|t|<\frac{T_0}2$ e il segnale è pari, quindi si raddoppia l'integrale su $\left[0,\frac{T_0}2\right]$: $$S_0=m_s=\frac1{T_p}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}A_0\left(1-\frac{|t|}{T_0}\right)dt=\frac{2A_0}{T_p}\int_0^{T_0/2}\left(1-\frac t{T_0}\right)dt=\frac{2A_0}{T_p}\left[\frac{T_0}2-\frac{(T_0/2)^2}{2T_0}\right]=\frac{2A_0}{T_p}\cdot\frac{3T_0}8.$$ $$\boxed{S_0=m_s=\frac{3A_0T_0}{4T_p}=\frac34A_0\,d.}$$ Interpretazione geometrica: l'impulso è un trapezio di base $T_0$ e altezze $A_0$ e $\frac{A_0}2$, la cui area è $T_0\cdot\frac{A_0+A_0/2}{2}=\frac34A_0T_0$; il valor medio è l'area di un periodo divisa per $T_p$. Numeri: $S_0=\frac{3\cdot2\cdot1}{4\cdot4}=0{,}375$ V.

Potenza

La potenza media su un periodo è $P_s=\frac1{T_p}\int_{T_p}|s(t)|^2dt$. Con il cambio di variabile $u=\frac t{T_0}$ ($dt=T_0\,du$): $$P_s=\frac{2A_0^2}{T_p}\int_0^{T_0/2}\left(1-\frac t{T_0}\right)^2dt=\frac{2A_0^2T_0}{T_p}\int_0^{1/2}(1-u)^2du=\frac{2A_0^2T_0}{T_p}\cdot\left[-\frac{(1-u)^3}{3}\right]_0^{1/2}.$$ Il valore dell'integrale: $-\frac{(1/2)^3}3+\frac13=\frac13\cdot\frac78=\frac7{24}$. Quindi $$\boxed{P_s=\frac{2A_0^2T_0}{T_p}\cdot\frac7{24}=\frac{7A_0^2T_0}{12T_p}=\frac7{12}A_0^2\,d.}$$ Numeri: $P_s=\frac{7\cdot4\cdot1}{12\cdot4}=\frac7{12}\approx0{,}5833\ \text{V}^2$ (verificato anche per integrazione numerica).

Coefficienti di Fourier

$$S_n=\frac1{T_p}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}A_0\left(1-\frac{|t|}{T_0}\right)e^{-i2\pi nFt}dt.$$ Poniamo $a=2\pi nF$ e usiamo $e^{-iat}=\cos at-i\sin at$. Il segnale è pari, quindi il termine con $\sin at$ (dispari) ha integrale nullo sull'intervallo simmetrico, mentre il termine con il coseno è pari e si raddoppia: $$S_n=\frac{2A_0}{T_p}\,I_n,\qquad I_n=\int_0^{T_0/2}\left(1-\frac t{T_0}\right)\cos(at)\,dt\qquad(n\ne0).$$

Integrazione per parti (Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$). Scegliamo $u=1-\frac t{T_0}$ (si semplifica derivando: $du=-\frac{dt}{T_0}$) e $dv=\cos(at)\,dt$ (si integra facilmente: $v=\frac{\sin at}a$): $$I_n=\left[\left(1-\frac t{T_0}\right)\frac{\sin at}a\right]_0^{T_0/2}+\frac1{aT_0}\int_0^{T_0/2}\sin(at)\,dt.$$

• Il termine tra parentesi quadre: in $t=\frac{T_0}2$ vale $\frac12\cdot\frac{\sin(aT_0/2)}a$; in $t=0$ vale $0$ (c'è $\sin0=0$). Quindi dà $\frac{\sin(aT_0/2)}{2a}$.
• L'integrale restante: $\int_0^{T_0/2}\sin at\,dt=\frac{1-\cos(aT_0/2)}a$. Quindi dà $\frac{1-\cos(aT_0/2)}{aT_0\,a}=\frac{1-\cos(aT_0/2)}{T_0\,a^2}$.

Introduciamo l'angolo $\theta=\frac{aT_0}2=\pi nFT_0=\pi n d$, così $a=\frac{2\theta}{T_0}$: $$I_n=\frac{T_0\sin\theta}{4\theta}+\frac{T_0(1-\cos\theta)}{4\theta^2}=\frac{T_0}4\left[\frac{\sin\theta}{\theta}+\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\right].$$ Ora $\frac{\sin\theta}\theta=\operatorname{sinc}(nd)$ (perché $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}$ e $\theta=\pi nd$). Per il secondo termine si usa $1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2$: $$\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\frac{2\sin^2(\theta/2)}{\theta^2}=\frac12\left[\frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2}\right]^2=\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac{nd}2\right).$$ Moltiplicando per $\frac{2A_0}{T_p}$ e ricordando $\frac{T_0}{T_p}=d$: $$\boxed{S_n=\frac{A_0d}2\left[\operatorname{sinc}(nd)+\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac{nd}2\right)\right]}\qquad n\in\mathbb Z.$$ La formula vale anche per $n=0$ per continuità: $\operatorname{sinc}(0)=1$ dà $S_0=\frac{A_0d}2\cdot\frac32=\frac34A_0d$, uguale al valor medio trovato prima (ottima verifica). I $S_n$ sono reali e pari in $n$, come previsto.

Lettura della formula. Si può scrivere $A_0\left(1-\frac{|t|}{T_0}\right)=\frac{A_0}2+\frac{A_0}2\left(1-\frac{2|t|}{T_0}\right)$ per $|t|<\frac{T_0}2$: il segnale è la somma di un rettangolo di altezza $\frac{A_0}2$ e durata $T_0$ (coefficienti $\frac{A_0}2d\operatorname{sinc}(nd)$, esempio 3.1F del testo) e di un triangolo di altezza $\frac{A_0}2$ e semi-base $\frac{T_0}2$ (coefficienti $\frac{A_0}2\cdot\frac d2\operatorname{sinc}^2\left(\frac{nd}2\right)$). I due termini della formula sono esattamente questi.

Osservazione (triangolo intero). Se il fattore $\operatorname{rect}$ fosse $\operatorname{rect}\left(\frac t{2T_0}\right)$, l'impulso sarebbe il triangolo intero di altezza $A_0$ e semi-base $T_0$ (serve $T_0<\frac{T_p}2$) e, con lo stesso calcolo per parti su $[0,T_0]$, si troverebbe $S_n=A_0d\operatorname{sinc}^2(nd)$ con $d=\frac{T_0}{T_p}$, $S_0=A_0d$, $P_s=\frac23A_0^2d$. Qui si è seguito il testo alla lettera, $\operatorname{rect}\left(\frac t{T_0}\right)$, per il quale la condizione di non sovrapposizione degli impulsi è proprio $T_0<T_p$ (con il triangolo intero servirebbe $T_0<\frac{T_p}2$).

Numeri. Con $A_0=2$, $d=\frac14$: $S_n=0{,}25\left[\operatorname{sinc}\frac n4+\frac12\operatorname{sinc}^2\frac n8\right]$.

Per $n=8$: $\operatorname{sinc}(2)=0$ e $\operatorname{sinc}(1)=0$: entrambi i termini si annullano. Per $n=5$ il valore è negativo, perché $\operatorname{sinc}\frac54<0$ ($\sin\frac{5\pi}4<0$).

Forma trigonometrica del risultato

Il segnale è reale, quindi per l'Es. 3.1C si ha $s(t)=S_0+2\sum_{n\ge1}S_n\cos2\pi nFt$ (i $S_n$ sono reali: $X_n=0$, $A_n=2|S_n|$, $\varphi_n=0$ se $S_n>0$ e $\varphi_n=\pi$ se $S_n<0$). Con i numeri: $$s(t)=0{,}375+0{,}6876\cos(2\pi\,250\,t)+0{,}5210\cos(2\pi\,500\,t)+0{,}3038\cos(2\pi\,750\,t)+0{,}1013\cos(2\pi\,1000\,t)-0{,}0347\cos(2\pi\,1250\,t)+\cdots$$ (tensioni in volt, con $A_n=2S_n$; ad esempio $A_1=0{,}6876$ V).

Controllo

Il codice Python seguente calcola $S_n$ per integrazione numerica e li confronta con la formula, poi verifica la potenza (con Parseval, $P_s=\sum|S_n|^2$) e ricostruisce il segnale con la serie.

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

A0, T0, Tp = 2.0, 1.0, 4.0
F, d = 1 / Tp, T0 / Tp
s = lambda t: A0 * (1 - abs(t) / T0)          # solo per |t| < T0/2

def Sn_num(n):                                 # integrale della definizione (solo parte coseno: s è pari)
    return quad(lambda t: s(t) * np.cos(2*np.pi*n*F*t), -T0/2, T0/2)[0] / Tp

Sn = lambda n: A0*d/2 * (np.sinc(n*d) + 0.5*np.sinc(n*d/2)**2)   # formula trovata (np.sinc è sin(pi x)/(pi x))
for n in range(6):
    print(n, Sn_num(n), Sn(n))                 # coincidono a 1e-15

P_tempo = quad(lambda t: s(t)**2, -T0/2, T0/2)[0] / Tp
n = np.arange(-200000, 200001)
P_serie = np.sum(Sn(n)**2)
print(P_tempo, 7/12, P_serie)                  # 0.58333 0.58333 0.583333

for t in [0, 0.25, 0.5, 0.75, 2.0]:            # somma della serie con 20000 armoniche
    k = np.arange(1, 20001)
    print(t, Sn(0) + 2*np.sum(Sn(k)*np.cos(2*np.pi*k*F*t)))

Risultati ottenuti eseguendolo:

• I $S_n$ numerici e quelli della formula coincidono (differenze dell'ordine di $10^{-16}$).
• Potenza: dal tempo $\frac7{12}=0{,}58333$, dalla serie (Parseval) $0{,}583333$: coincidono. Le somme parziali $\sum_{|n|\le N}|S_n|^2$ crescono verso questo valore: $0{,}5646$ per $N=5$, $0{,}5738$ per $N=10$, $0{,}5784$ per $N=20$. Convergono lentamente perché i $S_n$ decadono come $\frac1n$ (il salto sui bordi del segnale).
• Serie: la somma dà $s(0)\approx1{,}99992$ (valore atteso $2$), $s(0{,}25)\approx1{,}49995$ (atteso $A_0\left(1-\frac14\right)=1{,}5$), $s(0{,}5)\approx0{,}50001$ (atteso $\frac12$: l'emivalore del salto da $1$ a $0$ in $t=\frac{T_0}2$, come prevede il teorema sulla convergenza di Fourier nei punti di discontinuità) e $s(0{,}75)\approx s(2)\approx 0$, nella parte dove il segnale è nullo.