Esercizio - simmetrie di segnali pari, dispari e hermitiani

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.2B, 2.2C, 2.2F, 2.2J).

• 2.2B. Dire di quali simmetrie godono il modulo e la fase di un segnale pari e di un segnale dispari.
• 2.2C. Dimostrare che per un segnale $s(t)$ dispari deve essere $s(0)=0$.
• 2.2F. Dimostrare che il prodotto di un segnale pari e di uno dispari è dispari.
• 2.2J. Dimostrare che un segnale con simmetria hermitiana ha modulo pari e argomento (fase) dispari.

Teoria usata: Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →.

Le definizioni (da avere sotto gli occhi)

Per un segnale $s(t)$, $t\in\mathbb R$, a valori complessi:

• pari se $s(-t)=s(t)$ per ogni $t$ (simmetrico rispetto all'asse verticale);
• dispari se $s(-t)=-s(t)$ per ogni $t$ (simmetrico rispetto all'origine);
• hermitiano se $s(-t)=s^*(t)$, dove $^*$ è il complesso coniugato. Scrivendo $s=s_r+i\,s_i$ (parte reale e parte immaginaria) significa $s_r(-t)+i\,s_i(-t)=s_r(t)-i\,s_i(t)$, cioè parte reale pari e parte immaginaria dispari. Per un segnale reale ($s_i=0$) hermitiano e pari sono la stessa cosa.

Due esempi che useremo sempre:

• $a(t)=e^{i\pi t^2}$: poiché $(-t)^2=t^2$, vale $a(-t)=a(t)$, quindi è pari. Non è hermitiano: servirebbe $a(-t)=a^*(t)=e^{-i\pi t^2}$, cioè $e^{i\pi t^2}=e^{-i\pi t^2}$, falso (per $t=\frac12$ il primo vale $e^{i\pi/4}$ e il secondo $e^{-i\pi/4}$).
• $h(t)=\dfrac{1}{1+it}=\dfrac{1-it}{1+t^2}$ (parte reale $\frac{1}{1+t^2}$ pari, parte immaginaria $\frac{-t}{1+t^2}$ dispari): $h(-t)=\dfrac{1}{1-it}=\left(\dfrac{1}{1+it}\right)^*=h^*(t)$, quindi è hermitiano (non è né pari né dispari).

Ricordare sempre: la fase esiste solo dove $s(t)\neq0$, e si prende nel valore principale $(-\pi,\pi]$ (Esercizio - modulo e fase di segnali complessi).

(Es. 2.2B) Modulo e fase di un segnale pari e di uno dispari

Segnale pari. Poiché $s(-t)$ e $s(t)$ sono lo stesso numero complesso, hanno lo stesso modulo e lo stesso angolo: $$\lvert s(-t)\rvert=\lvert s(t)\rvert,\qquad \varphi_s(-t)=\varphi_s(t).$$ Modulo pari e fase pari. (Il valore principale è una funzione del numero complesso, quindi su due numeri uguali dà lo stesso valore.)

Segnale dispari.

• Modulo. $\lvert s(-t)\rvert=\lvert-s(t)\rvert=\lvert-1\rvert\,\lvert s(t)\rvert=\lvert s(t)\rvert$: modulo pari.
• Fase. Cambiare segno a un numero complesso equivale a ruotarlo di un angolo piatto, perché $-1=e^{i\pi}$: $s(-t)=-s(t)=e^{i\pi}\lvert s(t)\rvert e^{i\varphi_s(t)}=\lvert s(t)\rvert e^{i(\varphi_s(t)+\pi)}$. Quindi $$\varphi_s(-t)\equiv\varphi_s(t)+\pi\pmod{2\pi}.$$ In valore principale: $\varphi_s(-t)=\varphi_s(t)+\pi$ se $\varphi_s(t)\le0$, e $\varphi_s(-t)=\varphi_s(t)-\pi$ se $\varphi_s(t)>0$ (per restare in $(-\pi,\pi]$). La fase di un segnale dispari non è né pari né dispari in generale: i valori in $t$ e in $-t$ differiscono di $\pi$.

Esempio numerico. $s(t)=(1+i)\,t$ è dispari. In $t=0{,}5$ vale $0{,}5+0{,}5i$: modulo $\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}7071$, fase $\frac{\pi}{4}$. In $t=-0{,}5$ vale $-0{,}5-0{,}5i$: modulo $0{,}7071$ (uguale, pari ✓), fase $-\frac{3\pi}{4}=\frac\pi4-\pi$ (differisce di $\pi$ ✓). Se la fase fosse dispari avrebbe dovuto valere $-\frac\pi4$: è falso.

Il caso di $e^{i\pi t^2}$ (pari): modulo $1$ pari e fase $\pi t^2$ pari ✓, come dice la regola. Per $t=0{,}8$ e $t=-0{,}8$ il segnale vale lo stesso numero $-0{,}4258+0{,}9048i$ e la fase vale lo stesso $0{,}64\pi\approx2{,}0106$.

(Es. 2.2C) Un segnale dispari vale zero nell'origine

Dimostrazione. La definizione $s(-t)=-s(t)$ vale per ogni $t$, quindi anche per $t=0$: $$s(-0)=-s(0)\ \Longrightarrow\ s(0)=-s(0)\ \Longrightarrow\ 2\,s(0)=0\ \Longrightarrow\ s(0)=0.$$ (Il segnale è complesso, ma il ragionamento non cambia: si usa solo che $-0=0$.)

Conseguenze utili.

• Se un segnale ha $s(0)\neq0$ non può essere dispari: $\cos0=1$, la costante $1$, il gradino ($\mathbf 1(0)=\frac12$).
• Cosa succede con una discontinuità in $0$? Il segno $\operatorname{sgn}(t)$ vale $1$ per $t>0$ e $-1$ per $t<0$: se lo si definisse in $0$ con un valore qualunque diverso da $0$ non sarebbe dispari. La regola dell'emivalore delle dispense lo evita da sola: in un punto di discontinuità il segnale vale la media dei limiti, $s(0)=\frac12[s(0^-)+s(0^+)]=\frac12[-1+1]=0$ ✓. In generale, per un segnale dispari i due limiti sono opposti ($s(0^-)=-s(0^+)$), quindi la media è sempre $0$.
• Esempi che vanno a $0$ nell'origine: $\sin(2\pi t)$, $t\,e^{-\pi t^2}$, $\operatorname{sgn}(t)$.

(Es. 2.2F) Pari per dispari è dispari

Dimostrazione. Sia $p(t)$ pari ($p(-t)=p(t)$), $d(t)$ dispari ($d(-t)=-d(t)$) e sia $q(t)=p(t)\,d(t)$. Si calcola $q$ in $-t$ e si usano le due definizioni, una per fattore: $$q(-t)=p(-t)\,d(-t)=p(t)\cdot\big(-d(t)\big)=-\,p(t)d(t)=-q(t).$$ Quindi $q(-t)=-q(t)$ per ogni $t$: $q$ è dispari. La dimostrazione non usa che i segnali siano reali, quindi vale anche per segnali complessi.

Regola dei segni. Con lo stesso metodo: pari$\cdot$pari = pari ($p_1(-t)p_2(-t)=p_1(t)p_2(t)$) e dispari$\cdot$dispari = pari ($(-d_1)(-d_2)=d_1d_2$). Sono le regole dei segni: pari $\leftrightarrow+$, dispari $\leftrightarrow-$.

Esempio numerico. $p(t)=e^{-\pi t^2}$ (gaussiana, pari) e $d(t)=\sin2\pi t$ (dispari). In $t=0{,}3$: $p=e^{-0{,}09\pi}\approx0{,}7537$, $d=\sin(0{,}6\pi)\approx0{,}9511$, $q=0{,}7168$. In $t=-0{,}3$: $p$ ancora $0{,}7537$, $d=-0{,}9511$, $q=-0{,}7168$ ✓.

A cosa serve. L'area (valore principale) di un segnale dispari è zero, perché i due lobi si compensano: $\int_{-T}^{T}q=\int_{-T}^{0}q+\int_0^Tq=-\int_0^Tq+\int_0^Tq=0$ (si cambia variabile $t\to-t$ nel primo integrale). Dunque $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi t^2}\sin(2\pi t)\,dt=0$ senza calcolare nulla. Vedi Esercizio - area ed energia di un segnale e cambio di scala per la gaussiana.

(Es. 2.2J) Segnale hermitiano: modulo pari e fase dispari

Ipotesi: $s(-t)=s^*(t)$ per ogni $t$. Scriviamo $s(t)=\lvert s(t)\rvert e^{i\varphi(t)}$ e consideriamo solo i $t$ con $s(t)\neq0$ (dove $s(t)=0$ anche $s(-t)=0^*=0$, e la fase non esiste).

Modulo. Il complesso coniugato non cambia il modulo ($\lvert z^*\rvert=\lvert z\rvert$, perché $z^*$ è il simmetrico di $z$ rispetto all'asse reale): $$\lvert s(-t)\rvert=\lvert s^*(t)\rvert=\lvert s(t)\rvert\ \Longrightarrow\ \text{modulo pari.}$$

Fase. Scriviamo le due espressioni di $s(-t)$:

• direttamente: $s(-t)=\lvert s(-t)\rvert e^{i\varphi(-t)}=\lvert s(t)\rvert e^{i\varphi(-t)}$ (modulo pari, appena dimostrato);
• dalla simmetria: $s(-t)=s^*(t)=\big(\lvert s(t)\rvert e^{i\varphi(t)}\big)^*=\lvert s(t)\rvert e^{-i\varphi(t)}$ (il coniugato cambia segno all'esponente immaginario).

Uguagliando e semplificando il fattore $\lvert s(t)\rvert\neq0$: $e^{i\varphi(-t)}=e^{-i\varphi(t)}$, cioè $$\varphi(-t)\equiv-\varphi(t)\pmod{2\pi}:\qquad\textbf{fase dispari.}$$

Un dettaglio sul valore principale. Se $\varphi(t)=\pi$, l'angolo $-\pi$ non è nell'intervallo $(-\pi,\pi]$ e si deve scrivere $\varphi(-t)=\pi$ (che è $\equiv-\pi$). Esempio: il segnale costante $s(t)=-1$ è hermitiano ($s(-t)=-1=s^*(t)$), ha fase principale $\pi$ ovunque: "dispari" solo modulo $2\pi$.

Esempio numerico. $h(t)=\dfrac{1}{1+it}$. In $t=2$: $h(2)=\dfrac{1-2i}{5}=0{,}2-0{,}4i$, modulo $\frac{1}{\sqrt5}\approx0{,}4472$, fase $-\arctan2\approx-1{,}1071$. In $t=-2$: $h(-2)=0{,}2+0{,}4i=h^*(2)$ ✓, modulo $0{,}4472$ (stesso: pari ✓), fase $+1{,}1071$ (opposta: dispari ✓). Il segnale $e^{i\pi t^2}$ invece non è hermitiano: modulo e fase sono entrambi pari, e infatti la fase $\pi t^2$ non è dispari.

Complemento: parte hermitiana e antihermitiana di $e^{i\pi t^2}$ (Es. 2.2M)

Ogni segnale si scompone in $s_h(t)=\frac12[s(t)+s^*(-t)]$ (hermitiana) e $s_a(t)=\frac12[s(t)-s^*(-t)]$ (antihermitiana, $s_a(-t)=-s_a^*(t)$). Per $a(t)=e^{i\pi t^2}$: $a^*(-t)=e^{-i\pi t^2}$, quindi $$a_h(t)=\tfrac12\big(e^{i\pi t^2}+e^{-i\pi t^2}\big)=\cos\pi t^2,\qquad a_a(t)=\tfrac12\big(e^{i\pi t^2}-e^{-i\pi t^2}\big)=i\sin\pi t^2$$ (la parte pari di $a$ è $a$ stesso e quella dispari è $0$). Controllo in $t=0{,}7$: $\cos(0{,}49\pi)=0{,}031411$ e $\sin(0{,}49\pi)=0{,}999507$.

Controllo

import numpy as np

a = lambda t: np.exp(1j*np.pi*t**2)      # pari
h = lambda t: 1/(1 + 1j*t)               # hermitiano
d = lambda t: (1 + 1j)*t                 # dispari

# 2.2B: modulo e fase in t e -t
for nome, f, tt in (("pari a", a, 0.8), ("dispari d", d, 0.5), ("herm. h", h, 2.0)):
    print(nome, np.round([abs(f(tt)), abs(f(-tt)), np.angle(f(tt)), np.angle(f(-tt))], 4))

# 2.2C: segnali dispari nell'origine
print(d(0), np.sin(2*np.pi*0), 0*np.exp(-np.pi*0))

# 2.2F: pari * dispari
p = lambda t: np.exp(-np.pi*t**2)
s = lambda t: np.sin(2*np.pi*t)
print(p(0.3)*s(0.3), p(-0.3)*s(-0.3))
from scipy.integrate import quad
print(quad(lambda t: p(t)*s(t), -10, 10)[0])     # ~0

# 2.2J: h(-t) = conj(h(t))
print(h(2), h(-2), np.conj(h(2)))

# 2.2M: parte hermitiana e antihermitiana di e^{i pi t^2}
t = 0.7
print((a(t) + np.conj(a(-t)))/2, np.cos(np.pi*t**2))
print((a(t) - np.conj(a(-t)))/2, 1j*np.sin(np.pi*t**2))

I risultati confermano tutto: le fasi di $a$ in $0{,}8$ e $-0{,}8$ sono uguali ($2{,}0106$), quelle di $d$ in $\pm0{,}5$ valgono $0{,}7854$ e $-2{,}3562$ (differenza $\pi$), quelle di $h$ in $\pm2$ valgono $-1{,}1071$ e $1{,}1071$ (opposte); i prodotti $p\,s$ valgono $\pm0{,}7168$; l'integrale numerico di $e^{-\pi t^2}\sin2\pi t$ su $(-10,10)$ risulta $0$ entro l'errore di calcolo.