Esercizio - sinc modulato, estensione spettrale e campionamento a massima efficienza (prova scritta del 3 settembre 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 3 settembre 2025, problema 2). Considerare il segnale $$x(t)=A\,\operatorname{sinc}\left(\frac{Ft}3\right)\operatorname{sinc}\left(\frac{2Ft}3\right)e^{i\pi Ft},\qquad t\in\mathbb R,\quad A=3\ \text{V},\quad F=2\ \text{MHz}.$$

1. Determinare l'estensione spettrale e la larghezza di banda del segnale $x(t)$.
2. Determinare lo schema di campionamento $\mathbb R\to\mathbb Z(T_c)$ e successiva interpolazione che permetta la perfetta ricostruzione di $y(t)=\Re[x(t)]$ con la massima efficienza. Indicare frequenza di campionamento e risposta impulsiva del filtro interpolatore.
3. Scrivere una procedura Matlab che realizzi la ricostruzione di $y(t)$ e la sua rappresentazione grafica a partire dai suoi campioni salvati in un vettore y_c di lunghezza opportuna.

Teoria usata: Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →.

(1) Spettro, estensione spettrale e larghezza di banda

Passo 1: i due sinc. Dalla coppia $\operatorname{sinc}\left(\frac tD\right)\leftrightarrow D\operatorname{rect}(Df)$ (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →):

• $\operatorname{sinc}\left(\frac{Ft}3\right)$ ($D=\frac3F$) $\leftrightarrow\frac3F\operatorname{rect}\left(\frac{3f}F\right)$: rettangolo di altezza $\frac3F$ e larghezza $\frac F3$ (da $-\frac F6$ a $\frac F6$);
• $\operatorname{sinc}\left(\frac{2Ft}3\right)$ ($D=\frac3{2F}$) $\leftrightarrow\frac3{2F}\operatorname{rect}\left(\frac{3f}{2F}\right)$: rettangolo di altezza $\frac3{2F}$ e larghezza $\frac{2F}3$ (da $-\frac F3$ a $\frac F3$).

Passo 2: il prodotto diventa convoluzione. La trasformata di un prodotto di segnali è la convoluzione delle trasformate (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Il segnale $x_0(t)=A\operatorname{sinc}\left(\frac{Ft}3\right)\operatorname{sinc}\left(\frac{2Ft}3\right)$ (prima della modulazione) ha quindi $$X_0(f)=A\cdot\frac3F\cdot\frac3{2F}\int\operatorname{rect}\left(\frac{3u}F\right)\operatorname{rect}\left(\frac{3(f-u)}{2F}\right)du=\frac{9A}{2F^2}\,\ell(f),$$ dove $\ell(f)$ è la lunghezza dell'intersezione tra $\left(-\frac F6,\frac F6\right)$ e $\left(f-\frac F3,f+\frac F3\right)$. Ci sono due casi:

• per $|f|\le\frac F6$ il rettangolo stretto sta tutto dentro quello largo: $\ell=\frac F3$ (plateau);
• per $\frac F6\le|f|\le\frac F2$ l'intersezione si accorcia linearmente: $\ell=\frac F2-|f|$, fino a $0$ in $|f|=\frac F2$ (somma dei semi-supporti: $\frac F6+\frac F3=\frac F2$).

$X_0$ è dunque un trapezio centrato in $0$, con base $\left(-\frac F2,\frac F2\right)$, plateau $\left|f\right|\le\frac F6$ di altezza $\frac{9A}{2F^2}\cdot\frac F3=\frac{3A}{2F}$. Controllo: l'area del trapezio deve essere $x_0(0)=A$. Con base maggiore $F$, base minore $\frac F3$ e altezza $\frac{3A}{2F}$ l'area è $\frac{F+F/3}2\cdot\frac{3A}{2F}=A$ ✓.

Passo 3: la modulazione. $e^{i\pi Ft}=e^{i2\pi\frac F2t}$ sposta lo spettro di $+\frac F2$: $X(f)=X_0\left(f-\frac F2\right)$. Il trapezio ora sta tra $0$ e $F$: $$X(f)=\begin{cases}\dfrac{9A}{2F^2}\,f,&0\le f\le\dfrac F3,\\[6pt]\dfrac{3A}{2F},&\dfrac F3\le f\le\dfrac{2F}3,\\[6pt]\dfrac{9A}{2F^2}\,(F-f),&\dfrac{2F}3\le f\le F,\end{cases}\qquad X(f)=0\ \text{altrove}.$$ Con $A=3$ V e $F=2$ MHz l'altezza è $\frac{3A}{2F}=\frac9{4\cdot10^{6}}=2{,}25\ \mu$V/Hz, il plateau va da $\frac F3=0{,}667$ MHz a $\frac{2F}3=1{,}333$ MHz.

Risposta.

• Estensione spettrale (insieme in cui $X\ne0$): $\mathcal E_x=(0,F)=(0,\ 2\ \text{MHz})$.
• Larghezza di banda (misura dell'estensione): $B_x=F=2\ \text{MHz}$.

Lo spettro occupa solo frequenze positive perché il segnale è complesso (l'esponenziale $e^{i\pi Ft}$ ruota in un solo verso): è un segnale passa-banda complesso centrato in $\frac F2=1$ MHz.

(2) Schema di campionamento a massima efficienza per $y=\Re[x]$

Passo 1: spettro di $y$. La parte reale si ottiene con $y=\frac{x+\bar x}2$, quindi $Y(f)=\frac12\left[X(f)+\overline{X(-f)}\right]$ (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Qui $X$ è reale (trapezio reale), quindi $Y(f)=\frac12\left[X(f)+X(-f)\right]$. Poiché $X$ è non nullo solo per $f\in(0,F)$, i due termini non si sovrappongono: $$Y(f)=\tfrac12X(|f|),\qquad\mathcal E_y=(-F,F)\setminus\{0\}\ \text{(a meno del punto }f=0\text{, dove }X(0)=0).$$ $Y$ è un segnale reale a spettro pari, con due trapezi simmetrici di altezza $\frac{3A}{4F}=1{,}125\ \mu$V/Hz: occupa $(-F,F)$, con un solo zero puntuale in $f=0$ (non un intervallo vuoto).

Passo 2: la condizione di campionamento. Il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T_c)$ ripete lo spettro con periodo $F_c=\frac1{T_c}$: $Y_c(f)=\sum_kY(f-kF_c)$. Un interpolatore LTI può restituire $y$ (cioè $Y$) solo se le repliche non si sovrappongono su un insieme di misura positiva (Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →). Lo spettro di $y$ occupa un intervallo di lunghezza $2F$ senza buchi (lo zero in $f=0$ è un punto, non un intervallo): le repliche, distanti $F_c$, non si sovrappongono se e solo se $$F_c\ge2F=4\ \text{MHz}.$$ Non esiste uno schema più efficiente (nemmeno a campionamento "passa-banda", che richiede uno spettro con intervalli vuoti): sotto $2F$ le repliche si sovrappongono e la ricostruzione è impossibile. La massima efficienza (frequenza minima) è quindi $$\boxed{F_c=2F=4\ \text{MHz},\qquad T_c=\frac1{F_c}=0{,}25\ \mu\text{s}.}$$ Nota: campionare il segnale complesso $x$ (banda $F$) richiederebbe solo $F=2$ MHz, ma ogni campione è complesso, cioè due numeri reali: $2\cdot2=4$ milioni di numeri reali al secondo, lo stesso conto di $y$ (un campione reale ogni $0{,}25\ \mu$s). Per $y$ reale non si può scendere sotto $2F$.

Passo 3: l'interpolatore. Alla frequenza minima le repliche $Y(f-kF_c)$ si toccano nei punti $f=\pm F$, dove $Y=0$ (il trapezio arriva a zero), e restano separate: il filtro deve lasciare passare esattamente la replica centrale e bloccare le altre, quindi deve essere un passa-basso ideale di banda $|f|<\frac{F_c}2=F$ con guadagno $1$: $$G(f)=\operatorname{rect}(T_cf)=\operatorname{rect}\left(\frac f{2F}\right),\qquad g(t)=\frac1{T_c}\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)=F_c\operatorname{sinc}(F_ct)=4\cdot10^6\operatorname{sinc}\left(4\cdot10^6\,t\right)\ \text{s}^{-1}.$$ Il guadagno è $1$ (e non $T_c$ o $\frac1{T_c}$) per la convenzione del corso: con $Y_c(f)=\sum_kY(f-kF_c)$ senza fattori, $\tilde Y(f)=G(f)Y_c(f)=Y(f)$. La funzione interpolatrice è $g_0=T_cg=\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)$ e $$\tilde y(t)=\sum_ny(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right).$$

Campioni. Poiché $FT_c=\frac F{F_c}=\frac12$, $y(nT_c)=A\operatorname{sinc}\left(\frac n6\right)\operatorname{sinc}\left(\frac n3\right)\cos\left(\frac{n\pi}2\right)$ (la fase $e^{i\pi FnT_c}=e^{in\pi/2}$ ha parte reale $\cos\frac{n\pi}2$). Per $n$ dispari $\cos\frac{n\pi}2=0$ e il campione è nullo; per $n=2m$ è $A(-1)^m\operatorname{sinc}\left(\frac m3\right)\operatorname{sinc}\left(\frac{2m}3\right)$: $y(0)=3$ V, $y(\pm2T_c)=-3\cdot0{,}827\cdot0{,}414=-1{,}026$ V, $y(\pm4T_c)=-0{,}256$ V, $y(\pm6T_c)=0$ (perché $\operatorname{sinc}(1)=0$). Il fatto che i campioni dispari siano nulli è una coincidenza di fase di questo segnale (con un ritardo di campionamento diverso non lo sarebbero): l'informazione necessaria è comunque $4$ M di numeri reali al secondo.

(3) Ricostruzione in codice (Python, equivalente del Matlab)

Lunghezza del vettore. I campioni decadono come $\left|y(nT_c)\right|\le A\cdot\frac6{\pi n}\cdot\frac3{\pi n}=\frac{18A}{\pi^2n^2}$ (prodotto dei due sinc): con $2N+1=201$ campioni ($|n|\le N=100$) l'ultimo vale al più $\frac{18\cdot3}{\pi^2\cdot10^4}=0{,}55$ mV, cioè $0{,}02\,\%$ del picco ($3$ V). Il resto della serie è trascurabile e la ricostruzione è accurata a meno di qualche $\mu$V.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A, F = 3.0, 2e6
Fc = 2*F                      # frequenza di campionamento minima: 4 MHz
Tc = 1/Fc                     # periodo di campionamento: 0,25 us

N   = 100                     # n = -N..N: 2N+1 = 201 campioni
n   = np.arange(-N, N + 1)    # indici dei campioni (nT_c)
y_c = np.real(A*np.sinc(F*n*Tc/3)*np.sinc(2*F*n*Tc/3)*np.exp(1j*np.pi*F*n*Tc))  # SOLO per provare il codice:
                              # nell'esame y_c e' dato (i campioni di y(nTc))

t = np.linspace(-5e-6, 5e-6, 2001)                  # istanti dove ricostruire (s)
y = np.sinc((t[:, None] - n[None, :]*Tc) / Tc) @ y_c  # y(t) = sum_n y_c[n] sinc((t - n Tc)/Tc)

plt.plot(t*1e6, y, label="y ricostruito")
plt.plot(n*Tc*1e6, y_c, "o", label="campioni y_c")
plt.xlim(-5, 5); plt.xlabel("t (us)"); plt.ylabel("y(t) (V)"); plt.legend(); plt.grid()
plt.show()

Spiegazione riga per riga (con il comando Matlab corrispondente):

• np.sinc (Matlab sinc, del Signal Processing Toolbox): è la sinc normalizzata $\frac{\sin\pi x}{\pi x}$, la stessa del corso. Non va usata $\frac{\sin x}x$.
• Asse degli istanti $nT_c$: gli indici $n=-N,\dots,N$ (Matlab n = -N:N) e gli istanti $nT_c$. Se y_c fosse indicizzato da $1$ in poi, si sposta con $n=\text{indice}-N-1$ (Matlab: n = (1:length(y_c)) - (length(y_c)+1)/2), cioè il campione centrale è in $t=0$.
• Matrice di interpolazione: la formula $\tilde y(t)=\sum_ny_c[n]\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$ è un prodotto matrice-vettore: le righe sono gli istanti $t$ (colonna) e le colonne i campioni $n$ (riga); per questo t[:, None] - n[None, :]*Tc costruisce tutte le differenze (Matlab sinc((t(:) - n(:)'*Tc)/Tc) * y_c(:), con t(:) colonna e n(:)' riga).
• Peso $T_c$: nessun fattore $T_c$ da aggiungere: la funzione interpolatrice è $g_0=T_cg=\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)$ (il fattore del peso $T_c$ è già assorbito).
• Griglia fine per $t$ ($2001$ punti su $10\ \mu$s, cioè $50$ punti per ogni $T_c$): serve per disegnare la curva continua; i campioni si sovrappongono con plot(..., 'o').

Controllo. Si confronta con $y(t)$ analitico: lo scarto massimo su $|t|\le5\ \mu$s è $5\cdot10^{-6}$ V, contro un picco di $3$ V, dovuto solo al troncamento a $201$ campioni. I campioni $y_c$ ricavati dalla formula hanno i valori elencati sopra (pari non nulli, dispari nulli).

Errori tipici

• Ricostruire $x$ e non $y$: la risposta $F_c=F=2$ MHz vale per il segnale complesso; per $y=\Re[x]$ lo spettro occupa $(-F,F)$ e serve $F_c=2F=4$ MHz.
• Dimenticare la traslazione di $\frac F2$ (la modulazione $e^{i\pi Ft}$ sposta l'estensione da $\left(-\frac F2,\frac F2\right)$ a $(0,F)$) o prendere come larghezza di banda il semi-supporto $\frac F2$ invece della misura $F$ (la convoluzione somma le larghezze dei due rettangoli: $\frac F3+\frac{2F}3=F$).
• Usare una sinc non normalizzata ($\frac{\sin x}x$ invece di $\frac{\sin\pi x}{\pi x}$) nell'interpolazione: gli istanti degli zeri non coincidono più con i campioni.

Vedi anche: Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026), Esercizio - processo gaussiano campionato, interpolato ed elevato al quadrato (prova scritta del 6 febbraio 2026).