Esercizio - campionatore e interpolatore, stabilità, linearità e tempo-invarianza

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Testo (dispense del corso, Cap. 9; esercizi 9.2B, 9.2C, 9.2D, 9.2E, 9.2F).

• Es. 9.2B. Dire se il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ è una trasformazione ibrida stabile.
• Es. 9.2C. Trovare una condizione sufficiente per la funzione interpolatrice $g_0(t)$ affinché il filtro interpolatore dell'Esempio 9.1E sia stabile.
• Es. 9.2D. Verificare che sia il campionatore $y(nT)=x(nT)$ sia il filtro interpolatore $y(t)=\sum_n x(nT)\,g_0(t-nT)$ sono trasformazioni ibride lineari.
• Es. 9.2E. Verificare che il filtro interpolatore è una trasformazione tempo-invariante.
• Es. 9.2F. La trasformata di Fourier è la trasformazione $(I,\hat I,\mathcal F)$ con relazione ingresso-uscita $S(f)=\int_I s(u)\,e^{-i2\pi fu}\,du$, $f\in\hat I$. Dire se è invertibile, stabile, lineare, reale.

Teoria usata: Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà → (stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza, realtà), Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →.

Richiami. Il campionatore prende un segnale continuo e ne tiene i valori sul reticolo: $y(nT)=x(nT)$. Il filtro interpolatore (da $\mathbb Z(T)$ a $\mathbb R$) costruisce un segnale continuo come combinazione lineare di copie traslate della funzione interpolatrice $g_0$, con coefficienti i campioni: $y(t)=\sum_n x(nT)\,g_0(t-nT)$. Con la convenzione del corso $g_0=T\,g$, dove $g$ è la risposta impulsiva (risposta all'impulso ideale $\delta(0)=\frac1T$): $y(t)=\sum_n T\,g(t-nT)\,x(nT)$.

Una trasformazione è stabile (BIBO) se a un ingresso con $\lvert x\rvert\le L_x$ corrisponde un'uscita con $\lvert y\rvert\le L_y$ (dove $L_y$ può dipendere da $L_x$).

(1) Il campionatore è stabile (Es. 9.2B)

Se $\lvert x(u)\rvert\le L_x$ per ogni $u\in\mathbb R$, allora in particolare $\lvert x(nT)\rvert\le L_x$ per ogni $n$, cioè $\lvert y(nT)\rvert=\lvert x(nT)\rvert\le L_x$. Si può quindi scegliere $L_y=L_x$. Il campionatore è stabile, con guadagno $1$: l'uscita non può mai superare il massimo dell'ingresso, perché l'uscita è formata da un sottoinsieme dei valori dell'ingresso.

(2) Condizione sufficiente di stabilità per l'interpolatore (Es. 9.2C)

Passo 1: maggiorazione. Se $\lvert x(nT)\rvert\le L_x$ per ogni $n$, $$\lvert y(t)\rvert=\Big\lvert\sum_{n}x(nT)\,g_0(t-nT)\Big\rvert\le\sum_n\lvert x(nT)\rvert\,\lvert g_0(t-nT)\rvert\le L_x\sum_n\lvert g_0(t-nT)\rvert .$$ (La disuguaglianza triangolare per le somme, poi il maggiorante $L_x$ portato fuori dalla somma.)

Passo 2: condizione. Si definisce $$M=\sup_{t\in\mathbb R}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\lvert g_0(t-nT)\rvert .$$ La funzione $t\mapsto\sum_n\lvert g_0(t-nT)\rvert$ è periodica di periodo $T$ (traslando $t$ di $T$ la somma ricompare uguale, con l'indice spostato di $1$), quindi basta cercare il massimo su un periodo, $t\in[0,T)$. Se $M<\infty$ il filtro è stabile, con $L_y=M\,L_x$.

$$\boxed{\ \text{condizione sufficiente: }\ \sup_{t}\sum_n\lvert g_0(t-nT)\rvert<\infty\ }$$

Condizioni più semplici da controllare (entrambe implicano $M<\infty$):

• $g_0$ limitata e a durata finita. Se $\lvert g_0\rvert\le G_0$ e $g_0$ è nulla fuori da un intervallo di lunghezza $D$, in ogni $t$ i termini non nulli della somma sono al più $\frac DT+1$ (gli indici $n$ per cui $t-nT$ cade nell'intervallo), quindi $M\le G_0\big(\frac DT+1\big)$.
• $g_0$ con decadimento più veloce di $1/\lvert t\rvert$. Se $\lvert g_0(t)\rvert\le C\,(1+\lvert t\rvert/T)^{-p}$ con $p>1$, allora fissato $t$ i valori $\lvert t/T-n\rvert$ cadono in ciascun intervallo $[m,m+1)$, $m=0,1,2,\dots$, per al più due indici $n$, quindi $\sum_n\lvert g_0(t-nT)\rvert\le2C\sum_{m\ge0}(1+m)^{-p}=2C\,\zeta(p)<\infty$. Per $p=2$ il maggiorante è $2\zeta(2)=3{,}29$; il calcolo numerico del massimo vero dà $2{,}29$ (con $C=1$, $T=1$).

Esempi.

Per la triangolare, in ogni $t$ le due repliche non nulle hanno pesi $1-\lvert t/T-n\rvert$ che sommano a $1$ (verificato numericamente sulle repliche da $-10$ a $10$): l'uscita è una media pesata di due campioni vicini e non può superare il massimo dell'ingresso.

L'interpolatore ideale non è BIBO-stabile. Si calcola in $t=\frac T2$: $g_0(\tfrac T2-nT)=\operatorname{sinc}(\tfrac12-n)=\dfrac{(-1)^n}{\pi(\frac12-n)}$, quindi $\sum_n\lvert g_0(\tfrac T2-nT)\rvert=\frac1\pi\sum_n\frac1{\lvert\frac12-n\rvert}$, una serie armonica, che diverge (vedi Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). L'ingresso limitato che la fa divergere è $x(nT)=(-1)^n\operatorname{sgn}(\tfrac12-n)$ (segni scelti per rendere positivi tutti i termini): dà $y(\tfrac T2)=\frac1\pi\sum_n\frac1{\lvert 1/2-n\rvert}=\infty$. Somme troncate ai termini $\lvert n\rvert\le N$ (calcolate con Python):

Ogni decade in più di $N$ aggiunge circa $1{,}466=\frac2\pi\ln10$: crescita logaritmica, senza limite. In pratica si usa l'interpolatore ideale solo su segnali limitati in banda, per i quali la somma converge; il difetto di stabilità riguarda ingressi limitati arbitrari (per esempio sequenze con segni alternati scelte ad arte), che non sono campioni di un segnale limitato in banda.

Osservazione. Il viceversa vale: se $M=\infty$ si trova un ingresso limitato con uscita arbitrariamente grande (si allineano i segni come sopra, su un numero finito di termini), quindi la condizione è anche necessaria e il criterio è "stabile se e solo se $M<\infty$".

(3) Linearità di campionatore e interpolatore (Es. 9.2D)

Una trasformazione è lineare se è omogenea ($\phi[\alpha x]=\alpha\,\phi[x]$ per ogni $\alpha$ complesso) e additiva ($\phi[x_1+x_2]=\phi[x_1]+\phi[x_2]$).

Campionatore. Per ogni $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb C$ e per segnali $x_1,x_2$ continui, $$\phi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2](nT)=\alpha_1x_1(nT)+\alpha_2x_2(nT)=\alpha_1\phi[x_1](nT)+\alpha_2\phi[x_2](nT),$$ perché il valore della combinazione lineare in un punto è la combinazione dei valori in quel punto. Il campionatore è lineare. Come trasformazione lineare ha un nucleo: il segnale $x(nT)=\int h(nT,u)x(u)du$ si ottiene con $h(nT,u)=\delta(u-nT)$, l'impulso di Dirac centrato in $nT$ (relazione (9.18d) delle dispense).

Interpolatore. Per due segnali discreti $x_1,x_2$ i cui interpolati esistono, $$\phi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2](t)=\sum_n\big[\alpha_1x_1(nT)+\alpha_2x_2(nT)\big]g_0(t-nT)=\alpha_1\sum_nx_1(nT)g_0(t-nT)+\alpha_2\sum_nx_2(nT)g_0(t-nT),$$ cioè $\alpha_1\phi[x_1](t)+\alpha_2\phi[x_2](t)$. Si spezza la somma in due perché le due serie convergono separatamente (stesso discorso del punto (2)). L'interpolatore è lineare. Il suo nucleo, in forma (9.18c), è $h(t,kT)=g(t-kT)=\frac1T g_0(t-kT)$: infatti $y(t)=\sum_kT\,h(t,kT)\,x(kT)=\sum_kg_0(t-kT)x(kT)$. Il nucleo è la risposta all'impulso ideale applicato in $kT$: all'ingresso $\delta(nT-kT)$ (che ha il solo valore $\frac1T$ in $n=k$) la somma dà $\frac1T g_0(t-kT)$.

Verifica numerica. Per l'interpolatore lineare ($g_0=\operatorname{tri}(t/T)$), con due sequenze casuali di $8$ campioni e coefficienti complessi $\alpha_1=2-i$, $\alpha_2=0{,}5+3i$, lo scarto fra $\phi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]$ e $\alpha_1\phi[x_1]+\alpha_2\phi[x_2]$, su $241$ punti, è $2\cdot10^{-15}$ (arrotondamento); per il campionatore è esattamente $0$.

(4) Tempo-invarianza dell'interpolatore (Es. 9.2E)

Definizione. La trasformazione è tempo-invariante se, per ogni traslazione $t_0$ che appartiene al dominio d'ingresso (e anche a quello d'uscita, perché si deve poter traslare l'uscita), l'ingresso traslato $x_{t_0}(u)=x(u-t_0)$ produce l'uscita traslata $y_{t_0}(t)=y(t-t_0)$. Qui il dominio d'ingresso è $\mathbb Z(T)$ e quello d'uscita è $\mathbb R$: le traslazioni ammesse sono $t_0=mT$, $m\in\mathbb Z$, che appartengono a $\mathbb Z(T)\subset\mathbb R$.

Verifica. L'ingresso traslato ha campioni $x(nT-mT)$. L'uscita corrispondente è $$y_{mT}(t)=\sum_n x(nT-mT)\,g_0(t-nT).$$ Con il cambio di indice $k=n-m$ (cioè $n=k+m$, un'operazione lecita perché la somma è su tutti gli interi): $$y_{mT}(t)=\sum_k x(kT)\,g_0\big(t-kT-mT\big)=\sum_k x(kT)\,g_0\big((t-mT)-kT\big)=y(t-mT).$$ L'interpolatore è tempo-invariante (per traslazioni multiple di $T$, le sole che hanno senso per l'ingresso). La verifica numerica con $g_0=\operatorname{tri}(t/T)$ e $m=3$ dà scarto esattamente $0$. Insieme alla linearità, è ciò che fa descrivere l'interpolatore da una sola funzione fissa $g_0$ (la stessa per ogni campione).

Contrasto con il campionatore. Il campionatore ha dominio d'ingresso $\mathbb R$ e d'uscita $\mathbb Z(T)$: una traslazione $t_0$ ha senso per l'ingresso ma, per tradurla in un'uscita $y(nT-t_0)$, serve $t_0\in\mathbb Z(T)$. Per $t_0=kT$ si ha $x_{kT}(nT)=x(nT-kT)=y(nT-kT)$, ma per $t_0=0{,}4$ (con $T=1$, $x(u)=\cos(2\pi\cdot0{,}3u)$) l'ingresso traslato dà campioni $0{,}729;\ 0{,}4258;\ -0{,}9921$ in $n=0,1,2$, che non sono una traslazione dei campioni originali ($y(nT-0{,}4)$ non è nemmeno definita fuori dal reticolo). Per questo la dispensa dice che il campionatore non può essere tempo-invariante (Esempio 9.2M).

(5) La trasformata di Fourier come trasformazione (Es. 9.2F)

La relazione ingresso-uscita è $S(f)=\int_I s(u)\,e^{-i2\pi fu}\,du$: un segnale $s$ sul dominio $I$ viene mandato in un segnale $S$ sul dominio delle frequenze $\hat I$. Si esaminano le quattro proprietà.

Lineare: sì. È un integrale con nucleo $h(f,u)=e^{-i2\pi fu}$ (forma (9.18) delle dispense): $\mathcal F[\alpha_1s_1+\alpha_2s_2]=\alpha_1\mathcal F[s_1]+\alpha_2\mathcal F[s_2]$ per linearità dell'integrale. Vedi Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

Invertibile: sì. L'inversa è la trasformazione che manda $S$ in $s(u)=\int_{\hat I}S(f)\,e^{i2\pi fu}\,df$ (formula di antitrasformazione, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →); essa è a sua volta una trasformazione lineare. Vale $\mathcal F^{-1}[\mathcal F[s]]=s$, quindi $s$ è recuperabile da $S$. In altri termini la trasformata è iniettiva: due segnali diversi hanno trasformate diverse.

Stabile: no. Una trasformata di un segnale limitato può essere illimitata.

• Con $s(t)=1$ (limitato da $1$), $S(f)=\delta(f)$ non è nemmeno una funzione limitata: ha un impulso.
• Anche restando fra le funzioni ordinarie: $s(t)=\dfrac1{\sqrt{1+t^2}}$ è limitato da $1$, ma $S(f)=2K_0(2\pi\lvert f\rvert)$ ($K_0$ funzione di Bessel modificata di seconda specie) tende all'infinito, in modo logaritmico, per $f\to0$. Valori verificati numericamente integrando: $S(1)=0{,}0018$, $S(0{,}1)=1{,}4836$, $S(0{,}01)=5{,}774$, $S(0{,}001)=10{,}372$, e continuano a crescere.

La stima che vale in generale è $\lvert S(f)\rvert\le\int\lvert s\rvert\,du$: la trasformata è limitata se il segnale è sommabile, ma "limitato" e "sommabile" sono condizioni diverse, e la stabilità BIBO richiede la prima.

Reale: no. Una trasformazione è reale se a un ingresso reale corrisponde sempre un'uscita reale. La trasformata di un segnale reale ha in generale valori complessi: per $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ si ha $S(f)=\dfrac1{1+i2\pi f}$, con per esempio $S(0{,}1)=0{,}7170-0{,}4505\,i$. Si ha solo la simmetria hermitiana $S(-f)=S^*(f)$ (verificata: $S(-0{,}1)^*=S(0{,}1)$), e $S$ è reale soltanto se $s$ è anche pari.

Altra osservazione. La trasformata non è nemmeno tempo-invariante nel senso della definizione, perché ingresso e uscita vivono su domini diversi ($I$ e $\hat I$): una traslazione nel tempo dell'ingresso diventa una moltiplicazione per $e^{-i2\pi ft_0}$ in uscita (non una traslazione in frequenza).

Riassunto: Fourier è lineare e invertibile, ma non stabile (in senso BIBO) e non reale.

Errori tipici

• Confondere "il campionatore è lineare" con "il campionatore è tempo-invariante": è lineare e stabile, ma non è TI nel senso stretto perché i domini d'ingresso e d'uscita sono diversi.
• Dire che l'interpolatore ideale è stabile perché "ricostruisce bene": la stabilità BIBO è un criterio sul caso peggiore (tutti gli ingressi limitati), e la somma $\sum\lvert\operatorname{sinc}\rvert$ diverge.
• Concludere che la trasformata di Fourier è stabile perché $\lvert S\rvert\le\int\lvert s\rvert$: la stima usa la sommabilità di $s$, non la limitatezza.

Vedi anche: Esercizio - integratore a finestra mobile e integratore discreto, risposta, causalità e stabilità e, nella materia gemella, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →.