Esercizio - cascata filtro con due impulsi, campionatore e finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025)

Questa pagina non ha ancora la versione ripasso: qui sotto c'è il testo completo.

Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 11 luglio 2025, problema 1). Data la cascata filtro / campionatore / finestra

$$x(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ g(\cdot)\ }\ y(t),\ t\in\mathbb R\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ y_c(t),\ t\in\mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ w(\cdot)\ }\ z(t),\ t\in\mathbb Z(T)$$

in cui $g(t)=\delta(t-t_0)+\delta(t+t_0)$, $t\in\mathbb R$, e la finestra è $w(t)=\dfrac{1}{1+t^2/T^2}$, $t\in\mathbb Z(T)$:

1. determinare il nucleo della trasformazione equivalente;
2. calcolare l'espressione di $Y_c(f)$ quando $X(f)=A\operatorname{rect}(Tf)$, $f\in\mathbb R$, e darne una rappresentazione grafica accurata per $T=4$ ms, $t_0=1$ ms, $A=1$ Vs;
3. scrivere una procedura Matlab per il calcolo numerico e la rappresentazione grafica di $Z(f)$, la trasformata del segnale di uscita $z(t)$, quando $x(t)=Ce^{-t/T}\,1(t)$, con $T=4$ ms, $t_0=1$ ms, $C=3$ mV.

Teoria usata: Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

(1) Il nucleo della trasformazione equivalente

Una trasformazione lineare da $\mathbb R$ a $\mathbb Z(T)$ si scrive con un nucleo $h(t,s)$, con $t$ istante di uscita e $s$ istante di ingresso: $$z(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t,s)\,x(s)\,ds,\qquad t\in\mathbb Z(T).$$ Si segue il segnale blocco per blocco.

• Filtro. È una convoluzione con due impulsi di Dirac, e ogni impulso trasla (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →): $$y(t)=(g*x)(t)=\int g(t-s)\,x(s)\,ds=x(t-t_0)+x(t+t_0),\qquad t\in\mathbb R.$$
• Campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$: tiene i valori sul reticolo, $y_c(t)=y(t)$ per $t=nT$. Non cambia l'espressione, ne restringe solo il dominio: $$y_c(nT)=x(nT-t_0)+x(nT+t_0).$$
• Finestra su $\mathbb Z(T)$: moltiplica campione per campione, $$z(nT)=w(nT)\,y_c(nT)=\frac{1}{1+n^2}\Big[x(nT-t_0)+x(nT+t_0)\Big].$$

Per mettere il risultato nella forma $\int h(t,s)x(s)\,ds$ si usa la proprietà di campionamento della delta, $x(t-t_0)=\int\delta(s-(t-t_0))\,x(s)\,ds$: $$\boxed{h(t,s)=w(t)\,\big[\delta(s-t+t_0)+\delta(s-t-t_0)\big]=w(t)\,g(t-s),\qquad t\in\mathbb Z(T),\ s\in\mathbb R.}$$

Il nucleo dipende da $t$ e da $s$ non solo tramite $t-s$, per il fattore $w(t)$: la cascata non è tempo-invariante, anche se filtro e campionatore sì (è il prodotto per una finestra a rendere la tf tempo-variante). Resta lineare. Non è causale: il filtro usa $x(t+t_0)$, un valore futuro dell'ingresso.

(2) La trasformata $Y_c(f)$

Filtro. Il filtro è LTI e la sua risposta in frequenza è la trasformata di $g$. Per la proprietà di traslazione, $\delta(t-t_0)\leftrightarrow e^{-i2\pi ft_0}$ (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): $$G(f)=e^{-i2\pi ft_0}+e^{i2\pi ft_0}=2\cos(2\pi ft_0),\qquad Y(f)=G(f)X(f)=2A\cos(2\pi ft_0)\operatorname{rect}(Tf).$$ $X(f)=A\operatorname{rect}(Tf)$ occupa $|f|<\frac1{2T}$, e il coseno lo modula dentro questa banda.

Campionatore. Dà la ripetizione periodica senza fattore $\frac1T$ con periodo $\frac1T$ (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →): $$Y_c(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}Y\!\left(f-\frac kT\right)=2A\sum_k\cos\!\Big(2\pi\Big(f-\frac kT\Big)t_0\Big)\operatorname{rect}\!\big(Tf-k\big).$$ Il supporto di $Y$ è $|f|<\frac1{2T}$, largo esattamente un periodo: le repliche si toccano nei punti $f=\pm\frac1{2T}$ e non si sovrappongono. Non c'è aliasing, e in ogni intervallo $\left(\frac{k}{T}-\frac1{2T},\frac kT+\frac1{2T}\right)$ resta una sola replica. In pratica $Y_c$ è il tratto di $2A\cos(2\pi ft_0)$ in $|f|\le\frac1{2T}$ ripetuto con periodo $\frac1T$.

Numeri. Con $T=4$ ms: periodo $\frac1T=250$ Hz, semi-periodo $\frac1{2T}=125$ Hz. Con $t_0=1$ ms $=\frac T4$:

In $f=125$ Hz la replica centrale vale $\sqrt2$ e quella successiva (che lì ha $u=f-250=-125$) vale ancora $2\cos\left(-\frac\pi4\right)=\sqrt2$: il coseno è pari, quindi il raccordo tra repliche è continuo e non ci sono salti. Il coseno non si annulla mai nella banda ($2\pi ft_0=\frac\pi2$ richiederebbe $f=250$ Hz, fuori da $|f|\le125$).

Verifica numerica: si prende $x(t)=\frac AT\operatorname{sinc}(t/T)$ (la cui trasformata è $A\operatorname{rect}(Tf)$), si calcola $y_c(nT)=x(nT-t_0)+x(nT+t_0)$ e si confronta con $\int_{-125}^{125}Y_c(f)\,e^{i2\pi fnT}\,df$: per $n=0,\pm1,\pm2,\pm3$ i due valori coincidono (per esempio $y_c(0)=450{,}158$ V da entrambe le parti).

(3) Procedura per $Z(f)$ con $x(t)=C\,e^{-t/T}\,1(t)$

Il segnale $z(nT)$ in forma chiusa. Con $x(t)=Ce^{-t/T}1(t)$ e $t_0=\frac T4$ i punti $nT\pm t_0$ non cadono mai in $t=0$ (dove il gradino vale $\frac12$), quindi il gradino vale 0 o 1:

• $n\ge1$: entrambi i punti sono positivi, $y_c(nT)=Ce^{-n}\big(e^{1/4}+e^{-1/4}\big)=2C\cosh\frac14\,e^{-n}$;
• $n=0$: $x(-t_0)=0$ e $x(t_0)=Ce^{-1/4}$, quindi $y_c(0)=Ce^{-1/4}$;
• $n\le-1$: $nT+t_0<0$, quindi $y_c(nT)=0$.

Con la finestra: $$z(0)=C\,e^{-1/4}=2{,}336\ \text{mV},\qquad z(nT)=\frac{2C\cosh\frac14\,e^{-n}}{1+n^2}\ (n\ge1),\qquad z(nT)=0\ (n<0).$$ I primi valori: $z(T)=1{,}138$ mV, $z(2T)=0{,}168$ mV, $z(3T)=0{,}031$ mV: la successione decade come $e^{-n}$, e basta troncare la somma a pochi termini.

Trasformata. $Z(f)=\sum_nT\,z(nT)\,e^{-i2\pi fnT}$ (con il peso $T$ della trasformata discreta, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →), periodica di periodo $\frac1T=250$ Hz. Si calcola per somma diretta, che è esatta fino al troncamento e non pone problemi di griglia in frequenza:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T, t0, C = 4e-3, 1e-3, 3e-3
N = 60                                   # e^{-n}/(1+n^2) < 1e-26 per n > 60: troncamento innocuo
n = np.arange(-N, N + 1)
t = n * T                                # asse dei tempi su Z(T)
x = lambda s: C * np.exp(-s / T) * (s > 0)   # gradino: in nT +- t0 non si valuta mai in 0
y = x(t - t0) + x(t + t0)                # uscita del filtro g = delta(t-t0) + delta(t+t0)
w = 1 / (1 + (t / T) ** 2)               # finestra
z = w * y                                # campionamento (sul reticolo t) e finestra

f = np.linspace(-1 / T, 1 / T, 2001)     # due periodi di Z(f)
Z = T * (z @ np.exp(-2j * np.pi * np.outer(t, f)))   # Z(f) = sum_n T z(nT) e^{-i 2 pi f nT}

fig, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
ax[0].plot(f, np.abs(Z)); ax[0].set_ylabel("|Z(f)|")
ax[1].plot(f, np.angle(Z)); ax[1].set_ylabel("fase (rad)"); ax[1].set_xlabel("f (Hz)")
plt.show()

Perché è scritto così (Matlab: Z = T*z*exp(-1i*2*pi*t.'*f);, con t e z vettori riga e f vettore riga):

• si usa la somma diretta (prodotto riga per matrice) invece della FFT, perché si vuole $Z$ su un asse $f$ scelto liberamente (due periodi, $-250$...$+250$ Hz), non sulla griglia $\frac1{NT}$ della FFT;
• il fattore $T$ davanti è il peso dell'integrale di Haar su $\mathbb Z(T)$: senza di esso $Z(f)$ sarebbe sbagliata di un fattore $\frac1T=250$;
• la finestra e il filtro si applicano ai campioni t = n*T: la cascata è calcolata in ordine (filtro, campionamento, finestra), non il contrario.

Valori di controllo (calcolati con questo codice, modulo in V·s): $\lvert Z(0)\rvert=1{,}473\cdot10^{-5}$ con fase $0$ (è l'area di $z$, positiva e reale); $\lvert Z(50\ \text{Hz})\rvert=1{,}113\cdot10^{-5}$ con fase $-0{,}429$ rad; $\lvert Z(125\ \text{Hz})\rvert=5{,}36\cdot10^{-6}$ con fase $0$ (a metà periodo $e^{-i2\pi fnT}=(-1)^n$, la somma è reale); $Z(250\ \text{Hz})=Z(0)$ per la periodicità. Poiché $z$ è reale, $\lvert Z\rvert$ è pari e la fase dispari.

Errori tipici

• Scrivere il nucleo come $w(t-s)\,g(t-s)$ o dire che la tf è LTI: la finestra dipende da $t$ in modo assoluto, quindi il nucleo non è funzione di $t-s$ e la tf non è tempo-invariante.
• Mettere il fattore $\frac1T$ nella ripetizione periodica del campionatore (in questo corso non c'è) o dimenticare il peso $T$ nella trasformata discreta di $z$.
• Disegnare $Y_c$ con repliche che cambiano segno o con salti: il coseno è pari, quindi le repliche si raccordano senza discontinuità.

Vedi anche: Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Esercizio - processo a campioni indipendenti attraverso una finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025).