Esercizio - connessioni in cascata e in parallelo di trasformazioni LTI

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Testo (dispense del corso, Cap. 9, §9.8; esercizi 9.8C, 9.8D, 9.8E, 9.8G, 9.8H ed Esempio 9.8E).

• Es. 9.8C. Dimostrare che la cascata di due trasformazioni reali è reale.
• Es. 9.8D. Usando le proprietà della risposta impulsiva dimostrare che: a) la cascata di due trasformazioni LTI stabili è stabile; b) la cascata di due trasformazioni LTI causali è causale; c) la cascata di due trasformazioni LTI reali è reale.
• Es. 9.8E. Dimostrare le proprietà delle connessioni in parallelo: il parallelo di due trasformazioni causali, stabili, lineari, tempo-invarianti, reali è causale, stabile, lineare, tempo-invariante, reale.
• Es. 9.8G. Dire se la connessione in parallelo di due finestre è una finestra.
• Es. 9.8H. Trovare la risposta impulsiva e la risposta in frequenza del parallelo di due trasformazioni LTI.
• Esempio 9.8E. Calcolare la risposta impulsiva della cascata di due filtri RC con costanti di tempo $\tau_1$ e $\tau_2$ (qui si indica la costante di tempo con $\tau$ per distinguerla dal passo $T$), e verificarla numericamente.

Teoria usata: Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione → (proprietà associativa e commutativa), Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →. Per i filtri RC: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →.

Convenzioni. Una trasformazione è una terna $(I,U,\phi)$ con $y=\phi[x]$. La cascata di $(I_1,U_1,\phi_1)$ e $(I_2,U_2,\phi_2)$ richiede $U_1=I_2$ (l'uscita della prima è l'ingresso della seconda) e dà $\phi=\phi_2\phi_1$, cioè $y=\phi_2[\phi_1[x]]$. Il parallelo richiede domini uguali, $I_1=I_2=I$ e $U_1=U_2=U$, e dà $\phi=\phi_1+\phi_2$, cioè $y=\phi_1[x]+\phi_2[x]$. Per due filtri LTI su $\mathbb R$ (o su $\mathbb Z(T)$): $y=g*x$ con $g$ risposta impulsiva e $G=\mathcal F[g]$ risposta in frequenza.

(1) Cascata di trasformazioni reali (Es. 9.8C)

Una trasformazione è reale se a ogni ingresso reale corrisponde un'uscita reale. Si prende un ingresso $x$ reale e si segue il segnale lungo la cascata:

1. $y_1=\phi_1[x]$ è reale, perché $\phi_1$ è reale e $x$ è reale;
2. $y_1$ è l'ingresso di $\phi_2$ ed è reale, quindi $y_2=\phi_2[y_1]$ è reale, perché $\phi_2$ è reale.

L'uscita della cascata, $y=y_2$, è reale per ogni $x$ reale: la cascata è reale. Non serve nessuna ipotesi su linearità o tempo-invarianza.

(2) Cascata di filtri LTI: risposta impulsiva e proprietà (Es. 9.8D)

La cascata di due LTI è LTI, con $g=g_2*g_1$ e $G=G_1G_2$. Con $x_2=g_1*x$ e $y=g_2*x_2$, per la proprietà associativa della convoluzione $$y=g_2*(g_1*x)=(g_2*g_1)*x ,$$ e quindi $g(t)=(g_2*g_1)(t)=\int_I g_2(t-u)\,g_1(u)\,du$. Passando alle trasformate (la convoluzione diventa prodotto) $G(f)=G_1(f)\,G_2(f)$. Per la proprietà commutativa, $g_2*g_1=g_1*g_2$: l'ordine dei filtri LTI è irrilevante (non lo è in generale per trasformazioni non LTI: Esempio 9.8D delle dispense, con una finestra $\operatorname{rect}(t)$ e un ritardo di $2$, che messi in ordine inverso danno risposte all'impulso diverse).

a) La cascata di due LTI stabili è stabile. La stabilità di un LTI equivale all'assoluta integrabilità di $g$: $\int\lvert g\rvert<\infty$. Per ipotesi $\int\lvert g_1\rvert<\infty$ e $\int\lvert g_2\rvert<\infty$. Allora, maggiorando il modulo dell'integrale con l'integrale del modulo e scambiando l'ordine di integrazione (integrandi non negativi), $$\int_I\lvert g(t)\rvert\,dt\le\int_I\!\!\int_I\lvert g_2(t-u)\rvert\,\lvert g_1(u)\rvert\,du\,dt=\int_I\lvert g_1(u)\rvert\Big(\int_I\lvert g_2(t-u)\rvert\,dt\Big)du=\int_I\lvert g_1\rvert\cdot\int_I\lvert g_2\rvert<\infty .$$ Il passaggio chiave: l'integrale interno non dipende da $u$, perché per l'invarianza alle traslazioni dell'integrale di Haar $\int\lvert g_2(t-u)\rvert dt=\int\lvert g_2\rvert$. Quindi $\lVert g\rVert_1\le\lVert g_1\rVert_1\lVert g_2\rVert_1$: il guadagno massimo della cascata è al più il prodotto dei guadagni. Esempio numerico: $g_1=e^{-t}\mathbf 1(t)$ e $g_2=e^{-t}\cos5t\,\mathbf 1(t)$ hanno $\lVert g_1\rVert_1=1$, $\lVert g_2\rVert_1=0{,}641$ (prodotto $0{,}641$) mentre $\lVert g_2*g_1\rVert_1=0{,}127$ (con segni diversi i contributi si elidono, la disuguaglianza è stretta). Per le risposte impulsive positive, come due RC, vale l'uguaglianza.

b) La cascata di due LTI causali è causale. Un LTI è causale se e solo se $g(t)=0$ per $t<0$. Per $t<0$ l'integrale $\int g_2(t-u)g_1(u)\,du$ ha integrando non nullo solo dove $u\ge0$ (perché $g_1(u)=0$ per $u<0$) e $t-u\ge0$ (perché $g_2(t-u)=0$ se $t-u<0$), cioè $0\le u\le t$. Se $t<0$ questo intervallo è vuoto, quindi $g(t)=0$. Nel caso $t\ge0$ resta $\int_0^t g_2(t-u)g_1(u)\,du$: $g=g_2*g_1$ è nulla per $t<0$, cioè causale. Sul dominio discreto vale lo stesso con la somma al posto dell'integrale.

c) La cascata di due LTI reali è reale. Un LTI è reale se e solo se $g$ è reale. Se $g_1,g_2$ sono reali, $g(t)=\int g_2(t-u)g_1(u)\,du$ è un integrale di una funzione reale, quindi reale. In frequenza: la realtà equivale alla simmetria hermitiana $G(-f)=G^*(f)$, e per il prodotto $G(-f)=G_1(-f)G_2(-f)=G_1^*(f)G_2^*(f)=\big(G_1(f)G_2(f)\big)^*=G^*(f)$.

Un'avvertenza (il viceversa non vale). La cascata di due filtri non stabili può essere stabile. Esempio: l'integratore discreto $g_1(nT)=\mathbf 1_0(nT)$ (instabile) seguito dal suo inverso $g_2(nT)=\frac1{T^2}$ in $n=0$, $-\frac1{T^2}$ in $n=1$, $0$ altrove (la differenza prima, vedi Esercizio - inversa di un filtro e verifica di g convoluta con g_i uguale a delta con $\alpha=1$): la cascata è $g=\delta$, identità. Con $T=0{,}5$ la convoluzione numerica dà $\frac1T=2$ in $n=0$ e $0$ altrove. Le ipotesi del teorema (a) richiedono invece che entrambi i filtri siano stabili.

(3) Esempio: due filtri RC in cascata (Esempio 9.8E)

Siano $g_i(t)=\frac1{\tau_i}e^{-t/\tau_i}\mathbf 1(t)$, $i=1,2$ (filtri RC con costanti di tempo $\tau_1\ne\tau_2$) e $G_i(f)=\frac1{1+i2\pi f\tau_i}$.

Risposta impulsiva. $g(t)=\int g_1(t-u)\,g_2(u)\,du$. L'integrando è non nullo solo per $u\ge0$ (da $g_2$) e $t-u\ge0$ (da $g_1$), quindi per $t>0$ l'integrale va da $0$ a $t$: $$g(t)=\frac1{\tau_1\tau_2}e^{-t/\tau_1}\int_0^te^{\,u\left(\frac1{\tau_1}-\frac1{\tau_2}\right)}du .$$ (Esponente: $e^{-(t-u)/\tau_1}e^{-u/\tau_2}=e^{-t/\tau_1}e^{u/\tau_1-u/\tau_2}$.) Poiché $\frac1{\tau_1}-\frac1{\tau_2}=\frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_1\tau_2}\ne0$, l'integrale è $\frac{\tau_1\tau_2}{\tau_2-\tau_1}\Big(e^{t\frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_1\tau_2}}-1\Big)$ e, moltiplicando per $e^{-t/\tau_1}$ e semplificando $e^{-t/\tau_1}e^{t\left(\frac1{\tau_1}-\frac1{\tau_2}\right)}=e^{-t/\tau_2}$, $$\boxed{\,g(t)=\mathbf 1(t)\,\frac{e^{-t/\tau_1}-e^{-t/\tau_2}}{\tau_1-\tau_2}\,},\qquad G(f)=\frac1{(1+i2\pi f\tau_1)(1+i2\pi f\tau_2)}.$$ Se le due costanti coincidono ($\tau_1=\tau_2=\tau$) si passa al limite $\tau_2\to\tau_1$ (derivata di $e^{-t/\tau}$ rispetto a $\tau$): $g(t)=\frac t{\tau^2}e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)$, che ha il massimo $\frac1{e\tau}$ in $t=\tau$.

Verifica numerica con $\tau_1=1$ s e $\tau_2=2$ s, dove $g(t)=e^{-t/2}-e^{-t}$ per $t\ge0$:

• la convoluzione numerica (passo $1$ ms) coincide con la formula a meno di $5\cdot10^{-4}$ (errore di discretizzazione);
• area: $\int g\,dt=1$, cioè $G(0)=1$ (nessun guadagno in continua);
• massimo: $g(2\ln2)=\frac14$ in $t=2\ln2=1{,}386$ s (si annulla la derivata quando $e^{-t/2}=2e^{-t}$); $g(0)=0$ (la cascata parte con valore nullo, a differenza di un RC singolo che parte da $\frac1\tau$);
• $g(1)=0{,}2387$, $g(2)=0{,}2325$, $g(5)=0{,}0754$;
• la trasformata numerica di $g$ coincide con $G_1G_2$ a meno di $4\cdot10^{-8}$; per esempio $\lvert G(0{,}1)\rvert=0{,}5272$ e $\lvert G(0{,}5)\rvert=0{,}0477$.

Risposta al gradino (integrale di $g$): $r(t)=\Big[1-\dfrac{\tau_1e^{-t/\tau_1}-\tau_2e^{-t/\tau_2}}{\tau_1-\tau_2}\Big]\mathbf 1(t)$, che per $\tau_1=1$, $\tau_2=2$ diventa $r(t)=1+e^{-t}-2e^{-t/2}$. Confronto, in numeri:

La cascata sale più lentamente di ciascuno dei due stadi e parte con pendenza nulla ($r'(0)=g(0)=0$): è un sistema del secondo ordine. Anche la banda si restringe: i tagli a $-3$ dB (cioè $2\pi f\tau=1$ per un RC singolo) sono $f_{c1}=\frac1{2\pi}=0{,}159$ Hz e $f_{c2}=0{,}0796$ Hz, mentre la cascata, risolvendo $\lvert G(f)\rvert=\frac1{\sqrt2}$, ha $f_c=0{,}0667$ Hz, minore di entrambi (un modulo prodotto di due fattori minori di $1$ scende più in fretta).

(4) Connessione in parallelo

Proprietà (Es. 9.8E)

Due trasformazioni $(I,U,\phi_1)$ e $(I,U,\phi_2)$ in parallelo danno $\phi[x]=\phi_1[x]+\phi_2[x]$. Si dimostra a turno ciascuna proprietà, assumendola vera per $\phi_1$ e $\phi_2$.

• Causale. $y(t)=\phi_1[x\,|\,t]+\phi_2[x\,|\,t]$ e ciascun addendo dipende solo da $x_{(-\infty,t]}$; quindi anche la somma.
• Stabile. Se $\lvert x\rvert\le L_x$, $\lvert\phi_1[x]\rvert\le L_{y1}$ e $\lvert\phi_2[x]\rvert\le L_{y2}$, allora $\lvert y\rvert\le L_{y1}+L_{y2}$ (disuguaglianza triangolare).
• Lineare. $\phi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]=\phi_1[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]+\phi_2[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]=\alpha_1\phi_1[x_1]+\alpha_2\phi_1[x_2]+\alpha_1\phi_2[x_1]+\alpha_2\phi_2[x_2]$, e raggruppando per coefficiente si ottiene $\alpha_1\phi[x_1]+\alpha_2\phi[x_2]$.
• Tempo-invariante. Se $x_{t_0}(u)=x(u-t_0)$, per la TI di ciascuna $\phi_k[x_{t_0}](t)=\phi_k[x](t-t_0)$, e sommando $\phi[x_{t_0}](t)=\phi[x](t-t_0)$.
• Reale. Se $x$ è reale, $\phi_1[x]$ e $\phi_2[x]$ sono reali e la loro somma è reale.

L'invertibilità invece non si conserva (Esempio 9.8F delle dispense): identità più coniugio dà $y=x+x^*=2\Re[x]$, che perde la parte immaginaria. Per due trasformazioni lineari con nuclei $h_1,h_2$ il nucleo del parallelo è $h=h_1+h_2$ (Es. 9.8F), perché $y=\int(h_1+h_2)x\,du$.

Parallelo di due finestre (Es. 9.8G)

Se $y_k(t)=w_k(t)\,x(t)$ per $k=1,2$, il parallelo è $$y(t)=w_1(t)x(t)+w_2(t)x(t)=\big[w_1(t)+w_2(t)\big]\,x(t),$$ cioè una finestra con forma $w=w_1+w_2$. Sì, il parallelo di due finestre è una finestra (a differenza della cascata, in cui le forme si moltiplicano). Verifica numerica: con $w_1=\operatorname{rect}(t)$ e $w_2=2\operatorname{rect}(t-3)$ e $x=\cos t$ la somma delle uscite coincide con l'uscita di $w_1+w_2$.

Risposta impulsiva e risposta in frequenza del parallelo di due LTI (Es. 9.8H)

Se $\phi_1,\phi_2$ sono LTI con risposte impulsive $g_1,g_2$, per la linearità della convoluzione $$y=g_1*x+g_2*x=(g_1+g_2)*x ,$$ quindi il parallelo è un LTI con $$\boxed{\,g=g_1+g_2,\qquad G(f)=G_1(f)+G_2(f)\,}$$ (la risposta impulsiva si somma, e anche la trasformata di Fourier è lineare). Per le proprietà del punto precedente il parallelo è causale, stabile, reale se lo sono i due filtri: per esempio causale vuol dire $g_1(t)+g_2(t)=0$ per $t<0$ e questo segue da $g_1=g_2=0$ per $t<0$; reale: somma di funzioni reali.

Esempio 1: due RC in parallelo ($\tau_1=1$ s, $\tau_2=2$ s): $g(t)=e^{-t}+\frac12e^{-t/2}$ per $t\ge0$, $G(f)=\frac1{1+i2\pi f}+\frac1{1+i4\pi f}$, con $G(0)=2$, area $2$ (verificata numericamente: $2{,}0008$ con passo di $1$ ms); la risposta al gradino è la somma delle due: $r(1)=(1-e^{-1})+(1-e^{-1/2})=1{,}0256$. La trasformata numerica di $g$ coincide con $G_1+G_2$ a meno di $8\cdot10^{-4}$ (errore di discretizzazione).

Esempio 2: passa-alto RC come parallelo di identità e RC con segno meno. L'identità ha $g_1=\delta$, $G_1=1$; un secondo ramo con guadagno $-1$ che contiene un RC ha $G_2=-\frac1{1+i2\pi f\tau}$. Il parallelo ha $$g(t)=\delta(t)-\frac1\tau e^{-t/\tau}\mathbf 1(t),\qquad G(f)=1-\frac1{1+i2\pi f\tau}=\frac{i2\pi f\tau}{1+i2\pi f\tau},$$ un filtro passa-alto del primo ordine: $G(0)=0$ e $\lvert G\rvert\to1$ per $f\to\infty$, con $\lvert G\rvert=\frac1{\sqrt2}$ alla frequenza $2\pi f\tau=1$ (verificato: $0{,}7071$). La risposta al gradino è $r(t)=\mathbf 1(t)-(1-e^{-t/\tau})\mathbf 1(t)=e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)$: il filtro lascia passare il salto e poi lo smorza. Lo stesso schema, con il passa-basso ideale al posto dell'RC, dà il passa-alto ideale $G=1-\operatorname{rect}(\tfrac f{2f_0})$ (Esercizio - filtro passa-alto ideale e segnale sincⁿ attraverso un passa-basso ideale).

Errori tipici

• Convolvere invece di sommare nel parallelo (o sommare nella cascata): nella cascata $g=g_2*g_1$ e $G=G_1G_2$, nel parallelo $g=g_1+g_2$ e $G=G_1+G_2$.
• Dire che l'ordine dei blocchi non conta per qualunque cascata: conta per i soli LTI (finestra e ritardo non commutano).
• Dedurre dalla stabilità della cascata che i due filtri siano stabili: il teorema vale in un solo verso (esempio integratore e differenza).

Vedi anche: Esercizio - integratore a finestra mobile e integratore discreto, risposta, causalità e stabilità e, nella materia gemella, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →.