Convoluzione

La convoluzione è l'operazione fondamentale della teoria dei segnali e dei sistemi lineari: il suo ruolo principale è il filtraggio. Può sembrare astrusa finché non la si usa; qui si parte dalla definizione, poi si vedono le regole di calcolo, gli esempi e infine l'interpretazione.

Definizione e interpretazione

Definizione (convoluzione). La convoluzione di due segnali continui $x$ e $y$ è il segnale $$s(t)=x*y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,y(t-u)\,du.$$ Con il cambio di variabile $v=t-u$ si ottiene l'espressione equivalente $s(t)=\int x(t-v)\,y(v)\,dv$, che dice che $x*y=y*x$.

Esempio. $x(u)=\mathbf 1(u)e^{-u}$ e $y=\operatorname{rect}(u-\frac12)$ (vale $1$ su $(0,1)$). Per $t=\frac32$: $y(t-u)=\operatorname{rect}(1-u)$ vale $1$ su $(\frac12,\frac32)$ e il prodotto $x(u)y(t-u)$ è $e^{-u}$ su quell'intervallo, quindi $s(\tfrac32)=e^{-1/2}-e^{-3/2}=0{,}3834$.

Si scrive $x*y(t)$ e non $x(t)*y(t)$: quest'ultima scrittura farebbe pensare che il valore in $t$ dipenda solo dai valori dei segnali in $t$, mentre dipende da tutti.

Come si legge, in quattro passi. Per ottenere $s(t)$ in un istante $t$ fissato:

1. si disegnano $x(u)$ e $y(u)$ in funzione di una variabile $u$;
2. si ribalta il secondo: $z(u)=y(-u)$;
3. lo si trasla di $t$: $z_t(u)=y(-(u-t))=y(t-u)$ (a destra se $t>0$);
4. si moltiplica $x(u)\cdot y(t-u)$ e si prende l'area del prodotto: questo è il numero $s(t)$.

Al variare di $t$ la copia ribaltata scorre lungo l'asse e l'area del prodotto cambia. Si può tenere fisso il primo segnale (come sopra) oppure il secondo, scorrendo il primo ribaltato: il risultato è lo stesso. Conviene tenere fisso il segnale più lungo e far scorrere il più corto.

Estensione e durata

Se $x$ e $y$ hanno estensione limitata $e[x]=[t_x,T_x]$ ed $e[y]=[t_y,T_y]$, l'integrando $x(u)y(t-u)$ è non nullo solo per $u\in[t_x,T_x]\cap[t-T_y,t-t_y]$ (qui $[t-T_y,t-t_y]$ è l'estensione di $y(t-u)$, come funzione di $u$). Se l'intersezione è vuota, $s(t)=0$: i due intervalli sono disgiunti quando $t-t_y<t_x$ o $t-T_y>T_x$.

Regola (estensione della convoluzione). $e[x*y]=[\,t_x+t_y,\;T_x+T_y\,]$: gli estremi si sommano, e la durata della convoluzione è la somma delle durate, $D_{x*y}=D_x+D_y$. Vale anche con estremi infiniti.

Esempio. $\operatorname{rect}\frac t4$ (estensione $[-2,2]$) e $\operatorname{rect}\frac t2$ (estensione $[-1,1]$) danno una convoluzione con estensione $[-3,3]$ (durata $6=4+2$).

Questa regola dice in anticipo dove cercare il risultato e fa risparmiare il calcolo dei casi fuori dal supporto.

Proprietà

Proprietà. Per segnali $x,y,z$ (per cui gli integrali esistono) e costanti $a_1,a_2$:

• linearità e distributività: $x*(a_1y+a_2z)=a_1\,x*y+a_2\,x*z$;
• commutativa: $x*y=y*x$; associativa: $(x*y)*z=x*(y*z)$;
• area: $\operatorname{area}(x*y)=\operatorname{area}(x)\cdot\operatorname{area}(y)$;
• traslazione: $x_{t_1}*y_{t_2}=(x*y)_{t_1+t_2}$, cioè $x(t-t_1)*y(t-t_2)=x*y(t-t_1-t_2)$;
• elemento neutro: $x*\delta=\delta*x=x$;
• derivata: se $x$ e $y$ sono derivabili, $(x*y)'=x'*y=x*y'$;
• parità: la convoluzione di due segnali pari (o di due dispari) è pari; di un pari e un dispari è dispari.

Esempio. $\operatorname{rect}\frac t4$ (area $4$) e $\operatorname{rect}\frac t2$ (area $2$) producono un trapezio di area $8$ (con le ampiezze $2$ e $3$ dell'esempio più sotto l'area è $(2\cdot4)(3\cdot2)=48$, confermata dalla convoluzione discretizzata).

Perché valgono. L'area: si integra $s$ in $t$ e si scambia l'ordine dei due integrali, $\int\!\!\int x(u)y(t-u)\,du\,dt=\int x(u)\,du\int y(t-u)\,dt=\operatorname{area}(x)\operatorname{area}(y)$. L'elemento neutro: $\delta*s(t)=\int s(t-u)\delta(u)\,du=s(t)$ per la proprietà rivelatrice (Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →); in particolare $s*\delta(t-t_0)=s(t-t_0)$ (la convoluzione con un impulso traslato trasla). La derivata e l'associatività seguono dallo scambio di derivata (o integrale) e integrale.

Un caso che si usa molto: convolvere con il gradino integra, $$x*\mathbf 1(t)=\int x(u)\,\mathbf 1(t-u)\,du=\int_{-\infty}^tx(u)\,du,$$ perché $\mathbf 1(t-u)=0$ per $u>t$.

Come si calcola: il metodo dell'intersezione

Per ogni $t$ si scrive $s(t)=\int_{e_t}x(u)\,y(t-u)\,du$ con $e_t=[t_x,T_x]\cap[t-T_y,t-t_y]$, e si distinguono gli intervalli di valori di $t$ per cui $e_t$ ha forma diversa (il confronto degli estremi). Il primo e l'ultimo intervallo sono quelli dove la convoluzione è nulla.

Esempio 1 - due impulsi rettangolari

Siano $x(t)=A_1\operatorname{rect}\frac t{4D}$ (estensione $[-2D,2D]$) e $y(t)=A_2\operatorname{rect}\frac t{2D}$ (estensione $[-D,D]$). La convoluzione ha estensione $[-3D,3D]$. Il secondo è più corto, quindi si tiene fisso $x$ e si fa scorrere $y(t-u)$, la cui estensione in $u$ è $[t-D,t+D]$. Il prodotto vale $A_1A_2$ nell'intersezione e $s(t)=A_1A_2\cdot(\text{lunghezza dell'intersezione})$:

Il risultato è un trapezio isoscele: sale linearmente da $-3D$ a $-D$, resta costante a $2DA_1A_2$ fino a $D$, poi scende fino a $3D$. È continuo (i valori nei punti di raccordo coincidono). Con $A_1=2$, $A_2=3$, $D=1$: altezza $12$, zeri in $\pm3$, area $\frac12(6+2)\cdot12=48=(2\cdot4)\cdot(3\cdot2)$. Se i due rect avessero la stessa durata il plateau si ridurrebbe a un punto e si otterrebbe un triangolo ($\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\operatorname{tri}$).

Esempio 2 - rect con gradino, con coseno, con esponenziale

• Rect e gradino. $A\operatorname{rect}\frac t{2D}*\mathbf 1(t)$ è l'integrale del rect: $0$ per $t<-D$, la rampa $A(t+D)$ per $-D<t<D$, poi la costante $2AD$ (l'area del rect): un gradino con "raccordo lineare" tra $-D$ e $D$.
• Rect e coseno. Con $x=A_1\operatorname{rect}\frac t{2D}$ e $y=A_2\cos\omega_0t$ (durata infinita, quindi anche l'uscita), tenendo fisso $y$: $$s(t)=\int_{t-D}^{t+D}A_1A_2\cos\omega_0u\,du=\frac{A_1A_2}{\omega_0}\big[\sin\omega_0(t+D)-\sin\omega_0(t-D)\big]=\frac{2A_1A_2}{\omega_0}\sin(\omega_0D)\cos\omega_0t.$$ La convoluzione con un coseno è ancora un coseno della stessa frequenza, con ampiezza cambiata: questo è il fatto fondamentale alla base del filtraggio (si veda Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →). Con $A_1=A_2=D=1$, $\omega_0=2$: $s(t)=0{,}9093\cos2t$; in $t=0{,}3$ il calcolo numerico dell'integrale dà $0{,}7505=0{,}9093\cos0{,}6$.
• Due esponenziali causali. $\mathbf 1(t)e^{-\sigma_1t}*\mathbf 1(t)e^{-\sigma_2t}$: per $t>0$ l'intersezione è $[0,t]$ e $s(t)=\int_0^te^{-\sigma_1u}e^{-\sigma_2(t-u)}du=e^{-\sigma_2t}\int_0^te^{(\sigma_2-\sigma_1)u}du$, cioè $$s(t)=\frac{e^{-\sigma_1t}-e^{-\sigma_2t}}{\sigma_2-\sigma_1}\mathbf 1(t)\quad(\sigma_1\ne\sigma_2),\qquad s(t)=t\,e^{-\sigma t}\mathbf 1(t)\quad(\sigma_1=\sigma_2=\sigma).$$ Per $\sigma_1=1$, $\sigma_2=3$, $t=1$: $\frac{e^{-1}-e^{-3}}2=0{,}1590$; per $\sigma=2$, $t=1$: $e^{-2}=0{,}1353$. Nel caso uguale l'integrando è costante in $u$, da cui il fattore $t$.
• Gradino con sé stesso. $\mathbf 1*\mathbf 1(t)=t\,\mathbf 1(t)$, la rampa.

Esempio 3 - due gaussiane

Per $x=e^{-\pi\alpha t^2}$ e $y=e^{-\pi\beta t^2}$ ($\alpha,\beta>0$), completando il quadrato nell'esponente dell'integrale: $$x*y(t)=\frac1{\sqrt{\alpha+\beta}}\,e^{-\pi\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}t^2}.$$ La convoluzione di due gaussiane è una gaussiana. Con $\alpha=1$, $\beta=3$, $t=0{,}4$: $\frac12e^{-0{,}75\pi\cdot0{,}16}=0{,}3430$ (confermato dall'integrale numerico). Lo stesso risultato si ottiene molto più in fretta passando in frequenza (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Esempio 4 - convoluzione con impulsi

Per le proprietà dell'impulso, $x*[A_2\delta(t)+A_3\delta(t-2D)]=A_2\,x(t)+A_3\,x(t-2D)$: la somma di due copie di $x$, la seconda ritardata di $2D$ e moltiplicata per $A_3$.

Convoluzione di segnali periodici

La definizione con l'integrale su $\mathbb R$ va usata di norma per segnali aperiodici. Se uno solo dei due è periodico, l'integrale esiste e il risultato è periodico con lo stesso periodo. Se entrambi sono periodici con lo stesso periodo $T_p$, l'integrale su $\mathbb R$ non esiste e si definisce la convoluzione ciclica (o periodica): $$x*y(t)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}x(u)\,y(t-u)\,du.$$ Il risultato non dipende da $t_0$ ed è periodico di periodo $T_p$. La convoluzione di segnali non periodici si dice per contrasto aciclica. Le proprietà precedenti valgono ancora (con l'area intesa su un periodo), e l'elemento neutro è l'impulso periodico $\delta_{T_p}(t)=\sum_k\delta(t-kT_p)$: infatti $\delta_{T_p}*x(t)=\sum_k\int_{t_0}^{t_0+T_p}\delta(u-kT_p)x(t-u)\,du=x(t-hT_p)=x(t)$ perché un solo multiplo $hT_p$ cade nell'intervallo.

Esempio. $x=\operatorname{rep}_{4T}\operatorname{rect}\frac tT$ convoluto con sé stesso: le copie non si sovrappongono (larghezza $2T<4T$) e il risultato è la ripetizione periodica del triangolo $T\operatorname{tri}\frac tT$; con $T=1$ i valori in $t=0,\frac12,1$ sono $1,\ \frac12,\ 0$ (calcolati con la FFT, si veda Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFTUn segnale discreto periodico di periodo $NT$ ha una trasformata discreta e periodica, la DFT: $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T,s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$, con $F=1/(NT)$, e $s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F,S(kF)e^{i2\pi kn/N}$. Dipende da soli $N$ numeri, si calcola senza approssimazioni e con la FFT costa $N\log_2N$ invece di $N^2$. I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F,S(kF)$. La DFT dà anche campioni della trasformata di un segnale discreto o continuo a durata limitata (con zero-padding), ma la scalatura $T$ e l'asse delle frequenze vanno gestiti con cura.Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT → per il legame tra convoluzione ciclica e prodotto delle DFT).

Un segnale aperiodico e uno periodico

Quando solo uno dei due segnali è periodico si usa la definizione ordinaria, con l'integrale su tutto $\mathbb R$. Sia $u(t)$ aperiodico (per esempio a durata limitata) e $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}v(t)=\sum_kv(t-kT_p)$ periodico. Si porta la somma fuori dall'integrale (linearità) e per ogni $k$ si usa la regola della traslazione, $u*v(t-kT_p)$: $$u*s(t)=\int u(w)\sum_kv(t-w-kT_p)\,dw=\sum_k(u*v)(t-kT_p)=\operatorname{rep}_{T_p}(u*v)(t).$$ Il risultato è la ripetizione periodica della convoluzione di $u$ con un solo periodo di $s$: è periodico con lo stesso periodo $T_p$ (basta traslare $t$ di $T_p$ per ritrovare la stessa somma) e non serve la convoluzione ciclica, che richiede entrambi i segnali periodici. Se le copie di $u*v$ non si sovrappongono (cioè se la durata di $u*v$, che è $D_u+D_v$, non supera $T_p$) si calcola $u*v$ una volta sola e lo si ripete; altrimenti si sommano le copie.

Due conseguenze utili. L'area di $u*v$ su un periodo è $\operatorname{area}(u)\operatorname{area}(v)$, quindi il valor medio del risultato è $$m_{u*s}=\frac{\operatorname{area}(u)\operatorname{area}(v)}{T_p}=\operatorname{area}(u)\,m_s:$$ l'uscita ha il valor medio dell'ingresso periodico moltiplicato per l'area di $u$ (la stessa regola del filtraggio, $m_y=G(0)m_x$). E i coefficienti di Fourier di $u*s$ sono $U(nF)\,S_n$, con $F=\frac1{T_p}$ e $U$ trasformata di $u$ (Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): la convoluzione con un segnale aperiodico moltiplica ogni armonica per un numero, senza mescolarle.

Esempio. Siano $u(t)=\operatorname{tri}(t)$ (durata $2$, area $1$) e $s=\operatorname{rep}_4\operatorname{rect}(t)$, cioè impulsi unitari larghi $1$ ripetuti ogni $4$. Il periodo di $s$ centrato in $0$ è $v=\operatorname{rect}(t)$ e $$u*v(t)=\int_{t-1/2}^{t+1/2}\operatorname{tri}(w)\,dw:\quad u*v(0)=\tfrac34,\ \ u*v(\tfrac12)=\tfrac12,\ \ u*v(1)=\tfrac18,\ \ u*v(t)=0\ \text{per }|t|\ge\tfrac32$$ (a $t=0$ si integra $1-|w|$ su $[-\tfrac12,\tfrac12]$ e si trova $1-\tfrac14$; a $t=1$ resta solo $\int_{1/2}^1(1-w)dw=\tfrac18$). La durata è $2+1=3<4$: le copie non si sovrappongono e $u*s$ è la ripetizione di questo "triangolo smussato" ogni $4$, con valore $0$ in $t=2$ (a metà tra due copie). Il valor medio è $\frac{1\cdot1}4=0{,}25$. Verificato numericamente con $u*s$ calcolata su una griglia fitta: $0{,}7500;\ 0{,}5005;\ 0{,}1252$ nei tre punti, $0$ in $t=1{,}5$ e $t=2$, valor medio $0{,}2500$, e i coefficienti di Fourier $0{,}25\operatorname{sinc}^3\frac n4$ ($0{,}1824$ per $n=1$, $0{,}0645$ per $n=2$, $0{,}0068$ per $n=3$) coincidono con $U(nF)S_n=\operatorname{sinc}^2\frac n4\cdot\frac14\operatorname{sinc}\frac n4$.

Convoluzione e filtraggio

Nella pratica i due segnali non hanno lo stesso ruolo. Si scrive $$y(t)=\int g(t-u)\,x(u)\,du=g*x(t)$$ come modello di un dispositivo: $x$ è il segnale di ingresso, $y$ l'uscita e $g(t)$ la risposta impulsiva. Il nome è giustificato: con $x=\delta$ si ottiene $y=g$. Un dispositivo con $g=\delta$ lascia il segnale inalterato (trasformazione identica). Un tale dispositivo si chiama filtro e l'operazione filtraggio. L'uscita in $t$ è una media pesata di tutti i valori dell'ingresso, con pesi $g(t-u)$: per esempio con $g=\frac1D\operatorname{rect}\frac{t-D/2}{D}$ si ha la media mobile sugli ultimi $D$ secondi, e per un ingresso a gradino l'uscita è una rampa di durata $D$. I filtri, la risposta in frequenza e le proprietà come causalità e stabilità sono in Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva → e Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →; nel dominio della frequenza la convoluzione diventa un prodotto (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Per segnali a tempo discreto la convoluzione è una somma (Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →); la sua versione numerica è in Esercizio - laboratorio 2, convoluzione numerica.

Esercizi collegati

• Esercizio - proprietà della convoluzione
• Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari
• Esercizio - convoluzione di gradino ed esponenziali causali
• Esercizio - convoluzione ciclica di impulsi rettangolari periodici

Vedi anche la materia gemella: Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.