Campionamento e ricostruzione

Gran parte delle elaborazioni dei segnali si fa al calcolatore, che tratta solo segnali discreti. Il campionamento trasforma un segnale continuo $s(t)$ in uno discreto prendendone i valori a intervalli regolari; la domanda è quando, e come, da quei valori si può ricostruire il segnale continuo. La risposta è il teorema del campionamento.

Il campionamento

Definizione (campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$). Dato $s_0(t)$, $t\in\mathbb R$, il segnale campionato è $$s_c(nT)=s_0(nT),\qquad nT\in\mathbb Z(T).$$ $T$ è il periodo di campionamento e $F_c=\frac1T$ la frequenza di campionamento (campioni al secondo).

Esempio. Con $T=0{,}2$ ms si ha $F_c=5$ kHz (cinquemila campioni al secondo).

I due segnali non sono "uguali", perché definiti su domini diversi: $s_c$ è la restrizione di $s_0$ a $\mathbb Z(T)$. Il campionatore è un sistema lineare e istantaneo (il campione dipende solo dal valore dell'ingresso nello stesso istante), ma non è tempo-invariante: lo è solo per traslazioni multiple di $T$ ("periodicamente tempo-invariante"). Se campionato in due modi diversi, due segnali continui distinti possono dare gli stessi campioni: la perdita di informazione è il problema da capire.

Lo spettro del segnale campionato

Teorema (campionamento in frequenza). Se $s_0$ ha trasformata $S_0(f)$, il segnale campionato ha trasformata $$S_c(f)=\operatorname{rep}_{F_c}S_0(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S_0(f-kF_c):$$ la ripetizione periodica dello spettro con periodo $F_c$.

Dimostrazione. Si scrive $s_0(nT)=\int_{-\infty}^\infty S_0(\lambda)e^{i2\pi\lambda nT}d\lambda$ e si divide l'integrale in intervalli di lunghezza $F_c$: $\sum_k\int_{kF_c}^{(k+1)F_c}S_0(\lambda)e^{i2\pi\lambda nT}d\lambda$. Con $\lambda=f+kF_c$ e $e^{i2\pi kF_cnT}=e^{i2\pi kn}=1$ si ottiene $s_c(nT)=\int_0^{F_c}\big[\sum_kS_0(f+kF_c)\big]e^{i2\pi fnT}df$, che è proprio l'antitrasformata di una trasformata discreta (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →). $\square$

Esempio. Campionando $s_0(t)=\operatorname{sinc}(t/T)$ si ottiene $s_c(nT)=\delta_{n0}$ (il sinc vale $1$ in $0$ e si annulla in tutti gli altri multipli di $T$), cioè $T\,\delta(nT)$, con trasformata $T$ (costante). Dall'altra parte $S_0(f)=T\operatorname{rect}(f/F_c)$ e la sua ripetizione periodica di periodo $F_c$ è $T\sum_k\operatorname{rect}\frac{f-kF_c}{F_c}=T$ (i rect sono adiacenti e riempiono l'asse).

Aliasing

Ogni replica $S_0(f-kF_c)$ è centrata in $kF_c$. Se lo spettro è più largo del periodo, le repliche si sovrappongono e $S_c(f)$ è la somma di più contributi: non si può più separare $S_0(f)$ da $S_c(f)$. È l'aliasing (ripiegamento). Se invece $S_0(f)=0$ per $|f|>B$ e $F_c\ge2B$, le repliche non si toccano e $S_0$ si legge direttamente in $S_c$ per $|f|<B$.

Esempio. $s_0=\operatorname{sinc}^2(t)$ ha spettro $\operatorname{tri}(f)$, banda $B=1$. Con $F_c=3$ ($>2B$) le repliche sono separate; con $F_c=1{,}5$ ($<2B=2$) i triangoli centrati in $0$ e $\pm1{,}5$ si sovrappongono: in $f=0{,}6$ lo spettro vale $\operatorname{tri}(0{,}6)+\operatorname{tri}(0{,}6-1{,}5)=0{,}4+0{,}1=0{,}5$ invece di $0{,}4$.

Un segnale ottenuto da $e^{-t/D}\mathbf 1(t)$ non è a banda limitata: $S_0(f)=\frac{D}{1+i2\pi fD}$ decade solo come $\frac1f$. Il campionamento dà la serie $\sum_kS_0(f-kF_c)$ che si somma in forma chiusa dal segnale campionato, $s_c(nT)=a^n\mathbf 1(nT)$ con $a=e^{-T/D}$ (ma con $s_c(0)=\frac12$ per l'emivalore): $S_c(f)=T\Big[\frac12+\frac{z}{1-z}\Big]$, $z=e^{-T/D}e^{-i2\pi fT}$. Con $D/T=2$, $T=1$, $f=0{,}2$: $S_c=0{,}3183-0{,}5809\,i$ (la serie troncata a $\pm20000$ termini dà lo stesso valore). C'è sempre aliasing.

Nel dominio del tempo l'aliasing si vede così: i segnali continui $\cos2\pi f_0t$ e $\cos2\pi(f_0+F_c)t$ hanno gli stessi campioni.

Interpolazione

L'operazione inversa parte da un segnale discreto e produce uno continuo.

Definizione (filtro interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$). Dato un segnale discreto $s(nT)$ e un segnale continuo $g(t)$ (la risposta impulsiva dell'interpolatore), l'uscita è $$\tilde s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,g(t-nT)\,s(nT)=\sum_{n}s(nT)\,g_0(t-nT),\qquad g_0(t)=T\,g(t)\ \ (\text{funzione interpolatrice}).$$

Il nome "risposta impulsiva" è giustificato: all'ingresso $\delta(nT)$ (valore $\frac1T$ in $0$) l'uscita è $\tilde s(t)=T\,g(t)\frac1T=g(t)$. L'interpolatore è lineare, tempo-invariante ma non istantaneo (l'uscita in $t$ dipende da tutti i campioni) e causale se $g(t)=0$ per $t<0$. L'uscita è la somma di copie traslate di $g_0$, ciascuna centrata in un campione e moltiplicata per il suo valore.

Condizione di corretta interpolazione. Si ha $\tilde s(nT)=s(nT)$ (l'uscita passa per i campioni) per ogni segnale se e solo se $$g_0(0)=1,\qquad g_0(mT)=0\ \ (m\ne0):$$ la funzione interpolatrice vale $1$ nell'origine e si annulla negli altri istanti di campionamento (così la copia di un campione non disturba gli altri).

Esempi di interpolazione (per $T=1$), tutti con $g_0(0)=1$ e $g_0(m)=0$ salvo l'ultimo:

• a tenuta (hold): $g_0=\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}T\big)$ (vale $1$ su $[0,T)$): l'uscita è una scala che mantiene ogni valore per $T$;
• lineare: $g_0=\operatorname{tri}(t/T)$: collega i punti con segmenti;
• ideale (sinc): $g_0=\operatorname{sinc}(t/T)$, quella prevista dal teorema del campionamento;
• gaussiana: $e^{-\alpha(t/T)^2}$ non verifica la condizione di corretta interpolazione ma dà un buon risultato.

In frequenza. Trasformando la definizione e usando $g(t-nT)\to G(f)e^{-i2\pi fnT}$: $$\tilde S(f)=G(f)\sum_nT\,s(nT)e^{-i2\pi fnT}=G(f)\,S(f),$$ dove $S$ è la trasformata del segnale discreto (periodica di periodo $F_c$) e $G$ è la risposta in frequenza dell'interpolatore (aperiodica): il prodotto è aperiodico, come deve essere per la trasformata di un segnale continuo. L'interpolatore si comporta come un filtro (Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →). La cascata di un interpolatore con risposta impulsiva $g_1$ e di un filtro continuo $g_2$ è un interpolatore con risposta impulsiva $g=g_1*g_2$.

Esempio. L'interpolatore a tenuta ha $G(f)=\operatorname{sinc}(fT)e^{-i\pi fT}$ ($g=\frac1T\operatorname{rect}\frac{t-T/2}T$): attenua le alte frequenze, fino a $\operatorname{sinc}(0{,}5)=0{,}637$ ($-3{,}92$ dB) alla frequenza di Nyquist $F_c/2$, e ritarda di $T/2$. Per questo un convertitore digitale-analogico reale a tenuta ha bisogno di un filtro di ricostruzione che compensi.

Campionamento seguito da interpolazione

Combinando i due blocchi, l'uscita dipende dai campioni di $s_0$: $$\tilde s(t)=\sum_{n}s_0(nT)\,g_0(t-nT),\qquad \tilde S(f)=G(f)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S_0(f-kF_c).$$ Senza ipotesi sul segnale non si recupera $s_0$ (il campionamento perde informazione).

Il teorema del campionamento

Teorema (del campionamento). Sia $s(t)$ un segnale con estensione spettrale limitata, $E[s]\subseteq(-B,B)$, $B<\infty$. Se la frequenza di campionamento soddisfa $$F_c\ge2B$$ (condizione di non aliasing), il segnale è esattamente ricostruibile dai campioni $s(nT)$, $T=1/F_c$, con l'interpolatore ideale di risposta in frequenza $Q(f)=\operatorname{rect}\left(\frac f{F_c}\right)$, cioè funzione interpolatrice $q_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$: $$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\,\operatorname{sinc}\big(F_c(t-nT)\big).$$

Esempio. Il segnale $A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$ con $F_0=2$ MHz ha spettro triangolare $\frac{A_0}{F_0}\operatorname{tri}(f/F_0)$, estensione $(-F_0,F_0)$, banda $B=F_0=2$ MHz: la minima frequenza di campionamento è $F_c=2B=4$ MHz.

Dimostrazione. Per la ripetizione periodica $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$ le repliche non si sovrappongono se $F_c\ge2B$, quindi nella banda $\big(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\big)$ vale $S_c(f)=S(f)$. Moltiplicando per $Q(f)=\operatorname{rect}(f/F_c)$ (che vale $1$ nell'intervallo e $0$ fuori) si seleziona la replica principale: $\tilde S(f)=Q(f)S_c(f)=S(f)$. Per l'unicità della antitrasformata $\tilde s=s$. $\blacksquare$

Osservazioni:

• La dimostrazione è costruttiva: dice anche come ricostruire. Si può vedere come interpolazione (ogni campione è moltiplicato per un sinc centrato in $nT$ e si sommano i contributi; $\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$ vale $1$ in $nT$ e $0$ negli altri campioni, quindi verifica la corretta interpolazione) oppure come filtraggio passa-basso ideale del segnale campionato.
• La limitazione in banda è necessaria ma non sufficiente: con $F_c<2B$ c'è aliasing anche se il segnale è a banda limitata.
• Il filtro ideale non è causale (comincia a rispondere prima dell'arrivo del campione): la ricostruzione esatta non si può fare in tempo reale, in pratica si usa un filtro reale e c'è un errore.
• La frequenza di Nyquist è $F_N=\frac{F_c}2$ (la banda del filtro ideale). Se $F_c>2B$ (sovracampionamento) il filtro può avere una risposta arbitraria nella zona di transizione: $Q_\alpha(f)=1$ per $|f|<B$, $=0$ per $|f|>F_c-B$, qualunque tra $B$ e $F_c-B$: un raccordo graduale facilita la realizzazione.
• Segnali con banda non attorno all'origine (passa-banda). Un segnale reale con spettro in $f_L<|f|<f_H$ ha banda $B=f_H$, e la regola $F_c\ge2f_H$ funziona; ma se la banda occupata è stretta ($W=f_H-f_L\ll f_H$) esistono frequenze di campionamento più basse per le quali le repliche non si sovrappongono, della forma $\frac{2f_H}m\le F_c\le\frac{2f_L}{m-1}$ con $m$ intero, $m\le\lfloor f_H/W\rfloor$ (con ricostruzione tramite filtro passa-banda). Esempio. Il segnale $A_0\operatorname{sinc}(F_0t)\cos(2\pi f_0t)$ con $F_0=2$ kHz, $f_0=1$ MHz ha spettro in $f_0\pm\frac{F_0}2$: la condizione di non aliasing con banda $B=f_0+\frac{F_0}2=1{,}001$ MHz richiede $F_c\ge2{,}002$ MHz; sfruttando la banda stretta ($W=2$ kHz, $m=500$) basta $F_c=2\cdot1001/500=4{,}004$ kHz (verificato calcolando le repliche: a $4{,}004$ kHz non si sovrappongono, a $0{,}99\cdot4{,}004$ sì).

Errori di ricostruzione

Se le ipotesi non valgono, la ricostruzione $\tilde s$ differisce da $s$ di un errore $e(t)=\tilde s(t)-s(t)$. Anche con interpolatore ideale (rect su $\big(-\frac{F_c}2,\frac{F_c}2\big)$) ci sono due cause:

• errore in banda: le repliche $S(f-kF_c)$, $k\ne0$, che cadono dentro la banda del filtro (aliasing);
• errore fuori banda: la parte di $S(f)$ oltre $\frac{F_c}2$, tagliata dal filtro.

La qualità si misura col rapporto segnale/disturbo $\Lambda=\frac{\text{potenza del segnale}}{\text{potenza dell'errore}}$ (di solito in dB, da $30$ dB per prestazioni modeste a $90\div100$ dB per l'altissima qualità).

Esempio. Segnale $e^{-t}\mathbf 1(t)$ ($E=\frac12$) campionato con $F_c=2$ Hz e ricostruito con l'interpolatore ideale: l'errore fuori banda è $2\int_1^\infty\frac{df}{1+4\pi^2f^2}=0{,}0502$ e quello in banda $0{,}0151$; l'energia dell'errore è $0{,}0653$ e $\Lambda=9{,}0$ dB (calcolando direttamente $\sum s(nT)\operatorname{sinc}(\cdot)-s$ si trova $0{,}0651$). Il segnale decresce lentamente in frequenza, quindi servirebbe un $F_c$ molto più alto.

Prefiltro anti-aliasing. Prima del campionatore si inserisce un filtro passa-basso di banda $\frac{F_c}2$: elimina le componenti fuori banda e quindi l'errore in banda (il segnale campionato è a banda limitata); rimane solo l'errore fuori banda, che è inevitabile perché quelle componenti sono perse. Nell'esempio precedente l'errore scende a $0{,}0502$ e $\Lambda$ sale a $10{,}0$ dB. In pratica l'errore in banda e quello fuori banda contribuiscono in modo simile alla potenza dell'errore, quindi il prefiltro porta un miglioramento fino a $3$ dB.

Campionamento di un segnale discreto (decimazione)

Si può anche campionare un segnale già discreto, tenendo solo i campioni nei multipli di $T'=NT$: $y_d(nT')=y(nT')$, e la velocità scende da $F_p=\frac1T$ a $F_p'=\frac1{T'}$. In frequenza la trasformata (periodica di periodo $F_p$) si ripiega: $$Y_d(f)=\sum_{k=0}^{N-1}Y\big(f-kF_p'\big),$$ cioè somma di $N$ repliche traslate di $F_p'$. Se $Y$ è nulla per $F_p'/2<|f|<F_p/2$ (banda minore di $F_p'/2$) non c'è aliasing. Il caso inverso è l'interpolatore $\mathbb Z(T')\to\mathbb Z(T)$: $y(nT)=\sum_mT'\,g(nT-mT')\,s(mT')$ con $Y(f)=G(f)S(f)$. Si verificano con la stessa tecnica (cambio di indice nelle somme); gli esami usano queste catene (campionatore, decimatore, interpolatore, filtro) come schemi a blocchi.

Esempio. Con $N=4$, $T=1$ e un segnale casuale di $30$ campioni, $Y_d(0{,}037)$ calcolato dai campioni decimati coincide a quindici cifre con $\sum_{k=0}^{3}Y(0{,}037-k/4)$.

Esercizi collegati

• Esercizio - modulazione discreta e campionamento di un sinc
• Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026)
• Esercizio - sinc modulato, estensione spettrale e campionamento a massima efficienza (prova scritta del 3 settembre 2025)
• Esercizio - cascata di filtri discreti con decimazione (prova scritta del 17 settembre 2025)
• Esercizio - cascata filtro con due impulsi, campionatore e finestra (prova scritta dell'11 luglio 2025)
• Esercizio - decimazione, interpolazione esponenziale e convoluzione di segnali discreti (prova scritta del 19 giugno 2025)
• Esercizio - segnale discreto esponenziale, finestra triangolare e campionamento (prova scritta del 3 settembre 2025)
• Esercizio - laboratorio 4, segnali continui aperiodici e risoluzione

Vedi anche la materia gemella: Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →, Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson → e Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →.