Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali

In questa nota si raccolgono i segnali di cui si farà uso continuo: per i calcoli di area ed energia (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →), per la convoluzione (ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →) e come "mattoni" per costruire altri segnali. Per le operazioni su un segnale (traslare, ribaltare, cambiare scala) si veda Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →. Si usa la notazione del corso: frequenza $f$ in Hz, $\omega_0=2\pi f_0$ pulsazione, unità immaginaria $i$.

Segnali periodici: costante, sinusoide ed esponenziale complesso

Definizione (costante). $s(t)=A$, con $A$ complesso. È pari, con valor medio $A$ e potenza $|A|^2$; si può considerare periodico con un periodo qualunque.

Definizione (sinusoide). $s(t)=A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$, con ampiezza $A_0>0$, frequenza $f_0>0$ (pulsazione $\omega_0=2\pi f_0$) e fase $\varphi_0$. È periodica di periodo $T_0=1/f_0$, ha valor medio nullo e potenza $\frac12A_0^2$.

Esempio. $s(t)=4\cos(2\pi\cdot3\,t+0{,}7)$ ha periodo $T_0=\frac13$ s e potenza $\frac{16}{2}=8$: mediando $s^2$ su un periodo si ottiene proprio $8$.

La sinusoide si scrive anche come $A_0\cos\varphi_0\cos\omega_0t-A_0\sin\varphi_0\sin\omega_0t$ (somma di un coseno, parte pari, e di un seno, parte dispari). Con le formule di Eulero $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2,\qquad \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ una sinusoide è somma di due esponenziali complessi con frequenze opposte: $$A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)=\tfrac12A_0e^{i\varphi_0}e^{i2\pi f_0t}+\tfrac12A_0e^{-i\varphi_0}e^{-i2\pi f_0t}=\Re\big[A\,e^{i2\pi f_0t}\big],\quad A=A_0e^{i\varphi_0}.$$

Definizione (esponenziale complesso). $s(t)=A\,e^{i2\pi f_0t}$ con $A$ complesso e $f_0$ reale, anche negativa. Modulo $|s(t)|=|A|$ costante e fase $2\pi f_0t+\arg A$ che cresce linearmente. È periodico di periodo $1/|f_0|$, ha potenza $|A|^2$.

Esempio. $s(t)=2e^{i2\pi t}$ ha modulo $2$ e percorre la circonferenza di raggio $2$ nel piano complesso con un giro al secondo; $\Re s=2\cos2\pi t$ e $\Im s=2\sin2\pi t$. Con $f_0=-1$ gira in senso opposto.

Le frequenze negative non hanno significato fisico: sono una conseguenza della formula di Eulero (una sinusoide reale ha sempre frequenza positiva), ma rendono molto più semplici tutte le formule seguenti.

Gradino e segno

Definizione (gradino e segno). $$\mathbf 1(t)=\begin{cases}0&t<0\\ 1&t>0\end{cases},\qquad \operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}-1&t<0\\ 1&t>0\end{cases}$$ con $\mathbf 1(0)=\frac12$ e $\operatorname{sgn}(0)=0$ per la regola dell'emivalore. Valgono $\mathbf 1(t)=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}(t)$ e $\operatorname{sgn}(t)=\mathbf 1(t)-\mathbf 1(-t)$.

Esempio. Il gradino di ampiezza $A_0$ applicato in $t_0$, $A_0\mathbf 1(t-t_0)$, è aperiodico, di durata illimitata, ha valor medio $\frac12A_0$ e potenza $\frac12A_0^2$: infatti $\frac1{2T}\int_0^T A_0^2dt\to\frac12A_0^2$. La sua area è invece infinita.

La scomposizione $\mathbf 1=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}$ separa il valor medio $\frac12$ (componente continua) da una parte dispari a valor medio nullo. Il gradino serve anche a troncare un segnale: $s(t)\mathbf 1(t)$ è la sua parte causale. La rampa $\beta\,t\,\mathbf 1(t)$ ha derivata $\beta\mathbf 1(t)$ (e la derivata del gradino è l'impulso, si veda Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →).

Impulsi: rect, tri e sinc

Sono i segnali "localizzati" (energia finita), costruiti su tre funzioni elementari.

Definizione (rect). $\operatorname{rect}(x)=1$ per $|x|<\frac12$, $0$ per $|x|>\frac12$, e $\frac12$ in $x=\pm\frac12$ (emivalore). L'impulso rettangolare di ampiezza $A_0$, durata $D$ e centro $t_0$ è $$r(t)=A_0\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}D\right)=A_0\big[\mathbf 1(t-t_1)-\mathbf 1(t-t_2)\big],\quad t_{1,2}=t_0\mp\tfrac D2.$$ Ha estensione $[t_1,t_2]$, area $A_0D$ ed energia $A_0^2D$.

Esempio. $r(t)=3\operatorname{rect}(t/2)$ vale $3$ per $|t|<1$: durata $D=2$, area $3\cdot2=6$, energia $3^2\cdot2=18$.

Moltiplicare un segnale per $\operatorname{rect}\big(\frac{t-t_0}D\big)$ lo tronca: lo lascia uguale a sé stesso in $(t_0-\frac D2,t_0+\frac D2)$ e lo annulla fuori.

Definizione (triangolo). $\operatorname{tri}(x)=1-|x|$ per $|x|<1$, $0$ altrove (nei testi del corso "triang" o $\triangle$). L'impulso triangolare $A_0\operatorname{tri}\big(\frac{t-t_0}D\big)$ ha durata $2D$, area $A_0D$ ed energia $\frac23A_0^2D$. Si ottiene come convoluzione di due rect: $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\operatorname{tri}$ (si veda ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →).

Esempio. $\operatorname{tri}(t)$ ha area $\int_{-1}^1(1-|t|)dt=1$ ed energia $2\int_0^1(1-t)^2dt=\frac23$.

Definizione (sinc). $\operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin\pi x}{\pi x}$, prolungata con $\operatorname{sinc}(0)=1$. Si annulla in $x=\pm1,\pm2,\dots$, ha il massimo $1$ nell'origine ed è pari. L'impulso $A_0\operatorname{sinc}\big(\frac{t-t_0}T\big)$ ha il massimo $A_0$ in $t_0$, si annulla in $t_0\pm nT$, ha area $A_0T$ ed energia $A_0^2T$ (valori che si ricavano facilmente con la trasformata di Fourier, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →).

Esempio. $\operatorname{sinc}(0{,}5)=\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac2\pi=0{,}637$; $\operatorname{sinc}(1)=0$; $\operatorname{sinc}(2{,}5)=0{,}127$. Numericamente $\int_{-2000}^{2000}\operatorname{sinc}=0{,}9999$ e $\int_{-2000}^{2000}\operatorname{sinc}^2=0{,}99995$ (area ed energia valgono $1$).

Il sinc decade come $\frac1{\pi|t|}$: non è assolutamente integrabile (l'area esiste solo come valore principale), ma ha energia finita perché $\frac1{t^2}$ è integrabile all'infinito. Perciò il sinc è un esempio di segnale per cui l'integrale dell'area va preso con cautela.

Esponenziali reali e complessi smorzati

Definizione (gaussiana). $s(t)=e^{-\pi t^2}$ (impulso gaussiano): pari, positivo, area $1$, energia $\frac1{\sqrt2}$. Per $e^{-\pi\alpha t^2}$ l'area è $\frac1{\sqrt\alpha}$.

Esempio. Per l'area $A$ si usa un trucco: $A^2=\iint e^{-\pi(t^2+u^2)}dt\,du$, che in coordinate polari (Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →) diventa $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty\rho\,e^{-\pi\rho^2}d\rho\,d\theta=2\pi\cdot\frac1{2\pi}=1$, quindi $A=1$. L'energia è l'area di $e^{-2\pi t^2}$, cioè $\frac1{\sqrt2}=0{,}7071$.

Definizione (esponenziali smorzati). Con $\alpha>0$:

• $e^{-\alpha|t|}$ (bilatero, pari): area $\frac2\alpha$, energia $\frac1\alpha$;
• $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ (causale): area $\frac1\alpha$, energia $\frac1{2\alpha}$;
• $e^{p_0t}\mathbf 1(t)$ con $p_0=\sigma_0+i\omega_0$ e $\sigma_0<0$ (esponenziale causale smorzato complesso): area $-\frac1{p_0}$, energia $-\frac1{2\sigma_0}$.

Esempio. Con $\alpha=2$: $e^{-2|t|}$ ha area $1$ ed energia $\frac12$; $e^{-2t}\mathbf 1(t)$ ha area $\frac12$ ed energia $\frac14$. Con $p_0=-1+2i$: area $-\frac1{-1+2i}=\frac{1+2i}5=0{,}2+0{,}4i$ ed energia $\frac12$ (il modulo è $e^{-t}$ perché $|e^{i2t}|=1$).

La parte reale $e^{\sigma_0t}\cos(\omega_0t)\mathbf 1(t)$ e quella immaginaria $e^{\sigma_0t}\sin(\omega_0t)\mathbf 1(t)$ sono sinusoidi causali smorzate: un'oscillazione la cui ampiezza decresce esponenzialmente (la risposta tipica di un circuito RLC, si veda Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →). L'esponenziale causale reale è la scarica di un condensatore (Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →).

Riepilogo: area, energia e potenza

Un segnale ad energia finita ha potenza nulla; uno a potenza finita non nulla ha energia infinita (si veda Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →). Le coppie con le rispettive trasformate di Fourier sono nelle tabelle di Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →; i sinc compaiono in modo naturale come trasformata del rect, per la regola di simmetria.

Esercizi collegati

• Esercizio - area ed energia di un segnale e cambio di scala
• Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari

Vedi anche la materia gemella: Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →.