Esercizio - corpo che cade nell'atmosfera - equazione differenziale del primo ordine

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Testo (dispense del corso, Esempio 12.3A e Esempio 12.5A, con 12.4A e 12.6B). Un corpo di massa $m$ cade verticalmente nell'atmosfera. Dall'istante $t_0=0$ è soggetto alla forza di gravità verso il basso $F(t)=g\,m\,1(t)$ e a una forza d'attrito verso l'alto $k\,v(t)$, proporzionale alla velocità istantanea $v(t)$. La velocità iniziale è $v_0=v(0)$. L'equazione del moto è

$$m\,v'(t)+k\,v(t)=g\,m\,1(t),\qquad t>0.$$

Si interpreta la forza $F$ come ingresso e la velocità $v$ come uscita: sistema del primo ordine con $a_1=m$ e $a_0=k$.

1. Trovare con il metodo della soluzione dell'equazione la velocità $v(t)$, distinguendo risposta libera e risposta forzata.
2. Calcolare la costante di tempo, la velocità limite e il tempo necessario per arrivare al $95\%$ di essa.
3. Rifare il calcolo con la trasformata di Laplace e dedurre funzione di trasferimento e risposta impulsiva.
4. Confrontare il sistema con un filtro RC.

Dati numerici per i conti: $m=80\ \mathrm{kg}$, $k=16\ \mathrm{kg/s}$, $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$, $v_0=60\ \mathrm{m/s}$ (e, per confronto, $v_0=0$).

Teoria usata: Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata g*x. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →. Per l'attrito e per la parte meccanica: Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →.

Convenzioni delle dispense di questo capitolo: l'equazione si scrive $a_nv^{(n)}(t)+\dots+a_1v'(t)+a_0v(t)=x(t)$; il polinomio caratteristico è $h(p)=a_np^n+\dots+a_0$ e la variabile della trasformata di Laplace si chiama $p$. Il gradino $1(t)$ è il gradino continuo (non conta il valore in $0$, perché si lavora per $t>0$).

(1) Soluzione dell'equazione: libera e forzata

Polinomio caratteristico e omogenea. Con $a_1=m$ e $a_0=k$ il polinomio è $h(p)=mp+k$, con l'unica radice semplice $$p_1=-\frac km.$$ L'esponenziale $e^{p_1t}=e^{-kt/m}$ risolve l'omogenea $mv'+kv=0$: infatti $m\cdot\left(-\frac km\right)e^{-kt/m}+k\,e^{-kt/m}=0$. La soluzione generale dell'omogenea è quindi $v_h(t)=\alpha\,e^{-kt/m}$, con $\alpha$ costante da fissare con la condizione iniziale.

Soluzione particolare. Il gradino $F=g\,m\,1(t)$ per $t>0$ vale la costante $g\,m$; per cercare una soluzione particolare si estende il segnale a tutto l'asse ponendo $x(t)=g\,m$ per ogni $t$ (la parte antecedente a $t=0$ non cambia l'uscita per $t>0$ se le condizioni iniziali sono fissate). Si prova una velocità costante $v_p$: $$m\cdot0+k\,v_p=g\,m\ \Rightarrow\ v_p=\frac{g\,m}{k}.$$ È la velocità alla quale la forza d'attrito $k v_p$ compensa la gravità $g m$: la derivata si annulla e il corpo non accelera più.

Soluzione generale e condizione iniziale. $v(t)=\frac{gm}{k}+\alpha\,e^{-kt/m}$. Imponendo $v(0)=v_0$ si ha $\frac{gm}k+\alpha=v_0$, quindi $\alpha=v_0-\frac{gm}{k}$ e $$v(t)=\frac{gm}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)+v_0\,e^{-kt/m},\qquad t>0.$$ (Come passaggio: $\frac{gm}{k}+\left(v_0-\frac{gm}{k}\right)e^{-kt/m}=\frac{gm}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)+v_0e^{-kt/m}$.)

I due addendi sono le due componenti del sistema (Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata g*x. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →):

• risposta forzata $v_f(t)=\frac{gm}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)$: quella che si ha con $v_0=0$, cioè il corpo parte da fermo. Dipende solo dall'ingresso $F$ ed è proporzionale a $g\,m$;
• risposta libera $v_\ell(t)=v_0\,e^{-kt/m}$: quella che si ha senza forza motrice ($g=0$). Dipende solo da $v_0$ ed è proporzionale a $v_0$ (lineare nello stato iniziale).

Il caso $v_0=0$ dà $v=v_f$; se invece $v_0>v_\infty$ (definito sotto) il corpo viene frenato: la libera domina all'inizio e $v$ decresce.

(2) Costante di tempo, velocità limite, tempo di assestamento

• Costante di tempo $\tau=\dfrac{m}{k}$. Con i dati: $\tau=\dfrac{80}{16}=5\ \mathrm{s}$. È il tempo in cui l'esponenziale $e^{-t/\tau}$ scende a $e^{-1}\approx0{,}368$ del valore iniziale; in unità di misura $\mathrm{kg}/(\mathrm{kg/s})=\mathrm{s}$ ✓.
• Velocità limite $v_\infty=\dfrac{g\,m}{k}$. Con i dati: $v_\infty=\dfrac{9{,}81\cdot80}{16}=49{,}05\ \mathrm{m/s}$. Compare in entrambe le forme di $v$: $v(t)=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t/\tau}$.
• Pendenza iniziale $v'(0)=\dfrac{gm-kv_0}{m}$ (dall'equazione stessa): con $v_0=0$ vale $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ (caduta libera); con $v_0=60$ vale $\frac{784{,}8-960}{80}=-2{,}19\ \mathrm{m/s^2}$, perché a $60\ \mathrm{m/s}$ l'attrito ($960\ \mathrm N$) supera il peso ($784{,}8\ \mathrm N$).
• Tempo di assestamento al $95\%$: la parte forzata raggiunge $1-e^{-t/\tau}=0{,}95$ quando $e^{-t/\tau}=0{,}05$, cioè $t=-\tau\ln0{,}05=\tau\ln20\approx3\tau=14{,}98\ \mathrm s$ (al $99\%$: $\tau\ln100=23{,}03\ \mathrm s$).

Valori dell'esempio con $v_0=60$: $v(0)=60$, $v(5)=49{,}05+10{,}95\,e^{-1}=53{,}08$, $v(10)=50{,}53$, $v(25)=49{,}12$ m/s; la libera $v_\ell=60e^{-t/5}$ scende a $22{,}07$ in $t=5$ e a $0{,}40$ in $t=25$.

(3) Con la trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace unilatera della derivata è $\mathcal L[v'](p)=pV(p)-v_0$ (compare la condizione iniziale). Trasformando l'equazione, con $\mathcal L[g\,m\,1(t)]=\frac{g\,m}{p}$: $$m\left(pV-v_0\right)+kV=\frac{gm}{p}\ \Rightarrow\ (mp+k)V(p)=\frac{gm}{p}+m\,v_0.$$ Quindi $V(p)=V_f(p)+V_\ell(p)$ con $$V_f(p)=\frac{1}{mp+k}\cdot\frac{gm}{p},\qquad V_\ell(p)=\frac{m\,v_0}{mp+k}=\frac{v_0}{p+k/m}.$$ Il primo termine è $G(p)X(p)$ con ingresso $X(p)=gm/p$ e funzione di trasferimento $$G(p)=\frac{1}{mp+k}=\frac{1/m}{p+k/m}.$$ Il secondo è l'evoluzione libera, che si può scrivere come $G(p)X_0(p)$ con segnale fittizio $x_0$ di trasformata costante $mv_0$ (cioè un impulso $m\,v_0\,\delta(t)$: la velocità iniziale è come se fosse impressa da un colpo istantaneo).

Antitrasformando (Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali → per la scomposizione in fratti semplici): $$V_f(p)=\frac{gm}{k}\left[\frac1p-\frac1{p+k/m}\right]\ \Rightarrow\ v_f(t)=\frac{gm}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)1(t);\qquad v_\ell(t)=v_0\,e^{-kt/m}1(t).$$ È lo stesso risultato del punto (1) (Esempio 12.6B per la libera). Il controllo con un calcolo simbolico (sympy) della somma $V_f+V_\ell$ dà $\frac{(gm\,e^{kt/m}-gm+kv_0)e^{-kt/m}}{k}$, identica a $v(t)$ ✓.

Risposta impulsiva. $G(p)=\frac{1}{m}\cdot\frac1{p+k/m}$ si antitrasforma in $$g(t)=\frac1m\,e^{-kt/m}\,1(t).$$ Significato fisico: è la velocità dovuta a una forza impulsiva unitaria (un urto di impulso $1\ \mathrm{N\,s}$), che dà subito la velocità $1/m$ e poi si smorza per attrito. L'area di $g$ è $\int_0^\infty\frac1me^{-t/\tau}dt=\frac\tau m=\frac1k$, uguale a $G(0)=\frac1k$ (guadagno in continua): con forza costante $F_0$ la velocità limite è $F_0/k$; con $F_0=gm$ si ritrova $v_\infty$ ✓.

Stabilità. Il polo $p_1=-k/m=-0{,}2\ \mathrm{s^{-1}}$ è reale negativo: il sistema è stabile e $g(t)$ è sommabile. In frequenza $G(i2\pi f)=\dfrac{1/k}{1+i2\pi f\tau}$ è un passa-basso del primo ordine con guadagno $1/k=0{,}0625\ \mathrm{(m/s)/N}$ e frequenza di taglio $f_t=\frac1{2\pi\tau}=0{,}0318\ \mathrm{Hz}$ (Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →).

(4) Confronto con il filtro RC

Un circuito RC con ingresso $v_{in}(t)$ e uscita la tensione sul condensatore $v_C$ soddisfa $RC\,v_C'+v_C=v_{in}$ (Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →). Dividendo l'equazione del corpo per $k$: $$\frac mk\,v'+v=\frac{g\,m}{k}\,1(t).$$ È la stessa equazione, con le corrispondenze

Quindi il corpo che cade si comporta come un condensatore che si carica: la risposta al gradino di un RC è $v_C(t)=V_0\left(1-e^{-t/RC}\right)+v_C(0)e^{-t/RC}$, identica alla $v(t)$ del punto (1). Nell'equazione compare solo il prodotto $RC$, che corrisponde al rapporto $m/k$: più massa (più inerzia) o meno attrito rallentano l'assestamento, come un $RC$ più grande.

Verifica numerica

Integrazione numerica dell'equazione $v'=g-\frac km v$ con scipy.integrate.solve_ivp (precisione $10^{-10}$) su $0\le t\le30$ s e confronto con la formula: errore massimo $9{,}6\cdot10^{-10}$ m/s per $v_0=0$ e $1{,}4\cdot10^{-9}$ m/s per $v_0=60$. L'area numerica di $g(t)$ vale $0{,}0625=1/k$, e il calcolo simbolico con Laplace coincide con il risultato del punto (1).

Errori tipici.

• Dare per scontato che $v$ cresca sempre verso $v_\infty$: con $v_0>v_\infty$ la velocità diminuisce (e non c'è nessuna caduta libera iniziale).
• Dimenticare $v_0$ nell'equazione trasformata ($\mathcal L[v']=pV-v_0$): si perde la risposta libera.
• Confondere la forza $F=gm$ con l'ingresso "unitario": il guadagno del sistema è $1/k$, e $v_\infty=G(0)\cdot gm$.

Vedi anche: Esercizio - massa e molla - equazione differenziale del secondo ordine (stesso schema, ordine 2) e, per la materia gemella, Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →.