Esercizio - integratore a finestra mobile e integratore discreto, risposta, causalità e stabilità

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Testo (dispense del corso, Cap. 9; esercizi 9.1B, 9.1C, 9.5A, 9.5B).

• Es. 9.1B. Considerata la trasformazione continua $y(t)=\displaystyle\int_{t-T}^{t}x(u)\,du$, con $T>0$ (Esempio 9.1B), calcolare la sua risposta $y(t)$ al segnale d'ingresso $x(t)=\mathbf 1(t)$.
• Es. 9.1C. Considerata la trasformazione discreta $y(nT)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{n}T\,x(kT)$ (integratore discreto, Esempio 9.1C), calcolare la sua risposta $y(nT)$ al segnale d'ingresso $x(kT)=\mathbf 1_0(kT)\,\alpha^k$.
• Es. 9.5A. Dire se la trasformazione dell'Esempio 9.1B è causale.
• Es. 9.5B. Dire se la trasformazione LTI discreta con risposta impulsiva $g(nT)=\mathbf 1_0(nT)\,\alpha^n$ è stabile.

Teoria usata: Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà → (causalità, memoria, stabilità BIBO), Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →.

Convenzioni: $\mathbf 1(t)$ è il gradino continuo (vale $0$ per $t<0$ e $1$ per $t>0$; il valore in $0$ non conta dentro un integrale), $\mathbf 1_0(nT)$ è il gradino discreto, con $\mathbf 1_0(0)=1$. Sul dominio discreto $\mathbb Z(T)$ l'integrale è la somma pesata con $T$, quindi $\sum_k T\,x(kT)$ è "l'area" del segnale.

(1) Risposta al gradino dell'integratore a finestra mobile (Es. 9.1B)

Che cosa fa la trasformazione. In ogni istante $t$ l'uscita è l'area che il segnale d'ingresso ha sotto di sé nell'ultima finestra di durata $T$, cioè nell'intervallo $[t-T,\,t]$. La finestra "scorre" insieme a $t$, da qui il nome (integratore a finestra mobile).

Calcolo. Con $x(u)=\mathbf 1(u)$ l'integrando vale $0$ per $u<0$ e $1$ per $u>0$. Il risultato dipende da dove cade l'intervallo $[t-T,\,t]$ rispetto all'origine $u=0$, dove il gradino cambia valore. I casi possibili sono tre:

1. $t\le 0$. L'intervallo $[t-T,t]$ sta tutto a sinistra dell'origine (anche l'estremo destro $t$ è $\le 0$): l'integrando è $0$ ovunque, quindi $y(t)=0$.
2. $0<t<T$. L'estremo sinistro $t-T$ è negativo e l'estremo destro $t$ è positivo: l'origine cade dentro la finestra. La parte $[t-T,\,0]$ contribuisce $0$, la parte $[0,\,t]$ contribuisce $\int_0^t 1\,du=t$. Quindi $y(t)=t$.
3. $t\ge T$. Ora anche l'estremo sinistro $t-T\ge 0$: la finestra è tutta nella zona dove il gradino vale $1$, e $y(t)=\int_{t-T}^{t}1\,du=T$.

$$\boxed{\,y(t)=\begin{cases}0 & t\le 0\\ t & 0<t<T\\ T & t\ge T\end{cases}\;=\;t\,\mathbf 1(t)-(t-T)\,\mathbf 1(t-T)\,}$$

Controllo con le proprietà di linearità e tempo-invarianza. Il termine $t\,\mathbf 1(t)$ è la risposta al gradino dell'integratore ideale $\int_{-\infty}^t x(u)\,du$ (la rampa, Esempio 9.2H delle dispense). La finestra mobile si scrive come differenza di due integratori ideali: $$y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(u)\,du-\int_{-\infty}^{t-T}x(u)\,du ,$$ e il secondo è il primo ritardato di $T$. Per la tempo-invarianza la sua risposta è la rampa ritardata $(t-T)\mathbf 1(t-T)$, che sottratta alla prima dà proprio la formula scritta sopra. Equivalentemente: la risposta impulsiva è $g(t)=\operatorname{rect}\!\big(\tfrac{t-T/2}{T}\big)$ (la verifica è nel punto (3)) e la risposta al gradino è l'integrale $\int_{-\infty}^t g(u)\,du$, che dà ancora la rampa che si ferma.

Valori numerici con $T=2$ (verificati integrando numericamente con Python): $y(-1)=0$, $y(0)=0$, $y(0{,}5)=0{,}5$, $y(1)=1$, $y(1{,}5)=1{,}5$, $y(2)=2$, $y(3)=2$, $y(5)=2$.

Lettura del risultato. L'uscita cresce linearmente finché la finestra "si riempie" di gradino, e quando la finestra è tutta dentro la zona dove $x=1$ non può più crescere: si ferma al valore $T\cdot 1$. In generale il valore massimo dell'uscita è $T\,L_x$ se $\lvert x\rvert\le L_x$: lo ritroveremo nella stabilità (Esempio 9.2I delle dispense). Il confronto con l'integratore ideale ($T=+\infty$) è istruttivo: lì la rampa cresce senza limite, qui si ferma.

(2) Integratore discreto con ingresso geometrico (Es. 9.1C)

Setup. L'ingresso è $x(kT)=\mathbf 1_0(kT)\,\alpha^k$, cioè $\alpha^k$ per $k\ge 0$ e $0$ per $k<0$. L'uscita è la somma pesata di tutti i campioni passati e presente: $$y(nT)=\sum_{k=-\infty}^{n}T\,x(kT).$$

Passaggio 1: i termini con $k<0$ sono nulli. Nella somma i valori di $k$ vanno da $-\infty$ a $n$, ma $x(kT)=0$ per $k<0$. Allora:

• se $n<0$ tutti i termini della somma hanno $k\le n<0$ e sono nulli, quindi $y(nT)=0$ (l'uscita non può "anticipare" l'ingresso, che comincia in $k=0$);
• se $n\ge 0$ restano solo i termini da $k=0$ a $k=n$: $$y(nT)=T\sum_{k=0}^{n}\alpha^k .$$

Passaggio 2: somma geometrica finita (vedi Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Per $\alpha\ne 1$, moltiplicando la somma $S=\sum_{k=0}^n\alpha^k$ per $\alpha$ e sottraendo, quasi tutti i termini si elidono: $S-\alpha S=1-\alpha^{n+1}$, da cui $S=\frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha}$. Per $\alpha=1$ la somma ha $n+1$ addendi tutti uguali a $1$, quindi vale $n+1$.

$$\boxed{\,y(nT)=\mathbf 1_0(nT)\,T\,\frac{1-\alpha^{\,n+1}}{1-\alpha}\ \ (\alpha\ne 1),\qquad y(nT)=\mathbf 1_0(nT)\,T\,(n+1)\ \ (\alpha=1)\,}$$

Come si comporta al variare di $\alpha$ ($T=1$, valori verificati con Python):

Per $\lvert\alpha\rvert<1$ il termine $\alpha^{n+1}$ tende a $0$ e l'uscita tende al valore di regime $\dfrac{T}{1-\alpha}$, che è l'area totale del segnale d'ingresso $\sum_{k\ge0}T\alpha^k$ (somma della serie geometrica). Esempio con un altro passo: $T=0{,}5$ e $\alpha=0{,}8$ danno $y=0{,}5;\ 0{,}9;\ 1{,}22;\ 1{,}476;\ 1{,}6808;\dots$ verso $\frac{0{,}5}{0{,}2}=2{,}5$. Il caso $\alpha=1$ è il caso del gradino $\mathbf 1_0(nT)$, il cui integrale discreto è la "rampa discreta" $(n+1)T$ (Esempio 9.2J delle dispense).

(3) Causalità della trasformazione dell'Esempio 9.1B (Es. 9.5A)

Si danno due modi per rispondere, il primo dalla definizione, il secondo dalla risposta impulsiva.

Dalla definizione. Una trasformazione è causale se $y(t)$ dipende solo dall'ingresso nell'intervallo $(-\infty,\,t]$, cioè dal passato e dal presente. Qui $y(t)=\int_{t-T}^{t}x(u)\,du$ usa soltanto i valori $x(u)$ con $t-T\le u\le t$ (essendo $T>0$ questo intervallo è contenuto in $(-\infty,t]$): non viene mai usato un valore $x(u)$ con $u>t$, cioè nessun valore futuro. Quindi la trasformazione è causale, e anzi è a memoria finita $\mu=T$ perché dipende solo dalla porzione $x_{[t-T,\,t]}$ (Esempio 9.2G).

Dalla risposta impulsiva. La trasformazione è lineare e tempo-invariante; si riconosce scrivendo l'integrale come convoluzione. Poiché $$\operatorname{rect}\!\Big(\frac{t-u-T/2}{T}\Big)=1\iff \Big\lvert t-u-\tfrac T2\Big\rvert<\tfrac T2\iff t-T<u<t ,$$ si ha $y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\!\big(\tfrac{t-u-T/2}{T}\big)x(u)\,du=(g*x)(t)$ con $$g(t)=\operatorname{rect}\!\Big(\frac{t-T/2}{T}\Big)=\begin{cases}1&0<t<T\\0&\text{altrove}\end{cases}.$$ Una trasformazione LTI è causale se e solo se $g(t)=g(t)\,\mathbf 1(t)$, cioè $g(t)=0$ per $t<0$: qui è vero perché la finestra $g$ vive su $(0,T)$ (supporto $e(g)=[0,T]$, e infatti la memoria è proprio $T$).

Contrasto. Se si mediasse invece sulla finestra centrata $[t-\tfrac T2,\,t+\tfrac T2]$ la risposta impulsiva sarebbe $\operatorname{rect}(t/T)$, che è diversa da zero anche per $t<0$: quella trasformazione guarderebbe il futuro e non sarebbe causale.

(4) Stabilità del filtro discreto $g(nT)=\mathbf 1_0(nT)\,\alpha^n$ (Es. 9.5B)

Criterio. Una trasformazione LTI è stabile (BIBO: ingresso limitato dà uscita limitata) se e solo se la risposta impulsiva è assolutamente sommabile. Sul dominio discreto, dove l'integrale è la somma pesata con $T$, la condizione è $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,\lvert g(nT)\rvert<\infty .$$ Il "se" si dimostra in una riga: se $\lvert x\rvert\le L_x$, allora $\lvert y(nT)\rvert=\big\lvert\sum_k T g(kT)x(nT-kT)\big\rvert\le L_x\sum_k T\lvert g(kT)\rvert$. Vedi Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →.

Calcolo. Poiché $g(nT)=0$ per $n<0$, $$\sum_{n=0}^{\infty}T\,\lvert\alpha\rvert^{n}=T\sum_{n=0}^{\infty}\lvert\alpha\rvert^{n}=\begin{cases}\dfrac{T}{1-\lvert\alpha\rvert}<\infty&\lvert\alpha\rvert<1\\[2mm] +\infty&\lvert\alpha\rvert\ge 1\end{cases}$$ La serie geometrica di ragione $\lvert\alpha\rvert$ converge solo se la ragione è minore di $1$ in modulo (per $\lvert\alpha\rvert\ge1$ i termini non tendono a $0$, quindi non può convergere).

$$\boxed{\text{il filtro è stabile}\iff\lvert\alpha\rvert<1 ,\qquad\text{e in tal caso}\ \lvert y(nT)\rvert\le L_x\,\frac{T}{1-\lvert\alpha\rvert}.}$$

Somme parziali $\sum_{k=0}^N T\lvert\alpha\rvert^k$ con $T=1$ (calcolate con Python):

Ingresso limitato che fa esplodere l'uscita quando $\lvert\alpha\rvert\ge1$. La dimostrazione del "solo se" suggerisce di scegliere l'ingresso che allinea la fase dei termini della somma.

• $\alpha=1$: basta il gradino $x=\mathbf 1_0$ (limitato da $1$): l'uscita è $(n+1)T$, che diverge. È l'integratore discreto, non stabile (Esempio 9.2J).
• $\alpha=-1$: il gradino dà un'uscita ancora limitata ($1,0,1,0,\dots$), quindi non basta; l'ingresso giusto è $x(mT)=(-1)^m$. Allora $y(0)=\sum_{k\ge0}T(-1)^k(-1)^{-k}=\sum_{k\ge 0}T$, che diverge (con $N=20$ termini già $21T$). Un filtro può quindi dare un'uscita limitata per certi ingressi limitati e non per altri: la stabilità richiede la limitatezza per tutti.
• $\lvert\alpha\rvert>1$: già $x=\mathbf 1_0$ dà un'uscita esponenzialmente crescente (tabella del punto (2)).

Per $\lvert\alpha\rvert<1$, invece, con $\alpha>0$ e ingresso costante $x\equiv1$ si raggiunge proprio il limite: per $\alpha=0{,}9$, $T=1$ l'uscita tende a $\frac{1}{1-0{,}9}=10$, uguale al maggiorante $L_x\sum_k T\lvert g\rvert$ (la stima è stretta quando $g\ge0$).

Collegamento con la risposta in frequenza. La stessa condizione $\lvert\alpha\rvert<1$ è quella sotto cui la serie $G(f)=\sum_n T\alpha^n e^{-i2\pi nfT}=\frac{T}{1-\alpha e^{-i2\pi fT}}$ converge per ogni $f$ (Esempio 9.6D delle dispense); per $\lvert\alpha\rvert=1$ il denominatore si annulla a una frequenza e la risposta in frequenza non è una funzione ordinaria. Vedi anche Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata g*x. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto →.

Errori tipici

• Dimenticare che in 9.1C il gradino $\mathbf 1_0$ rende nulli i termini con $k<0$, e quindi $y(nT)=0$ per $n<0$.
• Dimenticare il fattore $T$ nella somma (è l'integrale di Haar su $\mathbb Z(T)$): il criterio di stabilità è $\sum T\lvert g\rvert<\infty$, ma $T$ è una costante e non cambia la conclusione, solo il valore del maggiorante.
• Provare la stabilità con un solo ingresso: un'uscita limitata per il gradino non dimostra nulla (caso $\alpha=-1$), serve il criterio sulla risposta impulsiva.

Vedi anche: Esercizio - inversa di un filtro e verifica di g convoluta con g_i uguale a delta (lo stesso filtro $\alpha^n$ e la sua inversa) e, nella materia gemella, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →.