Esercizio - dimensioni di una trasformata, modulazione e sinc quadro

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 3.4A, 3.4B, 3.4F).

• Es. 3.4A. Assumendo che $s(t)$ sia una tensione elettrica, stabilire le dimensioni fisiche di $S(f)$.
• Es. 3.4B. Utilizzando il risultato dell'Esempio 3.3A (modulazione), calcolare la trasformata di Fourier del segnale $s(t)=\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\cos2\pi f_0t$. Rappresentare graficamente $S(f)$ per $f_0T=4$, verificando che $S(f)$ è una funzione reale e pari.
• Es. 3.4F. Calcolare la trasformata di Fourier, l'area e l'energia del segnale $s(t)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)$.

Teoria usata: Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →.

Convenzioni: $S(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-i2\pi ft}dt$, $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}$, $\operatorname{rect}(x)=1$ per $|x|<\frac12$, $\operatorname{tri}(x)=1-|x|$ per $|x|<1$ e $0$ altrove (il triangolo $\operatorname{triang}$ delle tabelle). Coppie usate: $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}(f)$ e $\operatorname{tri}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}^2(f)$ (quest'ultima è dimostrata nell'Esercizio - trasformata del gradino modulato e del triangolo).

Es. 3.4A - le unità di misura di $S(f)$

Nell'integrale $S(f)=\int s(t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt$ ci sono tre fattori:

• $s(t)$ è una tensione: unità $\text{V}$;
• $e^{-i2\pi ft}$ è un esponenziale con argomento puro numero ($f$ in Hz $=\text{s}^{-1}$, $t$ in s), quindi adimensionale;
• $dt$ ha unità del tempo: $\text{s}$.

Quindi $$[S(f)]=\text{V}\cdot\text{s}=\frac{\text{V}}{\text{Hz}}.$$ $S(f)$ è una tensione per unità di frequenza: una densità spettrale di tensione (volt al hertz, che è lo stesso che volt moltiplicati per secondi). Il fatto che la dimensione contenga "per Hz" ha un senso preciso. Dalla formula di antitrasformazione $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ si legge che $S(f)\,df$, volt al hertz per un intervallino $df$ di hertz, è la tensione portata dalle componenti nell'intervallo di larghezza $df$: l'ampiezza non è "in" una frequenza, ma si distribuisce su una striscia di frequenze.

Conferme.

• Parseval. L'energia $\int|s|^2dt$ ha unità $\text{V}^2\text{s}$ (energia su un resistore da $1\ \Omega$). Per la formula di Parseval deve essere uguale a $\int|S|^2df$ e infatti $\left(\frac{\text{V}}{\text{Hz}}\right)^2\cdot\text{Hz}=\frac{\text{V}^2}{\text{Hz}}=\text{V}^2\text{s}$ ✓. Per questo $|S(f)|^2$ si chiama densità spettrale di energia (energia per hertz).
• Segnali periodici. La trasformata di un segnale periodico è $\sum_nS_n\delta(f-nF)$ e $S_n$ è in volt (Es. 3.1B); $\delta(f)$ ha unità $\frac1{\text{Hz}}$ (perché $\int\delta(f)df=1$ è puro numero), quindi $S_n\delta(f-nF)$ è in $\frac{\text{V}}{\text{Hz}}$ ✓ coerente.
• Esempio numerico. $s(t)=3\operatorname{rect}\left(\frac t{2\,\text{ms}}\right)$ V ha area $3\cdot2\cdot10^{-3}=6\cdot10^{-3}$ V$\cdot$s, quindi $S(0)=6\ \text{mV/Hz}$.

Es. 3.4B - modulazione di un rettangolo

Passo 1: la regola di modulazione (Esempio 3.3A). Se $s_0(t)\leftrightarrow S_0(f)$ allora $$s_0(t)\cos2\pi f_0t\ \leftrightarrow\ \tfrac12S_0(f-f_0)+\tfrac12S_0(f+f_0).$$ Perché: $\cos2\pi f_0t=\frac12e^{i2\pi f_0t}+\frac12e^{-i2\pi f_0t}$, per la linearità si tratta la somma termine per termine, e la moltiplicazione per $e^{i2\pi f_0t}$ nel tempo diventa traslazione di $+f_0$ in frequenza (regola di traslazione in frequenza). Il segnale viene "spostato" intorno a $\pm f_0$ con ampiezza dimezzata.

Passo 2: la trasformata del rettangolo. Dal cambiamento di scala $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}(fT)$ (il rettangolo di durata $T$ e altezza $1$ ha area $T$, quindi $S_0(0)=T$ ✓). Allora $$\boxed{S(f)=\frac T2\Big[\operatorname{sinc}\big((f-f_0)T\big)+\operatorname{sinc}\big((f+f_0)T\big)\Big].}$$

Passo 3: reale e pari. $\operatorname{sinc}$ è reale e pari, quindi ciascun addendo è reale e $S(f)$ è reale. Per la parità, sostituendo $f\to-f$ si ottiene $\operatorname{sinc}\big((-f-f_0)T\big)+\operatorname{sinc}\big((-f+f_0)T\big)=\operatorname{sinc}\big((f+f_0)T\big)+\operatorname{sinc}\big((f-f_0)T\big)$, cioè lo stesso $S(f)$: i due addendi si scambiano. Il risultato era prevedibile: $s(t)$ è reale e pari (prodotto di due funzioni pari e reali), e a un segnale reale e pari corrisponde una trasformata reale e pari (Es. 3.4J nell'Esercizio - parte pari e dispari di un segnale reale e convoluzione di gaussiane).

Passo 4: $f_0T=4$. Posto $x=fT$ (frequenza normalizzata) si ha $\frac{S}{T}=\frac12[\operatorname{sinc}(x-4)+\operatorname{sinc}(x+4)]$. Le due "gobbe" principali sono centrate in $x=\pm4$ (cioè in $f=\pm f_0$), larghe $2$ in $x$ (da $\pm3$ a $\pm5$), alte $\frac12$ ciascuna. Valori notevoli:

Per tutti gli interi $x\ne\pm4$ i due $\operatorname{sinc}$ hanno argomento intero non nullo e sono entrambi $0$. In $x=4$ il primo $\operatorname{sinc}(0)=1$ e il secondo $\operatorname{sinc}(8)=0$, da cui $\frac12$. In $x=0$: $S(0)=T\,\operatorname{sinc}(4)=0$: l'area di $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\cos2\pi f_0t$ è nulla perché il coseno compie esattamente $f_0T=4$ cicli nell'intervallo di durata $T$. Il massimo non è esattamente in $x=4$ ma in $x\approx4{,}04$, con valore $0{,}5012$, perché la coda dell'altro $\operatorname{sinc}$ si somma (il picco è leggermente spostato).

Interpretazione. Lo spettro del rettangolo (un sinc centrato in $0$) viene copiato intorno a $+f_0$ e $-f_0$ con altezza dimezzata: è la modulazione di ampiezza. Le due copie si sovrappongono un poco in $x=0$ (le code), ma qui la somma è esattamente zero.

Es. 3.4F - trasformata, area ed energia di $\operatorname{sinc}^2$

Trasformata, con la tabella e la regola di simmetria. Dalla tabella: $\operatorname{tri}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}^2(f)$. Regola di simmetria: se $s(t)\leftrightarrow S(f)$ allora $S(t)\leftrightarrow s(-f)$. Prendendo $s(t)=\operatorname{tri}(t)$, $S(f)=\operatorname{sinc}^2(f)$: $$\operatorname{sinc}^2(t)\ \leftrightarrow\ \operatorname{tri}(-f)=\operatorname{tri}(f)\quad(\text{il triangolo è pari}).$$ Ora il fattore di scala: $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)$ è $x(at)$ con $x(\tau)=\operatorname{sinc}^2(\tau)$ e $a=\frac1T$. La regola $x(at)\leftrightarrow\frac1{|a|}X\left(\frac fa\right)$ dà $T\,X(fT)$: $$\boxed{\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)\ \leftrightarrow\ T\operatorname{tri}(fT)=T\left(1-|fT|\right)\ \ (|f|<\tfrac1T),\ \ 0\text{ altrove.}}$$ Un segnale in banda base di banda $B=\frac1T$ (estensione spettrale $(-\frac1T,\frac1T)$), con spettro triangolare di altezza $T$ in $f=0$.

Verifica con il prodotto. $\operatorname{sinc}(t/T)\leftrightarrow T\operatorname{rect}(fT)$ e il prodotto nel tempo è la convoluzione in frequenza: $\operatorname{sinc}^2\leftrightarrow T^2\operatorname{rect}(fT)*\operatorname{rect}(fT)$. La convoluzione di due rettangoli di larghezza $\frac1T$ e altezza $1$ è un triangolo di base $\frac2T$ e altezza pari alla larghezza $\frac1T$ (area del prodotto), cioè $\frac1T\operatorname{tri}(fT)$; moltiplicando per $T^2$ si ritrova $T\operatorname{tri}(fT)$ ✓.

Area. Per la regola dell'area, $\int s(t)dt=S(0)$: $$\text{area}=S(0)=T\operatorname{tri}(0)=T.$$ Controllo diretto: con $u=\frac tT$, $\int\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)dt=T\int\operatorname{sinc}^2(u)du=T\cdot1$, perché $\int\operatorname{sinc}^2=\int\left|\operatorname{rect}\right|^2=1$ (Parseval). ✓ (Non si calcola direttamente con le primitive: $\int\frac{\sin^2}{x^2}$ non ha primitiva elementare.)

Energia. Per il teorema di Parseval $E=\int|S(f)|^2df$: $$E=T^2\int_{-1/T}^{1/T}\operatorname{tri}^2(fT)\,df=T^2\cdot\frac1T\int_{-1}^{1}(1-|u|)^2du=T\cdot2\int_0^1(1-u)^2du=T\cdot2\cdot\frac13=\frac{2T}3.$$ ($u=fT$, $df=\frac{du}T$; l'integrale pari su $[-1,1]$ è il doppio di quello su $[0,1]$ e $\int_0^1(1-u)^2du=\frac13$.) Quindi $E=\frac{2T}{3}$, cioè $\int\operatorname{sinc}^4\left(\frac tT\right)dt=\frac{2T}3$. Con $T=2$: area $2$, energia $\frac43\approx1{,}3333$.

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 3.4B: rect(t/T) cos(2 pi f0 t), T = 1, f0 = 4
T, f0 = 1.0, 4.0
S_num = lambda f: quad(lambda t: np.cos(2*np.pi*f0*t)*np.cos(2*np.pi*f*t), -T/2, T/2)[0]   # s è pari: la parte seno è nulla
S_for = lambda f: T/2*(np.sinc((f - f0)*T) + np.sinc((f + f0)*T))
for f in (0, 3.5, 4, 4.5, -4, 6):
    print(f, round(S_num(f), 6), round(S_for(f), 6))      # coincidono; S(-4) = S(4) = 0.5

# 3.4F: sinc^2(t/T), T = 2
T = 2.0
tri = lambda x: max(0.0, 1 - abs(x))
area = quad(lambda t: np.sinc(t/T)**2, -2000, 2000, limit=20000)[0]
E = quad(lambda t: np.sinc(t/T)**4, -2000, 2000, limit=20000)[0]
print(area, T, E, 2*T/3)                                  # 1.9998 2.0 1.33333 1.33333
for f in (0, 0.1, 0.25, 0.4, 0.5):
    S = quad(lambda t: np.sinc(t/T)**2*np.cos(2*np.pi*f*t), -4000, 4000, limit=40000)[0]
    print(f, round(S, 4), T*tri(f*T))                     # 2, 1.6, 1, 0.4, 0
print(quad(lambda f: (T*tri(f*T))**2, -1/T, 1/T)[0])      # 1.33333 (Parseval)

Risultati: la trasformata calcolata numericamente coincide con $\frac T2[\operatorname{sinc}+\operatorname{sinc}]$ (ad esempio $0{,}29709$ in $f=3{,}5$, $0{,}5$ in $f=\pm4$, $0{,}33703$ in $f=4{,}5$); $S(0)=0$; per $\operatorname{sinc}^2\left(\frac t2\right)$ l'area vale $2$ (a meno dell'errore di troncatura $\sim2\cdot10^{-4}$), l'energia $1{,}33333$, e $S(f)=2\operatorname{tri}(2f)$ ($2$; $1{,}6$; $1$; $0{,}4$; $0$ per $f=0;\,0{,}1;\,0{,}25;\,0{,}4;\,0{,}5$).