Esercizio - serie di Fourier di segnali pari e con simmetria di mezzo periodo

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 3.1D, 3.1E).

• Es. 3.1D. Provare che se $s(t)$ è un segnale reale e pari, il suo sviluppo in seni e coseni diventa uno sviluppo in soli coseni.
• Es. 3.1E. Si supponga che un segnale periodico di periodo $T_p$ abbia la simmetria $s(t)=-s\left(t-\frac12T_p\right)$. Dimostrare che i coefficienti di Fourier $S_n$ sono nulli per $n$ pari, cioè che il segnale è sprovvisto di armoniche pari. Guida: utilizzare la regola di traslazione nel tempo.

Teoria usata: Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →.

Notazione: $F=\frac1{T_p}$, $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Per un segnale reale, $S_{-n}=S_n^*$ e, scrivendo $S_n=R_n+iX_n$, $$s(t)=R_0+2\sum_{n=1}^\infty\left[R_n\cos2\pi nFt-X_n\sin2\pi nFt\right].\tag{*}$$ (Questa forma è ricavata nell'Esercizio - coefficienti di Fourier di un triangolo periodico e forma trigonometrica.)

Es. 3.1D - segnale reale e pari: solo coseni

Cosa dobbiamo mostrare. Nello sviluppo (*) i termini con il seno sono moltiplicati da $X_n$, la parte immaginaria di $S_n$. Basta dimostrare che $X_n=0$ per ogni $n$, cioè che i coefficienti sono reali.

Prima dimostrazione (con le simmetrie dei coefficienti).

1. Segnale reale $\Rightarrow$ $S_{-n}=S_n^*$ (simmetria hermitiana).
2. Segnale pari, $s(-t)=s(t)$. Calcoliamo $S_{-n}$ su un periodo simmetrico $\left[-\frac{T_p}2,\frac{T_p}2\right]$ (il coefficiente si può calcolare su un intervallo qualsiasi di lunghezza $T_p$): $$S_{-n}=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(t)\,e^{+i2\pi nFt}dt.$$ Con la sostituzione $t=-u$ ($dt=-du$, gli estremi si scambiano, quindi il segno meno sparisce) e $s(-u)=s(u)$: $$S_{-n}=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(-u)\,e^{-i2\pi nFu}du=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(u)\,e^{-i2\pi nFu}du=S_n.$$ Quindi per un segnale pari i coefficienti sono pari in $n$: $S_{-n}=S_n$.
3. Mettendo insieme: $S_n=S_{-n}=S_n^*$. Un numero complesso uguale al proprio coniugato è reale: $X_n=0$.

Dunque nella (*) tutti i termini $-X_n\sin2\pi nFt$ spariscono: $$\boxed{s(t)=R_0+2\sum_{n=1}^\infty R_n\cos2\pi nFt,\qquad R_n=S_n=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(t)\cos2\pi nFt\,dt.}$$

Seconda dimostrazione (diretta). Scriviamo $e^{-i2\pi nFt}=\cos2\pi nFt-i\sin2\pi nFt$: $$S_n=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(t)\cos2\pi nFt\,dt-\frac i{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}s(t)\sin2\pi nFt\,dt.$$ Se $s$ è pari, $s(t)\sin(2\pi nFt)$ è il prodotto di una funzione pari per una dispari, quindi dispari, e l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico è $0$. Resta solo il primo integrale, reale e con integrando pari: $S_n=\frac2{T_p}\int_0^{T_p/2}s(t)\cos(2\pi nFt)\,dt$. (Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →).

Caso analogo (non richiesto). Se $s$ è reale e dispari, il termine con il coseno ha integrando dispari e sparisce: $S_n$ è immaginario puro e dispari in $n$, $R_n=0$ (anche $S_0=0$), e lo sviluppo contiene solo seni: $s(t)=-2\sum X_n\sin2\pi nFt$.

Esempio numerico: l'onda triangolare. Sia $s(t)=|t|$ per $|t|\le1$, ripetuta con periodo $T_p=2$ ($F=\frac12$). È reale e pari. Per $n\ne0$: $$S_n=\frac12\int_{-1}^1|t|\cos(\pi nt)\,dt=\int_0^1t\cos(\pi nt)\,dt.$$ Per parti ($u=t$, $dv=\cos\pi nt\,dt$, $v=\frac{\sin\pi nt}{\pi n}$): $\left[\frac{t\sin\pi nt}{\pi n}\right]_0^1-\int_0^1\frac{\sin\pi nt}{\pi n}dt=0+\left[\frac{\cos\pi nt}{(\pi n)^2}\right]_0^1=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}$. Il termine in $[\ ]$ vale $0$ perché $\sin\pi n=0$. Il valor medio è $S_0=\frac12$ (area $1$ del triangolo $\int_{-1}^1|t|dt=1$, diviso $T_p=2$). Quindi

• $n$ pari ($n\ne0$): $(-1)^n-1=0$, $S_n=0$;
• $n$ dispari: $S_n=-\frac2{\pi^2n^2}$, ad esempio $S_1=-0{,}2026$, $S_3=-0{,}02252$, $S_5=-0{,}008106$.

I coefficienti sono tutti reali e pari in $n$, come previsto. Lo sviluppo è $$|t|=\frac12-\frac4{\pi^2}\sum_{n\ \text{dispari}}\frac{\cos\pi nt}{n^2}\qquad(|t|\le1).$$ Controllo in $t=0$: $\frac12-\frac4{\pi^2}\sum_{n\text{ dispari}}\frac1{n^2}=\frac12-\frac4{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}8=0$ ✓ (la somma dei reciproci dei quadrati dispari vale $\frac{\pi^2}8$, un valore noto; la serie converge perché è un'armonica generalizzata con esponente $2>1$, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Controllo in $t=1$: $\cos\pi n=-1$ per $n$ dispari, quindi $\frac12+\frac4{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}8=1$ ✓.

Es. 3.1E - simmetria di mezzo periodo: niente armoniche pari

Ipotesi. $s(t)=-s\left(t-\frac{T_p}2\right)$ per ogni $t$: il segnale, spostato di mezzo periodo, diventa il suo opposto. Significa che la seconda metà del periodo è la prima capovolta di segno.

Dimostrazione. Applichiamo la regola di traslazione nel tempo: se $x(t)=s(t-t_0)$ allora $X_n=S_ne^{-i2\pi nFt_0}$ (dimostrata cambiando variabile $u=t-t_0$ nell'integrale dei coefficienti). Per $t_0=\frac{T_p}2$, poiché $FT_p=1$: $$e^{-i2\pi nF\frac{T_p}2}=e^{-i\pi n}=(-1)^n.$$ Quindi i coefficienti del segnale traslato $x(t)=s\left(t-\frac{T_p}2\right)$ sono $X_n=(-1)^nS_n$ (le armoniche dispari cambiano segno, le pari restano uguali). Ma per ipotesi $s(t)=-x(t)$, quindi i coefficienti sono legati dalla linearità: $$S_n=-X_n=-(-1)^nS_n\ \Longrightarrow\ S_n\left[1+(-1)^n\right]=0.$$

• $n$ pari: $1+(-1)^n=2$, quindi $2S_n=0$ e $S_n=0$ ($S_0=0$ compreso: il valor medio è nullo);
• $n$ dispari: $1+(-1)^n=0$ e l'equazione è $0=0$: nessuna condizione, i $S_n$ dispari possono essere qualsiasi.

Per l'unicità dei coefficienti (a $s$ corrisponde una sola successione $S_n$), il segnale non contiene frequenze $nF$ con $n$ pari: è sprovvisto di armoniche pari. $\blacksquare$

Perché è ragionevole. Le armoniche pari $e^{i2\pi nFt}$ con $n$ pari hanno periodo $\frac{T_p}n$ che divide $\frac{T_p}2$: spostandole di mezzo periodo non cambiano, mentre il segnale cambia segno. Una somma che cambia segno non può contenere componenti che non lo cambiano. Viceversa: se $s(t)=s\left(t-\frac{T_p}2\right)$ (segnale che si ripete in mezzo periodo) si ottiene $S_n=(-1)^nS_n$ e sono nulle le armoniche dispari.

Esempio concreto: onda quadra bipolare. Sia $s(t)=A$ per $0<t<\frac{T_p}2$ e $s(t)=-A$ per $\frac{T_p}2<t<T_p$ (e ripetuto). La simmetria vale: per $t\in\left(\frac{T_p}2,T_p\right)$, $t-\frac{T_p}2\in\left(0,\frac{T_p}2\right)$ e $-s\left(t-\frac{T_p}2\right)=-A=s(t)$ ✓. Calcoliamo i coefficienti per $n\ne0$ ($e^{-i2\pi nFt}$ ha primitiva $\frac{e^{-i2\pi nFt}}{-i2\pi nF}$): $$S_n=\frac1{T_p}\left[\int_0^{T_p/2}A\,e^{-i2\pi nFt}dt-\int_{T_p/2}^{T_p}A\,e^{-i2\pi nFt}dt\right]=\frac A{-i2\pi n}\left[\left(e^{-i\pi n}-1\right)-\left(1-e^{-i\pi n}\right)\right],$$ dove si è usato $FT_p=1$ ($e^{-i2\pi nF\,T_p}=1$). Con $e^{-i\pi n}=(-1)^n$ la parentesi è $2\left[(-1)^n-1\right]$ e, moltiplicando $\frac1{-i}=i$: $$S_n=\frac{iA\left[(-1)^n-1\right]}{\pi n}=\begin{cases}-\dfrac{2iA}{\pi n}&n\text{ dispari},\\[2mm]0&n\text{ pari}.\end{cases}$$ Si conferma: niente armoniche pari, e nessun valor medio ($S_0=0$ per calcolo diretto: le due aree si cancellano). Sono coefficienti immaginari puri e dispari in $n$ (il segnale è reale e dispari: vedi il caso analogo di 3.1D).

Sviluppo in forma trigonometrica, accoppiando $\pm n$: $2\operatorname{Re}\left\{-\frac{2iA}{\pi n}e^{i\theta}\right\}=\frac{4A}{\pi n}\sin\theta$ con $\theta=2\pi nFt$, perché $\operatorname{Re}\{-ie^{i\theta}\}=\sin\theta$. Quindi $$s(t)=\frac{4A}\pi\sum_{n\ \text{dispari}}\frac{\sin2\pi nFt}{n}=\frac{4A}\pi\left[\sin2\pi Ft+\frac{\sin6\pi Ft}3+\frac{\sin10\pi Ft}5+\cdots\right].$$

Controllo con la serie di Leibniz: in $t=\frac{T_p}4$ ($\sin\frac{n\pi}2=\pm1$), $s=\frac{4A}\pi\left(1-\frac13+\frac15-\cdots\right)=\frac{4A}\pi\cdot\frac\pi4=A$ ✓ (con le prime tre armoniche si ottiene $1{,}103A$, con le prime cinque $1{,}063A$, perché la serie converge lentamente).

Verifica con la regola di traslazione. Con $A=1$, $T_p=1$: $S_1=-\frac{2i}\pi=-0{,}6366i$, quindi $X_1=(-1)^1S_1=+0{,}6366i$ è il coefficiente del segnale traslato $s\left(t-\frac12\right)$, e vale esattamente $-S_1$: la traslazione di mezzo periodo coincide con il cambio di segno ✓. Per $n=2$ i coefficienti sono nulli entrambi.

Come costruire altri segnali con questa simmetria. Dato un qualsiasi segnale periodico $x(t)$ di periodo $T_p$, il segnale $s(t)=x(t)-x\left(t-\frac{T_p}2\right)$ ha la simmetria $s\left(t-\frac{T_p}2\right)=x\left(t-\frac{T_p}2\right)-x(t-T_p)=x\left(t-\frac{T_p}2\right)-x(t)=-s(t)$. I suoi coefficienti sono $S_n=X_n\left[1-(-1)^n\right]=2X_n$ (n dispari), $0$ (n pari). Nell'esempio, $x(t)=A$ su $\left(0,\frac{T_p}2\right)$, $0$ altrove (onda quadra unipolare): per $n$ dispari $X_n=-\frac{iA}{\pi n}$ e $S_n=2X_n=-\frac{2iA}{\pi n}$, lo stesso risultato.

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 3.1D: onda triangolare |t|, periodo 2
Sn = lambda n: quad(lambda t: abs(t)*np.cos(np.pi*n*t), -1, 1)[0] / 2
for n in range(6):
    print(n, round(Sn(n), 6), 0.5 if n == 0 else ((-1)**n - 1)/(np.pi*n)**2)

# 3.1E: onda quadra bipolare A = 1, Tp = 1
def Sq(n):
    c = lambda a, b: quad(lambda t: np.cos(2*np.pi*n*t), a, b)[0]
    s = lambda a, b: quad(lambda t: np.sin(2*np.pi*n*t), a, b)[0]
    return ((c(0, .5) - c(.5, 1)) - 1j*(s(0, .5) - s(.5, 1)))
for n in range(1, 8):
    print(n, np.round(Sq(n), 6), -2j/(np.pi*n) if n % 2 else 0)
k = np.arange(1, 100001, 2)
print([round(4/np.pi*np.sum(np.sin(2*np.pi*k*t)/k), 4) for t in (0.05, 0.25, 0.4, 0.75)])

Risultati: per l'onda triangolare i $S_n$ numerici coincidono con $\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}$ (reali, nulli per $n$ pari, $S_0=0{,}5$). Per l'onda quadra: $S_1=-0{,}636620i$, $S_3=-0{,}212207i$, $S_5=-0{,}127324i$, $S_7=-0{,}090946i$ (uguali a $-\frac{2i}{\pi n}$), $S_2=S_4=S_6=0$. La somma con $50\,000$ armoniche dispari dà $1{,}0000$, $1{,}0000$, $1{,}0000$, $-1{,}0000$ (arrotondando a 4 decimali) in $t=0{,}05;\,0{,}25;\,0{,}4;\,0{,}75$: valori attesi $\pm1$.