Trasformazioni e sistemi - proprietà

Perché uno studio unificato dei segnali

Fin qui si sono studiati segnali continui (dominio $\mathbb R$) e segnali discreti (dominio $\mathbb Z(T)$, con passo $T$ detto quanto). Per trattarli insieme conviene una regola sola: un segnale è una funzione $x(t)$ definita su un dominio $I$, che è $\mathbb R$ oppure $\mathbb Z(T)$, e l'integrale su $I$ è

• su $\mathbb R$ l'integrale ordinario $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,dt$;
• su $\mathbb Z(T)$ la somma pesata con $T$, $\sum_{n}T\,x(nT)$ (si chiama integrale di Haar: è la somma di Riemann di passo $T$).

Con questa convenzione area, energia, convoluzione e trasformata di Fourier hanno la stessa formula nei due casi (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →).

Definizione (impulso ideale su $I$). $\delta_I$ è il segnale per cui vale la proprietà rivelatrice $\displaystyle\int_I s(u)\,\delta_I(u-t)\,du=s(t)$ per ogni segnale $s$ e ogni $t\in I$. Su $\mathbb R$ è la delta di Dirac. Su $\mathbb Z(T)$ vale $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T$ e $0$ altrove: infatti $\sum_nT\,s(nT)\,\delta(nT-t)=T\,s(t)\cdot\frac1T=s(t)$.

Esempio. Per $T=1\ \text{ms}$ l'impulso discreto vale $\delta_{\mathbb Z(T)}(0)=\frac1T=1000\ \text{s}^{-1}$; la sua area è $T\cdot\frac1T=1$. Questa convenzione, un po' insolita, evita fattori $T$ sparsi: le formule del continuo si copiano pari pari.

Che cos'è una trasformazione

Definizione (trasformazione). Una trasformazione (tf) è una terna $(I,U,\varphi)$: un dominio d'ingresso $I$, un dominio d'uscita $U$ e un operatore $\varphi$ che a ogni segnale $x$ su $I$ associa il segnale $$y=\varphi[x],\qquad y(t)=\varphi[x\,|\,t],\ t\in U.$$ Il valore $y(t)$ dipende in generale dall'intero segnale $x(u)$, $u\in I$.

Le tf sono i sistemi senza stato: l'uscita dipende solo dall'ingresso (i sistemi con stato e condizioni iniziali, come quelli delle equazioni differenziali e alle differenze, sono in Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata gx. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto → e Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata gx. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →). Se $I=U=\mathbb R$ la tf è continua; se $I=U=\mathbb Z(T)$ è discreta; negli altri casi è ibrida.

Esempio (tf elementari).

Il campionatore e l'interpolatore (dominio $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$) sono le due tf ibride fondamentali: si studiano in Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento → e in Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →.

Classificazione delle trasformazioni

Si fissa un istante $\bar t$ del dominio d'uscita e lo si chiama presente: gli istanti $t<\bar t$ sono il passato, quelli $t>\bar t$ il futuro. Per calcolare $y(\bar t)$ la tf può usare il passato $x_{(-\infty,\bar t)}$, il presente $x(\bar t)$ e il futuro $x_{(\bar t,\infty)}$ del segnale d'ingresso. Le classi nascono chiedendo "quali di questi servono davvero".

Definizione (invertibile). $\varphi$ è invertibile se esiste una tf $\varphi^{-1}$ da $U$ a $I$ con $\varphi^{-1}[\varphi[x]]=x$ per ogni $x$: dall'uscita si recupera l'ingresso. Il dominio d'uscita di $\varphi$ deve essere il dominio d'ingresso di $\varphi^{-1}$.

Esempio. $y=1+2x$ è invertibile, con inversa $x=\frac12(y-1)$. L'integratore discreto $y(nT)=\sum_{k\le n}T\,x(kT)$ è invertibile: $x(nT)=\frac1T\,[\,y(nT)-y(nT-T)\,]$. Il raddrizzatore $y=\lvert x\rvert$ no: da $\lvert x\rvert$ non si ricava il segno (né la fase, se $x$ è complesso).

Definizione (senza memoria, causale, anticipatoria). Si dice che $\varphi$ è

• senza memoria (istantanea) se $y(\bar t)$ dipende solo da $x(\bar t)$;
• causale se $y(\bar t)$ dipende solo da passato e presente, $y(\bar t)=\varphi[x_{(-\infty,\bar t]}\,|\,\bar t]$;
• puramente anticipatoria se dipende solo da presente e futuro.

Una tf causale ha memoria finita $\mu$ se $y(t)$ dipende solo da $x_{[t-\mu,\,t]}$; altrimenti ha memoria infinita.

Esempio. Il ritardo $y(t)=x(t-t_0)$ è causale con memoria $\mu=t_0$ se $t_0>0$, anticipatorio se $t_0<0$. L'integratore $\int_{-\infty}^tx$ è causale con memoria infinita; la media mobile $\int_{t-T}^tx$ è causale con $\mu=T$. Il raddrizzatore, il modulatore $x\cos2\pi f_0t$ e il campionatore sono senza memoria.

Definizione (stabile BIBO). $\varphi$ è stabile se a ogni ingresso limitato, $\lvert x(u)\rvert\le L_x$ per ogni $u$, corrisponde un'uscita limitata, $\lvert y(t)\rvert\le L_y$ per ogni $t$ ($L_y$ può dipendere da $L_x$). BIBO = bounded input, bounded output.

Esempio. Il raddrizzatore è stabile ($L_y=L_x$). Il ritardo pure. L'integratore non lo è: con $x=1(t)$, che è limitato da $L_x=1$, l'uscita è la rampa $t\,1(t)$, che diverge. Attenzione: instabile non vuol dire che ogni ingresso limitato dia uscita illimitata; con $x(t)=1(t)\cos t$ l'integratore dà $1(t)\sin t$, che è limitata. Basta un ingresso limitato che produce un'uscita illimitata per concludere che è instabile. Il FIR $y(nT)=\tfrac12x(nT)-\tfrac13x(nT-T)+x(nT-2T)$ è stabile: $\lvert y\rvert\le(\tfrac12+\tfrac13+1)L_x=\tfrac{11}6L_x$ (disuguaglianza triangolare).

Definizione (lineare). $\varphi$ è lineare se è omogenea e additiva: per ogni $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb C$ e ogni coppia di ingressi $$\varphi[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2]=\alpha_1\varphi[x_1]+\alpha_2\varphi[x_2]$$ (principio di sovrapposizione degli effetti).

Esempio. Il ritardo, l'integratore e il modulatore sono lineari. $y=\lvert x\rvert$ non lo è. Nemmeno $y(nT)=x(nT)\,x(nT-T)$: viola l'omogeneità perché $\varphi[3x]=9\,\varphi[x]$ (verificato numericamente su un segnale casuale: la relazione con il fattore $3$ è falsa, quella con $9$ è vera).

Definizione (tempo-invariante). $\varphi$ è tempo-invariante se, quando $x$ produce $y$, il segnale traslato $x_{t_0}(u)=x(u-t_0)$ produce $y_{t_0}(t)=y(t-t_0)$, per ogni traslazione $t_0$. In altre parole $\varphi$ commuta con il ritardo. La definizione ha senso solo se $t_0$ sta sia nel dominio d'ingresso sia in quello d'uscita.

Esempio. L'integratore è tempo-invariante: $\int_{-\infty}^tx(u-t_0)\,du=\int_{-\infty}^{t-t_0}x(v)\,dv=y(t-t_0)$ (cambio di variabile $v=u-t_0$). Il modulatore $y=x\cos2\pi f_0t$ no: con $x=\delta(t)$ si ha $y=\delta(t)$, ma con $x=\delta(t-t_0)$ si ha $y=\cos(2\pi f_0t_0)\,\delta(t-t_0)\neq\delta(t-t_0)$. Il campionatore $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ non è tempo-invariante per ritardi qualsiasi, ma lo è per ritardi $t_0=kT$ (è periodicamente tempo-invariante).

Definizione (reale). $\varphi$ è reale se a ogni ingresso reale corrisponde un'uscita reale (a ingresso complesso l'uscita può essere complessa).

Esempio. Il ritardo e il raddrizzatore sono reali. Il sistema $y=\mathrm i\,x$ non lo è.

Trasformazioni lineari: il nucleo

Una tf lineare tra $I$ e $U$ si scrive sempre come

Formula (nucleo di una tf lineare). $$y(t)=\int_I h(t,u)\,x(u)\,du,\qquad t\in U,$$ dove $h(t,u)$, definita su $U\times I$, è il nucleo della trasformazione.

Nei quattro casi di interesse l'integrale su $I$ diventa:

Esempio. Il campionatore ha nucleo $h(nT,u)=\delta(u-nT)$ (per la proprietà rivelatrice $\int\delta(u-nT)x(u)du=x(nT)$). L'interpolatore ha nucleo $h(t,kT)=g(t-kT)$ con $g$ la sua risposta impulsiva.

Significato del nucleo. Applicando all'ingresso l'impulso ideale $x(u)=\delta_I(u-u_0)$ centrato in $u_0$, la proprietà rivelatrice dà $y(t)=h(t,u_0)$. Quindi

$h(t,u_0)$ è l'uscita della tf quando all'ingresso si applica l'impulso ideale nell'istante $u_0$.

Perché la formula del nucleo è giusta: ogni segnale è la "somma" (integrale) di impulsi, $x(t)=\int_Ix(u)\,\delta_I(t-u)\,du$, cioè di impulsi di area $x(u)\,du$ centrati in $u$; per omogeneità ognuno produce $x(u)\,h(t,u)\,du$ e per additività le uscite si sommano. Nel caso discreto il passo è lo stesso con somme: l'impulso $\delta(nT-kT)$ pesato con l'area $T\,x(kT)$ produce $T\,x(kT)\,h(nT,kT)$.

Finestre

Definizione (finestra). Data una forma $w(t)$, $t\in I$, la finestra è la tf $I\to I$ $$y(t)=w(t)\,x(t).$$ È lineare (la forma $w$ è un segnale fisso "contenuto" nella tf, non un secondo ingresso) e ha nucleo $h(t,u)=w(t)\,\delta_I(t-u)$. È istantanea, ma in generale non tempo-invariante.

Esempio. Il modulatore d'ampiezza è la finestra $w(t)=\cos2\pi f_0t$. La finestra rettangolare discreta $w(nT)=\operatorname{rect}\frac{nT}{(2N+1)T}$ estrae $x(-NT),\dots,x(NT)$ e azzera il resto. Con $w(nT)=\operatorname{triang}\frac n4$ e ingresso $x=(1,2,1)$ nei campioni $n=-1,0,1$ si ottiene $y(nT)=w(nT)\,x(nT)=(0{,}75,\ 2,\ 0{,}75)$: lo stesso risultato si trova applicando la formula del nucleo $y(nT)=\sum_kT\,h(nT,kT)\,x(kT)$ con $T\,h(nT,kT)=w(nT)$ per $n=k$ (verificato con Python).

Due finestre in cascata sono ancora una finestra, con forma $w_1w_2$, e commutano perché il prodotto è commutativo. Una finestra e un ritardo invece non commutano: con $y_1=x\operatorname{rect}(t)$ e ritardo di $2$ la cascata "finestra poi ritardo" dà $x(t-2)\operatorname{rect}(t-2)$ e quella inversa $x(t-2)\operatorname{rect}(t)$; con $x=\delta(t)$ si ottiene $\delta(t-2)$ nel primo caso e $0$ nel secondo. Questa è proprio la dimostrazione che la finestra non è tempo-invariante.

Trasformazioni non lineari senza memoria

Definizione (caratteristica ingresso-uscita). Una tf non lineare senza memoria ha la forma $y(t)=\mu[x(t)]$, dove la funzione $\mu$ si chiama caratteristica. È tempo-invariante; se la caratteristica dipende anche dal tempo, $y=\mu[x(t),t]$, è tempo-variante.

Caratteristiche tipiche per un ingresso sinusoidale $x=X_0\sin2\pi f_0t$:

Il quantizzatore uniforme di passo $\Delta$ arrotonda $x$ al centro dell'intervallo $[k\Delta,(k+1)\Delta)$ che lo contiene, $q=(k+\tfrac12)\Delta$. Per esempio $x=1{,}6724\,\Delta$ sta tra $\Delta$ e $2\Delta$ e viene portato a $q=1{,}5\,\Delta$. Se $x$ assume tutti i valori in $[-A_0,A_0]$, $q$ ne assume solo un numero finito (8 per un quantizzatore a 8 livelli).

Trasformazioni LTI: l'idea

Se oltre a essere lineare la tf è tempo-invariante, il nucleo non può dipendere da $t$ e $u$ separatamente: dalla condizione di tempo-invarianza si ricava $h(t,u)=g(t-u)$ per una sola funzione $g$ (si dimostra in Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). Il risultato è la convoluzione $y=g*x$, la tf LTI o filtro, che si studia nella nota successiva e si descrive in frequenza con la Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →.

Errori comuni

• Dire che la finestra "non è lineare perché è un prodotto": il prodotto è con una forma fissa $w$, quindi è lineare.
• Dire che il campionatore è tempo-invariante: lo è solo per ritardi multipli di $T$.
• Concludere che un sistema è stabile perché un ingresso limitato dà uscita limitata: serve ogni ingresso limitato.
• Scambiare l'ordine di finestra e ritardo, o di finestra e filtro: non commutano.

Vedi anche: la materia gemella (Sistemi e loro proprietàUn sistema trasforma un segnale di ingresso in uno di uscita, $y=\Sigma[x]$. Le proprietà da saper verificare sono: memoria (statico/dinamico), causalità, linearità (additività + omogeneità), tempo-invarianza, stabilità BIBO, invertibilità, realtà. Per negare una proprietà basta un controesempio; per affermarla serve una dimostrazione con segnali generici.Sistemi e loro proprietà →) tratta le stesse proprietà con la convenzione $\omega$ e impulsi discreti di Dirac.