Risposta in frequenza dei sistemi FIR

Questa nota è il collegamento tra il dominio del tempo (equazione alle differenze, risposta impulsiva) e il dominio della frequenza. Richiama Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri → e Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →; i numeri complessi e la formula di Eulero stanno in Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi → e Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →. Il corso lavora in inglese: frequency response è la risposta in frequenza, gain il guadagno, phase shift lo sfasamento.

Il FIR e gli esponenziali complessi

Si prenda un FIR $y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]=\sum_{k=0}^{M}h[k]x[n-k]$ e un ingresso esponenziale complesso, definito per ogni $n$: $$x[n]=A\,e^{j\phi}\,e^{j\hat\omega n},\qquad-\infty<n<\infty,$$ con ampiezza $A$, fase $\phi$ e pulsazione normalizzata $\hat\omega$ in rad/campione. Un tale segnale nasce di norma dal campionamento di $x(t)=Ae^{j\phi}e^{j\omega t}$ con passo $T_s$, e allora $\hat\omega=\omega T_s$.

Sostituendo, $x[n-k]=Ae^{j\phi}e^{j\hat\omega(n-k)}=e^{-j\hat\omega k}\,Ae^{j\phi}e^{j\hat\omega n}$, e il fattore che dipende da $k$ esce dalla somma: $$y[n]=\Big(\sum_{k=0}^{M}b_k\,e^{-j\hat\omega k}\Big)\,A\,e^{j\phi}\,e^{j\hat\omega n}.$$

Definizione (risposta in frequenza, frequency response). $$\mathcal H(\hat\omega)=H(e^{j\hat\omega})=\sum_{k=0}^{M}b_k\,e^{-j\hat\omega k}=\sum_{k=0}^{M}h[k]\,e^{-j\hat\omega k}.$$ Con questa definizione, per ingresso $x[n]=Ae^{j\phi}e^{j\hat\omega n}$ l'uscita è $y[n]=\mathcal H(\hat\omega)\,A\,e^{j\phi}\,e^{j\hat\omega n}$.

Ci sono due modi di vedere $\mathcal H$: è la trasformata di Fourier a tempo discreto della risposta impulsiva (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →), ed è il polinomio $\sum b_kz^{-k}$ calcolato in $z=e^{j\hat\omega}$ (Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →).

Esempio. Per $\{b_k\}=\{1,2,1\}$: $\mathcal H(\hat\omega)=1+2e^{-j\hat\omega}+e^{-j2\hat\omega}$. A $\hat\omega=\frac\pi3$: $1+2e^{-j\pi/3}+e^{-j2\pi/3}=1+(1-j\sqrt3)+(-\tfrac12-j\tfrac{\sqrt3}2)=\tfrac32-j\tfrac{3\sqrt3}2$, di modulo $3$ e fase $-\frac\pi3$ (verificato). Quindi con $x[n]=2e^{j\pi/4}e^{j\pi n/3}$ si ha $y[n]=3e^{-j\pi/3}\cdot2e^{j\pi/4}e^{j\pi n/3}=6\,e^{j\pi/4}e^{j\frac\pi3(n-1)}$: ampiezza triplicata e ritardo di un campione.

Cosa si conclude

1. Un esponenziale complesso entra e esce con la stessa frequenza $\hat\omega$: cambiano solo ampiezza e fase complesse. (È l'analogo discreto del fatto che gli esponenziali sono autofunzioni degli LTI.)
2. $\mathcal H(\hat\omega)$ è complessa: si scrive in forma polare $\mathcal H=\lvert\mathcal H\rvert e^{j\angle\mathcal H}$ oppure cartesiana $\Re\{\mathcal H\}+j\Im\{\mathcal H\}$, e $$y[n]=\big(\lvert\mathcal H(\hat\omega)\rvert A\big)\,e^{j(\phi+\angle\mathcal H(\hat\omega))}\,e^{j\hat\omega n}.$$
   • $\lvert\mathcal H(\hat\omega)\rvert$ moltiplica l'ampiezza: è il guadagno (gain) del sistema alla frequenza $\hat\omega$;
   • $\angle\mathcal H(\hat\omega)$ si somma alla fase: è lo sfasamento (phase shift).

Sovrapposizione e ingressi sinusoidali

Un segnale che è somma di esponenziali complessi si filtra componente per componente (linearità), poi si risomma. Per una sinusoide si usa Eulero. Se $x[n]=A_0+A_1\cos(\hat\omega_1n+\phi_1)$: $$x[n]=A_0e^{j0n}+\tfrac{A_1}2e^{j\phi_1}e^{j\hat\omega_1n}+\tfrac{A_1}2e^{-j\phi_1}e^{-j\hat\omega_1n}$$ (la costante è un esponenziale con $\hat\omega=0$), da cui $$y[n]=\mathcal H(0)A_0+\mathcal H(\hat\omega_1)\tfrac{A_1}2e^{j\phi_1}e^{j\hat\omega_1n}+\mathcal H(-\hat\omega_1)\tfrac{A_1}2e^{-j\phi_1}e^{-j\hat\omega_1n}.$$ Per coefficienti reali $\mathcal H(-\hat\omega)=\mathcal H^*(\hat\omega)$ (si veda sotto): i due termini sono complessi coniugati e si ricompongono in un coseno: $$\boxed{y[n]=\mathcal H(0)A_0+\lvert\mathcal H(\hat\omega_1)\rvert A_1\cos\big(\hat\omega_1n+\phi_1+\angle\mathcal H(\hat\omega_1)\big)}$$ Ricetta: (1) si calcola $\mathcal H$ solo nelle frequenze presenti nell'ingresso; (2) si moltiplicano le ampiezze per $\lvert\mathcal H\rvert$; (3) si sommano le fasi con $\angle\mathcal H$; (4) la costante si moltiplica per $\mathcal H(0)$, che è reale ed è la somma dei coefficienti. Un ingresso che contiene un seno si riscrive prima come coseno ($\sin x=\cos(x-\frac\pi2)$).

Esempio. $\{b_k\}=\{1,2,1\}$ e $x[n]=4+3\cos(\frac\pi3n-\frac\pi2)$. $\mathcal H(0)=1+2+1=4$ e $\mathcal H(\frac\pi3)=3e^{-j\pi/3}$. Quindi $y[n]=16+9\cos(\frac\pi3n-\frac\pi2-\frac\pi3)=16+9\cos\!\big(\frac\pi3(n-1)-\frac\pi2\big)$ (verificato: coincide con il calcolo diretto della convoluzione, dopo il transitorio).

La conseguenza metodologica è l'approccio nel dominio della frequenza: invece di seguire campione per campione, si descrive come il filtro modifica lo spettro del segnale.

Proprietà della risposta in frequenza

Periodicità. $\mathcal H(\hat\omega+2\pi)=\sum b_ke^{-j(\hat\omega+2\pi)k}=\sum b_ke^{-j\hat\omega k}e^{-j2\pi k}=\mathcal H(\hat\omega)$ perché $e^{-j2\pi k}=1$ per $k$ intero. Due esponenziali discreti con frequenze che differiscono di $2\pi$ hanno gli stessi campioni e non si distinguono (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →): basta quindi descrivere $\mathcal H$ su un periodo.

Simmetria coniugata. Se i coefficienti sono reali, $\mathcal H^*(\hat\omega)=\sum b_ke^{+j\hat\omega k}=\mathcal H(-\hat\omega)$. Ne seguono modulo pari e fase dispari, parte reale pari e parte immaginaria dispari: $$\lvert\mathcal H(-\hat\omega)\rvert=\lvert\mathcal H(\hat\omega)\rvert,\qquad\angle\mathcal H(-\hat\omega)=-\angle\mathcal H(\hat\omega).$$ Per questo i grafici si fanno solo su $0\le\hat\omega\le\pi$: la parte negativa si ricostruisce per simmetria.

Cascata. Se due LTI sono in cascata la risposta impulsiva è $h_1*h_2$, e la convoluzione diventa prodotto: $$h_1[n]*h_2[n]\ \longleftrightarrow\ \mathcal H_1(\hat\omega)\,\mathcal H_2(\hat\omega).$$ Moduli e guadagni si moltiplicano, le fasi si sommano. Per la commutatività del prodotto l'ordine non conta.

Esempi fondamentali

Ritardo

$y[n]=x[n-n_0]$ ha un solo coefficiente non nullo, $b_{n_0}=1$, e $\mathcal H(\hat\omega)=e^{-j\hat\omega n_0}$: modulo $1$ e fase $-\hat\omega n_0$, lineare in $\hat\omega$. Una fase lineare equivale a un ritardo, e questo vale per tutti i filtri (Sistemi a fase lineare e assenza di distorsioneUn sistema non deforma il segnale se y[n] = K x[n-n0]: modulo costante e fase lineare -n0 w, cioè ritardo di gruppo costante n0. Un sistema reale e causale ha fase lineare (generalizzata) se e solo se è FIR con risposta impulsiva simmetrica h[n] = h[N-n] (ampiezza pari, fase -N w/2) o antisimmetrica h[n] = -h[N-n] (ampiezza dispari, fase -N w/2 + pi/2). Il ritardo di gruppo è N/2: intero se N è pari (vale la condizione di non distorsione), semi-intero se N è dispari (uscita interpolata e ritardata). Un IIR causale non può essere simmetrico, quindi non ha fase lineare esatta.Sistemi a fase lineare e assenza di distorsione →).

Differenza prima (first difference)

$y[n]=x[n]-x[n-1]$: $\mathcal H(\hat\omega)=1-e^{-j\hat\omega}$. Raccogliendo $e^{-j\hat\omega/2}$: $\mathcal H=e^{-j\hat\omega/2}(e^{j\hat\omega/2}-e^{-j\hat\omega/2})=2j\sin(\tfrac{\hat\omega}2)\,e^{-j\hat\omega/2}$, quindi $$\lvert\mathcal H(\hat\omega)\rvert=2\,\Big\lvert\sin\tfrac{\hat\omega}2\Big\rvert,\qquad\angle\mathcal H(\hat\omega)=\frac\pi2-\frac{\hat\omega}2\quad(0<\hat\omega<\pi).$$ Il guadagno è $0$ in $\hat\omega=0$ (blocca le costanti) e cresce fino a $2$ in $\hat\omega=\pi$: è un passa-alto. Valori: $\lvert\mathcal H(\frac\pi3)\rvert=1$, $\lvert\mathcal H(\frac\pi2)\rvert=\sqrt2$, fase $\frac\pi3$ e $\frac\pi4$ rispettivamente (verificati).

Il filtro $\{1,2,1\}$

$\mathcal H=1+2e^{-j\hat\omega}+e^{-j2\hat\omega}=e^{-j\hat\omega}(e^{j\hat\omega}+2+e^{-j\hat\omega})=(2+2\cos\hat\omega)\,e^{-j\hat\omega}$. Poiché $2+2\cos\hat\omega\ge0$ per ogni $\hat\omega$, è già il modulo: $\lvert\mathcal H\rvert=2+2\cos\hat\omega=4\cos^2\frac{\hat\omega}2$ e $\angle\mathcal H=-\hat\omega$. Passa-basso (guadagno $4$ in $0$, $0$ in $\pi$) con fase lineare, cioè ritardo di un campione. (Se invece il fattore reale cambiasse segno, il modulo sarebbe il suo valore assoluto e la fase avrebbe salti di $\pm\pi$: succede nella media mobile qui sotto.)

Media mobile di $L$ punti

$y[n]=\frac1L\sum_{k=0}^{L-1}x[n-k]$, quindi $\mathcal H(\hat\omega)=\frac1L\sum_{k=0}^{L-1}e^{-j\hat\omega k}$. Con la somma dei primi $L$ termini di una serie geometrica, $\sum_{k=0}^{L-1}a^k=\frac{1-a^L}{1-a}$ (ragione $a=e^{-j\hat\omega}$; Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): $$\mathcal H(\hat\omega)=\frac1L\,\frac{1-e^{-j\hat\omega L}}{1-e^{-j\hat\omega}}.$$ Si raccoglie al numeratore $e^{-j\hat\omega L/2}$ e al denominatore $e^{-j\hat\omega/2}$, e si usa $e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}=2j\sin\alpha$: $$\mathcal H(\hat\omega)=\frac1L\,\frac{e^{-j\hat\omega L/2}\,2j\sin(\hat\omega L/2)}{e^{-j\hat\omega/2}\,2j\sin(\hat\omega/2)}=\underbrace{\frac{\sin(L\hat\omega/2)}{L\sin(\hat\omega/2)}}_{D_L(\hat\omega)}\;e^{-j\hat\omega\frac{L-1}2}.$$

Formula (media mobile e nucleo di Dirichlet). $\mathcal H(\hat\omega)=D_L(\hat\omega)\,e^{-j\hat\omega(L-1)/2}$ con $D_L(\hat\omega)=\dfrac{\sin(L\hat\omega/2)}{L\sin(\hat\omega/2)}$ (forma di Dirichlet), $D_L(0)=1$.

Esempio ($L=5$). $\mathcal H=D_5(\hat\omega)e^{-j2\hat\omega}$. In $\hat\omega=0{,}3\pi$ la fase è $-0{,}6\pi$ ($D_5>0$). In $\hat\omega=0{,}5\pi$: $D_5=\frac{\sin(5\pi/4)}{5\sin(\pi/4)}=-0{,}2<0$ e la fase è $-\pi+\pi=0$ (verificato).

È il prodotto di due fattori: $e^{-j\hat\omega(L-1)/2}$ ha modulo $1$ e dà alla fase la parte lineare $-\hat\omega\frac{L-1}2$, cioè un ritardo di $\frac{L-1}2=\frac M2$ campioni (per $L=3$: $1$; per $L=51$: $25$, come nel filtraggio della serie storica); $D_L$ è reale e dà il modulo. Dove $D_L<0$ la fase fa un salto di $\pm\pi$ e il modulo vale $\lvert D_L\rvert$. $D_L$ si annulla nei punti in cui $\sin(L\hat\omega/2)=0$ e $\sin(\hat\omega/2)\neq0$, cioè $$\hat\omega=\frac{2\pi k}L,\qquad k\in\mathbb Z,\ k\text{ non multiplo di }L$$ (per $k$ multiplo di $L$ anche il denominatore si annulla e $D_L=\pm1$). Per $L=11$ gli zeri sono in $\frac{2\pi}{11}\approx0{,}571,\ 1{,}142,\dots$ Il lobo principale è largo $\frac{4\pi}L$ (da zero a zero), i lobi laterali hanno altezza $\approx0{,}223$ per $L=11$ (e $0{,}25$ per $L=5$): la media mobile è un passa-basso mediocre, che non taglia bene le alte frequenze. Il prodotto $D_L\,e^{-j\hat\omega(L-1)/2}$ ha periodo $2\pi$, anche se i due fattori presi da soli possono cambiare segno dopo $2\pi$ (quando $L$ è pari).

Esempio (filtraggio di un segnale). Se all'ingresso di una media mobile a $11$ punti si somma un coseno di periodo $11$ campioni, $100\cos(\frac{2\pi n}{11})$, la sua frequenza $\hat\omega=\frac{2\pi}{11}$ è uno zero di $D_{11}$: la componente scompare esattamente (a regime), e l'uscita è la parte lenta del segnale originale ritardata di $5$ campioni. È l'idea di un filtro che "cancella" una frequenza nota.

Domande d'esame

1. Definire la risposta in frequenza di un filtro FIR e mostrare cosa succede a una sinusoide. Traccia: ingresso esponenziale complesso; sostituzione e raccolta di $\sum b_ke^{-j\hat\omega k}$; $y=\mathcal H(\hat\omega)x$; modulo = guadagno, fase = sfasamento; scomposizione di $A_0+A_1\cos(\hat\omega_1n+\phi_1)$ con Eulero e sovrapposizione; formula finale; periodicità $2\pi$ e simmetria coniugata (coefficienti reali).
2. Ricavare la risposta in frequenza della media mobile a $L$ punti, commentare modulo e fase. Traccia: serie geometrica con $a=e^{-j\hat\omega}$; fattorizzazione $D_L(\hat\omega)e^{-j\hat\omega(L-1)/2}$; zeri in $2\pi k/L$; fase lineare = ritardo $M/2$, salti di $\pi$ dove $D_L<0$; passa-basso con lobi laterali alti ($\approx22\%$ per $L=11$).