Esercizio - Train your brain 1 - media mobile, FIR e proprietà dei sistemi

Testo ("Train your brain" della lezione 2 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD: otto brevi esercizi, riportati sotto). I primi cinque riguardano filtri FIR, schemi a blocchi e cascata; gli ultimi tre il test di invarianza temporale e di linearità. L'ingresso degli esercizi 1 e 2 è $x[n]=\{2,4,6,4,2\}$ per $n=0,\dots,4$ e zero altrove (come in Sistemi a tempo discreto e filtri FIRUn sistema a tempo discreto trasforma una sequenza x[n] in una sequenza y[n]. Il filtro FIR causale di ordine M calcola y[n] = Σ b_k x[n-k] (k = 0..M): è una media mobile pesata di L = M+1 campioni, la sua risposta impulsiva h[n] coincide con i coefficienti b_k e l'uscita ha supporto lungo N+M se l'ingresso è lungo N. La media mobile è un passa-basso che ritarda di M/2 campioni; la versione centrata non è causale. Gli schemi a blocchi usano solo moltiplicatori, sommatori e ritardi unitari, senza anelli (feed-forward).Sistemi a tempo discreto e filtri FIR →).

Teoria usata: Sistemi a tempo discreto e filtri FIRUn sistema a tempo discreto trasforma una sequenza x[n] in una sequenza y[n]. Il filtro FIR causale di ordine M calcola y[n] = Σ b_k x[n-k] (k = 0..M): è una media mobile pesata di L = M+1 campioni, la sua risposta impulsiva h[n] coincide con i coefficienti b_k e l'uscita ha supporto lungo N+M se l'ingresso è lungo N. La media mobile è un passa-basso che ritarda di M/2 campioni; la versione centrata non è causale. Gli schemi a blocchi usano solo moltiplicatori, sommatori e ritardi unitari, senza anelli (feed-forward).Sistemi a tempo discreto e filtri FIR → (media mobile, causalità, forma diretta e trasposta), Sistemi LTI e convoluzione discretaUn sistema lineare e tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva h[n]: y[n] = Σ x[k] h[n-k] = x[n] * h[n] (somma di convoluzione). Si ricava scomponendo x in impulsi traslati e usando linearità e invarianza. La convoluzione è commutativa, associativa e distributiva; una cascata di LTI equivale a un solo filtro con h = h1 * h2 e l'ordine non conta. Se x ha lunghezza N e h lunghezza L, y ha lunghezza N+L-1. Si calcola col metodo della finestra scorrevole o a tabella. I FIR sono LTI; altri sistemi (n·x[n], x[-n], x²) non lo sono.Sistemi LTI e convoluzione discreta → (cascata, metodo tabellare, test di invarianza e linearità).

1 - media mobile centrata

Testo. $y[n]=\frac13\big(x[n+1]+x[n]+x[n-1]\big)$: (Q1) è causale? (Q2) supporto dell'uscita? (Q3) confronto tra i grafici di $y$ e $x$.

Svolgimento. $y[0]=\frac13(x[1]+x[0]+x[-1])=\frac13(4+2+0)=2$; $y[-1]=\frac13(x[0]+x[-1]+x[-2])=\frac13(2+0+0)=\frac23$; $y[-2]=0$; $y[1]=\frac13(6+4+2)=4$; $y[2]=\frac13(4+6+4)=\frac{14}3$; $y[3]=\frac13(2+4+6)=4$; $y[4]=\frac13(0+2+4)=2$; $y[5]=\frac13(0+0+2)=\frac23$; $y[6]=0$.

(verificato con Python). Q1: non causale, perché usa $x[n+1]$ (il futuro) e infatti $y[-1]=\frac23\ne0$ anche se $x[-1]=0$. Q2: supporto $-1\le n\le5$. Q3: $y$ ha lo stesso baricentro di $x$ (picco in $n=2$) ma è più "liscia" e più larga di due campioni (un campione per parte): effetto passa-basso della media. Il grafico di $y$ è quello di Sistemi a tempo discreto e filtri FIRUn sistema a tempo discreto trasforma una sequenza x[n] in una sequenza y[n]. Il filtro FIR causale di ordine M calcola y[n] = Σ b_k x[n-k] (k = 0..M): è una media mobile pesata di L = M+1 campioni, la sua risposta impulsiva h[n] coincide con i coefficienti b_k e l'uscita ha supporto lungo N+M se l'ingresso è lungo N. La media mobile è un passa-basso che ritarda di M/2 campioni; la versione centrata non è causale. Gli schemi a blocchi usano solo moltiplicatori, sommatori e ritardi unitari, senza anelli (feed-forward).Sistemi a tempo discreto e filtri FIR →.

2 - filtro di lunghezza 4

Testo. Calcolare $y[n]$ per il filtro con $\{b_k\}=\{3,-1,2,1\}$ e lo stesso ingresso.

Svolgimento. $y[n]=3x[n]-x[n-1]+2x[n-2]+x[n-3]$. Esempi: $y[0]=3\cdot2=6$; $y[1]=3\cdot4-2=10$; $y[2]=3\cdot6-4+2\cdot2=18$; $y[3]=3\cdot4-6+2\cdot4+2=16$; $y[4]=3\cdot2-4+2\cdot6+4=18$; $y[5]=0-2+2\cdot4+6=12$; $y[6]=0-0+2\cdot2+4=8$; $y[7]=0-0+0+2=2$; $y[8]=0$.

L'uscita ha $5+3=8$ campioni ($N+M$ con $N=5$, $M=3$), da $n=0$ a $n=7$ (verificato con la convoluzione).

3 - equazione dalla forma diretta

Testo. Schema in forma diretta con tre ritardi e pesi $b_0=3$, $b_1=2$, $b_2=-1$, $b_3=2$ sui segnali $x[n],x[n-1],x[n-2],x[n-3]$: scrivere l'equazione alle differenze.

Svolgimento. Le uscite dei ritardi sono $x[n-1],x[n-2],x[n-3]$; ognuna è moltiplicata per il proprio peso e le uscite si sommano: $y[n]=3x[n]+2x[n-1]-x[n-2]+2x[n-3]$.

4 - equazione dalla forma trasposta

Testo. Schema trasposto: $x[n]$ va in parallelo a quattro moltiplicatori $b_3,b_2,b_1,b_0$ e le somme parziali percorrono una catena di ritardi. Ricavare l'equazione.

Svolgimento. Si dà un nome al segnale all'ingresso di ciascun ritardo: $v_3[n]=b_3x[n]$, $v_2[n]=b_2x[n]+v_3[n-1]$, $v_1[n]=b_1x[n]+v_2[n-1]$, $y[n]=b_0x[n]+v_1[n-1]$. Sostituendo all'indietro: $v_2[n-1]=b_2x[n-1]+b_3x[n-2]$; $v_1[n-1]=b_1x[n-1]+v_2[n-2]=b_1x[n-1]+b_2x[n-2]+b_3x[n-3]$; e quindi $y[n]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+b_2x[n-2]+b_3x[n-3]$, la stessa equazione della forma diretta. Le due strutture sono equivalenti dal punto di vista ingresso-uscita (ma differiscono per ordine di calcolo e rumore di arrotondamento).

5 - cascata e costo di realizzazione

Testo. Cascata di $h_1[n]=1$ per $0\le n\le3$ e $h_2[n]=1$ per $0\le n\le2$ (zero altrove): risposta impulsiva equivalente e confronto tra le due realizzazioni.

Svolgimento. $h=h_1*h_2$ con il metodo tabellare (tre righe di $\{1,1,1,1\}$ spostate di $0,1,2$ colonne, e somma per colonna):

Quindi $h=\{1,2,3,3,2,1\}$ (trapezio, $4+3-1=6$ campioni; verificato). Due realizzazioni: (1) un solo filtro $y[n]=\sum_{k=0}^{5}b_kx[n-k]$; (2) due equazioni in cascata $w[n]=\sum_{k=0}^3x[n-k]$, $y[n]=\sum_{k=0}^2w[n-k]$.

Costo per campione di uscita. (1): $6$ moltiplicazioni e $5$ somme. (2): nessuna moltiplicazione e $3+2=5$ somme. Nota sui conti del corso: il corso scrive $6$ addizioni e $6$ moltiplicazioni per (1) e $7$ addizioni per (2) contando i termini di ogni somma ($6$; $4+3$) invece delle somme effettive (uno in meno per ciascuna: $5$; $3+2$): in entrambi i conteggi la differenza vera è che la realizzazione (2) elimina le $6$ moltiplicazioni. Il motivo pratico: un moltiplicatore vale parecchie addizioni, su FPGA occupa più area e usa più transistor, quindi consuma più potenza.

6, 7, 8 - invarianza temporale e linearità

Per ogni sistema si confrontano i due percorsi: ritardo dopo il sistema, $y[n-n_0]$, e ritardo prima, $T\{x[n-n_0]\}$.

6. $y[n]=n\,x[n]$. Dopo: $y[n-n_0]=(n-n_0)\,x[n-n_0]$. Prima: $n\,x[n-n_0]$. Diversi: non tempo-invariante (il coefficiente $n$ si trasla solo nel primo percorso).

7. $y[n]=x[n]^2$. Dopo: $y[n-n_0]=x[n-n_0]^2$. Prima: $(x[n-n_0])^2$. Uguali: tempo-invariante. (Non è lineare: $(2x)^2=4x^2\ne2x^2$.)

8. $y[n]=x[-n]$ (ribaltamento). Invarianza: dopo: $y[n-n_0]=x[-(n-n_0)]=x[-n+n_0]$; prima: $w[n]=x[n-n_0]$ e $w[-n]=x[-n-n_0]$. Diversi ($+n_0$ contro $-n_0$): non tempo-invariante. Linearità: scalamento $\alpha x[n]\to\alpha x[-n]=\alpha y[n]$ ✓ e sovrapposizione $x_1+x_2\to x_1[-n]+x_2[-n]=y_1[n]+y_2[n]$ ✓: lineare. Errore tipico: nel percorso "prima" sostituire $n\to n-n_0$ anche dentro il ribaltamento e ottenere $x[-n+n_0]$; il ritardo si applica all'ingresso $w[n]=x[n-n_0]$ e solo dopo il sistema lo ribalta.