Forza elastica

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La forza di richiamo di una molla. È la forza che produce il Moto armonico semplice visto in cinematica, e compare in moltissimi temi d'esame (molle che frenano piattaforme, che spingono blocchetti, che collegano due corpi). Prima: Attrito viscoso. Seguito: Forza centripeta nel moto curvilineo. Esercizi: Esercizio 23 · due blocchetti e una molla su un piano inclinato scabro, Esercizio 24 · blocchetto su un cuneo fermo e molla, Esercizio 41 · blocchetto su una piattaforma frenata da una molla, Esercizio 26 · molla tra un blocchetto e un blocco con attrito, Esercizio 29 · piattaforma spinta che urta un ostacolo.

Legge di Hooke

Una molla ha una lunghezza di riposo $\ell_0$ : se non è né allungata né compressa non esercita forza. Se la si deforma di $\Delta x$ (allungamento se $\Delta x > 0$ , compressione se $\Delta x < 0$ ), la molla esercita ai suoi estremi una forza

$F = -k\,\Delta x$

opposta alla deformazione (il segno meno): una molla allungata tira, una molla compressa spinge; in entrambi i casi la forza tende a riportarla alla lunghezza di riposo (forza di richiamo);
proporzionale alla deformazione: doppia deformazione, doppia forza;
$k > 0$ è la costante elastica, in N/m: quanti newton servono per deformare la molla di un metro. Una molla "dura" ha $k$ grande.

La legge vale per deformazioni non troppo grandi (oltre il limite di elasticità la molla si deforma in modo permanente). In questo corso le molle sono ideali: massa trascurabile e legge di Hooke esatta. Una molla ideale esercita forze uguali e opposte ai suoi due estremi.

Attenzione a cosa si misura: $\Delta x$ è la deformazione rispetto alla lunghezza di riposo, non la posizione del corpo. Se l'origine dell'asse $x$ si mette proprio dove l'estremo della molla sta quando è a riposo, allora $\Delta x = x$ e la legge diventa $F = -kx$ : è la scelta più comoda.

Misura di $k$ (statica). Si appende un corpo di massa $m$ alla molla e si misura l'allungamento $\Delta$ all'equilibrio: $k\Delta = mg$ , quindi $k = mg/\Delta$ . Esempio: $m = 0{,}5$ kg allunga una molla di $0{,}613$ m, quindi $k = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}81}{0{,}613} = 8$ N/m.

L'oscillatore armonico: massa e molla

Un corpo di massa $m$ su un piano orizzontale liscio, attaccato a una molla fissata a una parete. Origine nella posizione in cui la molla è a riposo. Lungo $x$ agisce solo la forza elastica (peso e normale si bilanciano lungo la verticale):

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

È l'equazione differenziale del moto armonico (Moto armonico semplice): l'accelerazione è proporzionale allo spostamento e opposta a esso. La soluzione generale è

$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi), \qquad v(t) = A\omega\cos(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t)$

(si verifica derivando due volte). Le grandezze:

simbolo	nome	da cosa dipende
$\omega = \sqrt{k/m}$	pulsazione (rad/s)	solo da molla e massa
$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$	periodo (s)	solo da molla e massa
$A$	ampiezza (m), massimo spostamento	condizioni iniziali
$\varphi$	fase iniziale (rad)	condizioni iniziali

Il periodo non dipende dall'ampiezza (isocronismo): grandi o piccole, le oscillazioni durano lo stesso tempo. Più massa, oscillazioni più lente; molla più dura, più veloci. Controllo delle dimensioni: $\sqrt{\frac{\text{N/m}}{\text{kg}}} = \sqrt{\frac{\text{kg}\,\text{s}^{-2}}{\text{kg}}} = \text{s}^{-1}$ ✓.

Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

All'istante $t = 0$ il corpo è in $x_0$ con velocità $v_0$ :

$x_0 = A\sin\varphi, \qquad v_0 = A\omega\cos\varphi$

Elevando al quadrato e sommando (dopo aver diviso la seconda per $\omega$ ), visto che $\sin^2 + \cos^2 = 1$ :

$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{\omega x_0}{v_0}$

Casi frequenti negli esercizi:

parte ferma da $x_0$ (molla compressa e poi lasciata): $A = |x_0|$ ;
parte dalla posizione di riposo con velocità $v_0$ (un blocchetto che arriva contro una molla): $A = v_0/\omega$ , $x(t) = \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)$ . La massima compressione è $A = v_0/\omega$ e viene raggiunta dopo un quarto di periodo, $t = T/4$ (Esercizio 24 · blocchetto su un cuneo fermo e molla).

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 8$ N/m: $\omega = \sqrt{16} = 4$ rad/s, $T = \frac{2\pi}{4} = 1{,}57$ s. Il corpo parte da $x_0 = 0{,}1$ m con $v_0 = 0{,}6$ m/s: $A = \sqrt{0{,}01 + 0{,}15^2} = 0{,}180$ m, $\varphi = \arctan\frac{0{,}4}{0{,}6} = 0{,}588$ rad. Velocità massima $A\omega = 0{,}72$ m/s, accelerazione massima $A\omega^2 = 2{,}88\ \text{m/s}^2$ .

Grafico interattivo: Oscillatore con m = 0,5 kg e k = 8 N/m: posizione x(t) = 0,180 sin(4t + 0,588) in m (ordinata), tempo t in s (ascissa). Periodo 1,57 s

Velocità in funzione della posizione

Spesso si chiede la velocità quando la molla ha una certa deformazione, senza conoscere il tempo. Da $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ e $v = A\omega\cos(\omega t + \varphi)$ , ancora con $\sin^2 + \cos^2 = 1$ :

$\left(\frac{x}{A}\right)^2 + \left(\frac{v}{A\omega}\right)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad v^2 = \omega^2\left(A^2 - x^2\right)$

La velocità è massima ( $A\omega$ ) nel centro di oscillazione e nulla agli estremi $x = \pm A$ . Questa relazione è equivalente alla conservazione dell'energia (Conservazione dell'energia meccanica): moltiplicando per $\frac{m}{2}$ si ottiene $\frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2$ , costante.

Molla più una forza costante

Se oltre alla molla agisce una forza costante $F_0$ (il peso per una molla verticale, la componente del peso lungo un piano inclinato, un attrito dinamico che non cambia verso), l'equazione è

$m\ddot x = -kx + F_0$

Si definisce la posizione di equilibrio $x_{eq} = F_0/k$ , dove la risultante è nulla, e la nuova coordinata $x' = x - x_{eq}$ (spostamento dall'equilibrio). Siccome $x_{eq}$ è costante, $\ddot x' = \ddot x$ , e l'equazione diventa

$m\ddot x' = -kx'$

Il moto è ancora armonico, con la stessa $\omega = \sqrt{k/m}$ , ma attorno alla posizione di equilibrio invece che attorno alla lunghezza di riposo. La forza costante sposta il centro delle oscillazioni e non cambia il periodo.

Molla verticale. Un corpo appeso a una molla: $F_0 = mg$ , quindi all'equilibrio la molla è allungata di $\Delta = mg/k$ , e il corpo oscilla attorno a quel punto con $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ , come se il peso non ci fosse.

Questo trucco risolve le domande "massima velocità" dei temi: la velocità è massima quando l'accelerazione è nulla, cioè nella posizione di equilibrio, e vale $\omega A$ con $A$ calcolata dalle condizioni iniziali rispetto all'equilibrio (Esercizio 23 · due blocchetti e una molla su un piano inclinato scabro).

Riassunto

grandezza	formula
legge di Hooke	$F = -k\,\Delta x$
pulsazione e periodo	$\omega = \sqrt{k/m}$ , $T = 2\pi\sqrt{m/k}$
legge oraria	$x = A\sin(\omega t + \varphi)$
ampiezza	$A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$
velocità e posizione	$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$
con forza costante $F_0$	oscilla attorno a $x_{eq} = F_0/k$ , stessa $\omega$

Errori comuni

Usare la posizione invece della deformazione in $F = -k\Delta x$ : la forza dipende da quanto la molla è allungata o compressa rispetto al riposo.
Usare le formule del moto uniformemente accelerato con una molla: la forza cambia con la posizione, quindi l'accelerazione non è costante.
Calcolare l'ampiezza dalla lunghezza di riposo quando c'è anche una forza costante: le oscillazioni sono attorno all'equilibrio.
Mettere gli angoli in gradi in $\sin(\omega t + \varphi)$ : $\omega t$ è in radianti.