Esercizio 28due pendoli tenuti aperti da una molla

Testo (tema d'esame del 4 febbraio 2022, problema 1). Due sferette uguali di dimensioni trascurabili e massa $m = 0{,}2$ kg sono appese tramite due fili inestensibili di egual lunghezza $\ell = 0{,}8$ m ad uno stesso punto fisso $O$. Tra le due sfere è inserita una molla disposta orizzontalmente (vedi figura), compressa di $d = 0{,}3$ m rispetto alla sua lunghezza di riposo; in queste condizioni l'angolo di semiapertura tra i due fili è $\vartheta = 10{,}8°$. Il sistema è in equilibrio statico. Determinare:

a) la tensione $\tau$ di ciascuno dei due fili e la costante elastica $k$ della molla.

La molla viene rimossa, e si lasciano le due sferette libere di muoversi sotto l'azione della forza peso. Determinare:

b) la velocità alla quale le sferette si scontrano ed il tempo impiegato fino all'urto; c) l'impulso lungo l'asse $x$, orientato come in figura, ricevuto nell'urto dalla sferetta di sinistra, se si osserva che le due sferette rimbalzano con una velocità di modulo $v' = 0{,}4$ m/s.

Figura. Dal punto $O$ scendono due fili che formano una "V" rovesciata, ciascuno inclinato di $\vartheta$ rispetto alla verticale. Le sferette stanno alle estremità, alla stessa quota; la molla orizzontale le tiene distanziate. Asse $x$ orizzontale verso destra, asse $y$ verticale.

Impostazione

Per simmetria basta studiare una sferetta, per esempio quella di destra. Tre fasi: equilibrio con la molla, discesa da pendolo, urto.

a) Equilibrio: tensione e costante elastica

Sulla sferetta di destra agiscono tre forze:

• il peso $m g$, verso il basso;
• la tensione $\tau$ del filo, diretta lungo il filo verso $O$, cioè in alto e verso sinistra, inclinata di $\vartheta$ dalla verticale;
• la forza della molla compressa: una molla compressa spinge i due estremi verso l'esterno, quindi sulla sferetta di destra agisce $k d$ verso destra (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →).

La sferetta è ferma: la risultante è nulla (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →). Si proietta sugli assi.

Verticale: la componente verticale della tensione regge il peso, $$\tau\cos\vartheta = m g \quad\Longrightarrow\quad \tau = \frac{m g}{\cos\vartheta} = \frac{0{,}2 \cdot 9{,}81}{0{,}982} = 2{,}00\ \text{N}$$

Orizzontale: la componente orizzontale della tensione (verso sinistra) bilancia la molla (verso destra), $$\tau\sin\vartheta = k d \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\tau\sin\vartheta}{d} = \frac{m g\tan\vartheta}{d} = \frac{1{,}962 \cdot 0{,}191}{0{,}3} = 1{,}25\ \text{N/m}$$

La tensione è appena maggiore del peso ($1{,}96$ N), perché il filo è quasi verticale.

b) Velocità all'urto e tempo impiegato

Tolta la molla, ciascuna sferetta è un Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice → che parte da fermo con il filo inclinato di $\vartheta$. Per simmetria le due sferette arrivano insieme nel punto più basso, sotto $O$, e lì si scontrano: ciascuna ha percorso un arco di pendolo dall'angolo $\vartheta$ all'angolo $0$.

Velocità. La tensione è sempre perpendicolare alla velocità e non lavora; si conserva l'energia meccanica (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →). La sferetta scende di $$h = \ell - \ell\cos\vartheta = \ell\,(1 - \cos\vartheta) = 0{,}8 \cdot 0{,}0177 = 0{,}0142\ \text{m}$$

$$m g h = \tfrac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 g \ell\,(1 - \cos\vartheta)} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0142} = 0{,}527\ \text{m/s}$$

Tempo. $10{,}8° = 0{,}188$ rad è un angolo piccolo, quindi vale l'approssimazione delle piccole oscillazioni: il moto è armonico con periodo indipendente dall'ampiezza, $$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}8}{9{,}81}} = 1{,}79\ \text{s}$$

Dall'estremo (velocità nulla) al centro (punto più basso) passa un quarto di periodo: $$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 0{,}449\ \text{s}$$

Quanto vale l'approssimazione. Per un'ampiezza di $10{,}8°$ il periodo vero supera quello delle piccole oscillazioni di circa lo $0{,}2\%$: l'errore è trascurabile rispetto all'arrotondamento dei dati.

c) Impulso ricevuto dalla sferetta di sinistra

Per il teorema dell'impulsoL'impulso ricevuto da un corpo è uguale alla variazione della sua quantità di moto: J = p finale − p iniziale.Quantità di moto e impulso → l'impulso è la variazione della quantità di moto. Nell'istante dell'urto il filo è verticale e la velocità è orizzontale, quindi basta la componente $x$.

La sferetta di sinistra arriva da sinistra, cioè si muove verso destra: $v_i = +0{,}527$ m/s. Rimbalza e torna verso sinistra: $v_f = -0{,}4$ m/s.

$$J_x = m\,(v_f - v_i) = 0{,}2 \cdot (-0{,}4 - 0{,}527) = 0{,}2 \cdot (-0{,}927) = -0{,}185\ \text{N·s}$$

Il segno meno dice che l'impulso è diretto verso sinistra: è la spinta che la sferetta di destra le ha dato per farla rimbalzare. Per il terzo principio la sferetta di destra riceve l'impulso opposto, $+0{,}185$ N·s.

Che urto è. La quantità di moto totale è nulla prima ($+m v - m v$) e dopo ($-m v' + m v'$): si conserva, come deve in un urto tra due corpi isolati in orizzontale (Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali →). L'energia cinetica invece cala: prima $2 \cdot \frac12 m v^2 = 0{,}0556$ J, dopo $2 \cdot \frac12 m v'^2 = 0{,}0320$ J. Si perdono $0{,}024$ J: l'urto è anelastico, con coefficiente di restituzione $$e = \frac{\text{velocità relativa dopo}}{\text{velocità relativa prima}} = \frac{0{,}8}{1{,}054} = 0{,}76$$ Se fosse stato elastico le sferette sarebbero rimbalzate con la stessa velocità con cui sono arrivate, $0{,}527$ m/s.

Risultati

Errori comuni

• Confondere seno e coseno nelle componenti della tensione: l'angolo è misurato dalla verticale, quindi la componente verticale è $\tau\cos\vartheta$.
• Usare l'accelerazione costante per il tempo di discesa: lungo l'arco la forza cambia, il moto è armonico (per piccoli angoli) e il tempo è un quarto di periodo.
• Calcolare l'impulso con le velocità in modulo, $m(0{,}4 - 0{,}527)$: il verso cambia, quindi le velocità vanno prese con il segno e i moduli si sommano.
• Calcolare l'impulso sul sistema: è nullo; la domanda chiede quello su una sola sferetta.