Esercizio 37molla fissata al centro di una guida semicircolare

Testo (compitino del 14 aprile 2025, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}3\ \text{kg}$ e dimensioni trascurabili è collegato ad una molla di costante elastica $k = 12\ \text{N/m}$, fissata nell'altro suo estremo nel centro $C$ di una guida semicircolare di raggio $R = 0{,}8\ \text{m}$. La guida è priva di attrito ed è disposta in un piano verticale; la lunghezza di riposo $\ell$ della molla è uguale al raggio $R$ della guida circolare. Il blocchetto è mantenuto fermo da una forza applicata orizzontalmente, appoggiato nella posizione $A$ su un piano orizzontale privo di attrito, con il segmento $CA$ che forma l'angolo $\vartheta = 30°$ con la direzione verticale (vedi figura). Determinare:

a) l'allungamento $\Delta$ della molla e la reazione vincolare $\Phi_A$ esercitata in $A$ dal piano sul blocchetto.

All'istante iniziale la forza viene eliminata, lasciando il blocchetto libero di muoversi. Determinare:

b) l'accelerazione iniziale del blocchetto;

c) la velocità del blocchetto nel punto $O$ all'inizio della guida;

d) l'accelerazione del blocchetto nel punto $P$ in cui raggiunge la massima quota lungo la guida e la reazione vincolare in $P$ della guida.

Figura. Il punto $O$ è sul piano orizzontale, esattamente sotto il centro $C$ (quindi $\overline{CO} = R$). Da $O$ parte verso destra la guida circolare di centro $C$, che sale incurvandosi. Il blocchetto sta sul piano a sinistra di $O$, nel punto $A$; la molla va da $C$ al blocchetto, inclinata di $30°$ rispetto alla verticale.

Grandezze e geometria

Quanto è lunga la molla in $A$. Il triangolo $C O A$ è rettangolo in $O$: il cateto verticale $CO$ vale $R$ e l'angolo in $C$ è $\vartheta$. L'ipotenusa è

$$\overline{CA} = \frac{R}{\cos\vartheta} = \frac{0{,}8}{0{,}866} = 0{,}924\ \text{m}$$

a) Allungamento e reazione del piano in $A$

Allungamento. È la lunghezza attuale meno quella a riposo:

$$\Delta = \overline{CA} - \ell = \frac{R}{\cos\vartheta} - R = R\left(\frac{1}{\cos\vartheta} - 1\right) = 0{,}8 \cdot 0{,}1547 = 0{,}124\ \text{m}$$

La molla è allungata, quindi tira il blocchetto verso $C$Una molla allungata richiama verso il suo punto fisso con una forza di modulo k per l'allungamento, diretta lungo l'asse della molla.Forza elastica →, cioè lungo $AC$: verso l'alto e verso destra. Il modulo è $k\Delta = 12 \cdot 0{,}124 = 1{,}49\ \text{N}$.

Reazione del piano. Sul blocchetto fermo agiscono: peso $mg$ (giù), reazione $\Phi_A$ del piano (su, perpendicolare al piano liscio), forza della molla $k\Delta$ lungo $AC$, forza applicata orizzontale. La forza applicata è orizzontale e non entra nella proiezione verticale. La molla forma l'angolo $\vartheta$ con la verticale, quindi la sua componente verticale è $k\Delta\cos\vartheta$, verso l'alto. Equilibrio verticale:

$$\Phi_A - mg + k\Delta\cos\vartheta = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Phi_A = mg - k\Delta\cos\vartheta = 2{,}943 - 1{,}286 = 1{,}66\ \text{N}$$

La molla "alleggerisce" il blocchetto: il piano deve reggere meno del peso. (La soluzione ufficiale scrive $1{,}65\ \text{N}$, troncando.)

Orizzontalmente la forza applicata deve bilanciare $k\Delta\sin\vartheta = 0{,}74\ \text{N}$, diretta verso sinistra.

b) Accelerazione iniziale

Tolta la forza applicata, orizzontalmente resta solo la componente orizzontale della molla, $k\Delta\sin\vartheta$, verso destra (verso $O$). In verticale nulla cambia (il blocchetto resta sul piano). Per la seconda leggeLungo ogni asse: massa per accelerazione uguale alla somma delle componenti delle forze.Leggi di Newton →:

$$m\,a_i = k\Delta\sin\vartheta \quad \Longrightarrow \quad a_i = \frac{k\Delta\sin\vartheta}{m} = \frac{1{,}485 \cdot 0{,}5}{0{,}3} = 2{,}48\ \text{m/s}^2$$

orizzontale, verso $O$.

c) Velocità in $O$

Mentre il blocchetto va da $A$ a $O$ la forza della molla cambia (in modulo e direzione), quindi non si può usare la cinematica ad accelerazione costante. Si usa l'energia.

Chi compie lavoro. Il peso e la reazione del piano sono verticali, lo spostamento è orizzontale: lavoro nullo. Resta la molla, che è una forza conservativaIl suo lavoro dipende solo dagli estremi: si può scrivere come diminuzione dell'energia potenziale elastica ½k(deformazione)².Forze conservative ed energia potenziale → con energia potenziale $\frac12 k(\text{deformazione})^2$. Quindi l'energia meccanica si conservaSe lavorano solo forze conservative, K + U è la stessa in ogni istante.Conservazione dell'energia meccanica →.

• In $A$: fermo ($K = 0$), molla allungata di $\Delta$: $U = \frac12 k\Delta^2$.
• In $O$: velocità $v_O$, molla lunga $\overline{CO} = R = \ell$, cioè a riposo: $U = 0$.

$$\tfrac12 k\Delta^2 = \tfrac12 m v_O^2 \quad \Longrightarrow \quad v_O = \Delta\sqrt{\frac{k}{m}} = 0{,}124 \cdot \sqrt{40} = 0{,}783\ \text{m/s}$$

Tutta l'energia elastica iniziale, $\frac12 \cdot 12 \cdot 0{,}124^2 = 0{,}092\ \text{J}$, è diventata energia cinetica.

d) Il punto più alto $P$ sulla guida

L'osservazione chiave: la molla smette di lavorare

Sulla guida il blocchetto si muove su una circonferenza di centro $C$ e raggio $R$. La molla va da $C$ al blocchetto, quindi la sua lunghezza è sempre $R$, cioè sempre la lunghezza a riposo: la molla resta a riposo, non esercita forza e la sua energia potenziale resta zero. (Anche se fosse deformata, sarebbe radiale e quindi perpendicolare al moto: lavoro nullo.)

Le forze sulla guida sono quindi il peso (conservativo) e la reazione della guida (perpendicolare alla guida liscia, lavoro nullo): si conserva $\frac12 m v^2 + mgy$.

La quota massima

Nel punto più alto $P$ il blocchetto si ferma ($v_P = 0$). Con lo zero della quota in $O$:

$$\tfrac12 m v_O^2 = m g h \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{v_O^2}{2g} = \frac{0{,}613}{19{,}62} = 0{,}0312\ \text{m} = 3{,}12\ \text{cm}$$

Dove si trova $P$ sulla guida? Se $\vartheta_P$ è l'angolo tra $CP$ e la verticale, $P$ sta $R\cos\vartheta_P$ sotto $C$, cioè alla quota $h = R - R\cos\vartheta_P$ sopra $O$:

$$\cos\vartheta_P = 1 - \frac{h}{R} = 1 - \frac{0{,}0312}{0{,}8} = 0{,}961 \quad \Longrightarrow \quad \vartheta_P = 16{,}1°$$

Accelerazione in $P$

In $P$ la velocità è nulla, quindi la componente normaleNel moto su una circonferenza l'accelerazione verso il centro vale v²/R: è nulla quando la velocità è nulla.Moto circolare → dell'accelerazione $v^2/R$ è zero: l'accelerazione è tutta tangente. Lungo la tangente agisce solo la componente del peso: il raggio $CP$ forma l'angolo $\vartheta_P$ con la verticale, quindi la tangente forma l'angolo $\vartheta_P$ con l'orizzontale, e la componente tangente del peso è $mg\sin\vartheta_P$:

$$a_P = a_T = g\sin\vartheta_P = 9{,}81 \cdot 0{,}277 = 2{,}71\ \text{m/s}^2$$

tangente alla guida, diretta verso il basso (il blocchetto sta per tornare indietro). La molla non contribuisce: è a riposo.

Reazione della guida in $P$

Lungo la normale (verso $C$) agiscono la reazione $\Phi_P$ (la guida spinge il blocchetto verso il centro, perché il blocchetto sta sulla faccia interna della guida) e la componente normale del peso, $mg\cos\vartheta_P$, verso l'esterno. Con accelerazione normale nulla:

$$\Phi_P - mg\cos\vartheta_P = m\,\frac{v_P^2}{R} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Phi_P = mg\cos\vartheta_P = 2{,}943 \cdot 0{,}961 = 2{,}83\ \text{N}$$

diretta verso il centro $C$. (Soluzione ufficiale: $2{,}82\ \text{N}$, per arrotondamento.)

Risultati

Errori comuni

• Usare come deformazione la distanza $\overline{OA}$ invece di $\overline{CA} - \ell$: l'energia della molla dipende dalla sua lunghezza.
• Mettere l'energia elastica anche in $P$: sulla guida la molla è lunga $R = \ell$, quindi è a riposo.
• Cercare un'accelerazione normale in $P$: con $v_P = 0$ è nulla.
• Scrivere $\Phi_A = mg$: la molla tira anche verso l'alto.