Esercizio 65sferetta lanciata orizzontalmente che urta un'asta imperniata

Testo (tema d'esame del 10 febbraio 2023, problema 1). Una sferetta di massa $m = 0{,}1$ kg e dimensioni trascurabili è lanciata con velocità iniziale $v_0 = 2$ m/s diretta orizzontalmente dalla posizione iniziale $(x, y) = (0, h)$, con $h = 3$ m, essendo $y$ l'asse verticale lungo il quale è diretta la forza peso che agisce sulla sferetta. Un'asta omogenea di massa $M = 0{,}3$ kg, lunghezza $\ell = 1{,}2$ m e sezione trascurabile, inizialmente ferma e disposta orizzontalmente, è vincolata a ruotare senza attrito intorno all'asse orizzontale $z$ passante per il suo centro $O$ posto nella posizione $(x_O, y_O) = (d, 0)$, con $d = 2$ m. Determinare:

a) il punto d'impatto $x_P$ della sferetta sull'asta, la sua energia cinetica $E_k$ ed il momento angolare $L_{Oz}$ rispetto al centro $O$ dell'asta immediatamente prima dell'urto con l'asta (si orienti l'asse $z$ in direzione uscente dal piano del foglio).

Tra la sferetta e l'asta avviene un urto completamente anelastico. Determinare:

b) la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto e l'energia dissipata nell'urto; c) l'impulso $\vec J = (J_x, J_y)$ trasferito all'asta dal vincolo in $O$ durante l'urto; d) la massima velocità angolare assunta dall'asta nel moto successivo.

Figura. Asse $x$ orizzontale verso destra, asse $y$ verticale verso l'alto. La sferetta parte dal punto $(0, 3\ \text{m})$ con velocità orizzontale verso destra. L'asta giace sull'asse $x$, centrata in $O = (2\ \text{m}, 0)$, quindi va da $x = 1{,}4$ m a $x = 2{,}6$ m.

La parte a), di sola cinematica, è svolta con più dettagli sul moto parabolico in Esercizio 12 · lancio orizzontale contro un'asta.

Impostazione

Il problema ha tre fasi: il volo della sferetta (Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →), l'urto (Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →), la rotazione successiva (conservazione dell'energia).

a) Punto d'impatto, energia cinetica e momento angolare

Il volo

La sferetta si muove sotto la sola forza peso, con accelerazione $(0, -g)$. Il moto si scompone in un moto uniforme lungo $x$ e uno uniformemente accelerato lungo $y$, partendo con velocità $(v_0, 0)$:

$$x(t) = v_0\,t, \qquad y(t) = h - \frac12 g t^2, \qquad v_x = v_0, \qquad v_y(t) = -g t$$

Arriva alla quota dell'asta, $y = 0$, all'istante

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{6}{9{,}81}} = 0{,}782\ \text{s}$$

nel punto $x_P = v_0 t = 2\cdot0{,}782 = 1{,}56$ m. Si controlla che sia sull'asta: $1{,}4\ \text{m} < 1{,}56\ \text{m} < 2{,}6\ \text{m}$ ✓. La sferetta colpisce l'asta a sinistra del centro, a distanza

$$a = x_O - x_P = 2 - 1{,}564 = 0{,}436\ \text{m}$$

Energia cinetica prima dell'urto

La velocità verticale all'impatto è $v_y = -g t = -7{,}67$ m/s, quella orizzontale è ancora $v_0 = 2$ m/s:

$$E_k = \frac12 m\big(v_0^2 + v_y^2\big) = \frac12\cdot0{,}1\cdot(4 + 58{,}86) = 3{,}14\ \text{J}$$

Controllo con la conservazione dell'energia: $\frac12 m v_0^2 + m g h = 0{,}2 + 2{,}943 = 3{,}14$ J ✓.

Momento angolare rispetto a $O$

Il momento angolarePer un punto materiale L = r × m v, con r posizione rispetto al polo.Momento angolare e momento di una forza → è $\vec L_O = \vec r\times m\vec v$ con $\vec r$ posizione della sferetta rispetto a $O$: $\vec r = (x_P - x_O,\ 0) = (-a, 0)$. La componente $z$ del prodotto vettoriale ($L_z = r_x\,p_y - r_y\,p_x$):

$$L_{Oz} = (-a)\cdot m v_y - 0\cdot m v_0 = -a\,m\,v_y = a\,m\,|v_y| = 0{,}436\cdot0{,}1\cdot7{,}67 = 0{,}334\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$$

Osservazioni. La velocità orizzontale non contribuisce: nell'istante dell'urto la sferetta è alla quota di $O$, e la componente orizzontale della velocità è diretta proprio verso la retta orizzontale per $O$ (braccio nullo). Il segno è positivo (asse $z$ uscente): una sferetta che scende a sinistra di $O$ "gira" attorno a $O$ in senso antiorario.

b) Velocità angolare dopo l'urto ed energia dissipata

Conservazione del momento angolare rispetto a $O$. Durante l'urto il perno in $O$ esercita una forza impulsiva sull'asta, quindi la quantità di moto del sistema sferetta + asta non si conserva. Ma la reazione del perno ha momento nullo rispetto a $O$La reazione impulsiva del vincolo è applicata nel polo, quindi non cambia il momento angolare rispetto al polo; il peso non è impulsivo.Urti con corpi rigidi →, e il peso ha impulso trascurabile durante l'urto: $L_{Oz}$ si conserva.

Dopo l'urto la sferetta resta attaccata all'asta a distanza $a$ da $O$. Momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse per $O$ (asta rispetto al centro più punto materialeAsta rispetto all'asse per il centro: M l²/12; punto materiale a distanza a: m a².Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →):

$$I = \frac{1}{12}M\ell^2 + m a^2 = \frac{1}{12}\cdot0{,}3\cdot1{,}44 + 0{,}1\cdot0{,}190 = 0{,}0360 + 0{,}0190 = 0{,}0550\ \text{kg}\,\text{m}^2$$

$$L_{Oz} = I\,\omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 = \frac{0{,}334}{0{,}0550} = 6{,}08\ \text{rad/s}$$

positiva: l'asta ruota in senso antiorario (la parte sinistra, dove sta la sferetta, scende).

Energia dissipata: dopo l'urto $E_{k0} = \frac12 I\omega_0^2 = \frac12\cdot0{,}0550\cdot6{,}08^2 = 1{,}02$ J, quindi

$$E_{diss} = E_k - E_{k0} = 3{,}14 - 1{,}02 = 2{,}13\ \text{J}$$

Si perdono i due terzi dell'energia: oltre alla componente orizzontale, che viene annullata, la sferetta perde gran parte di quella verticale.

c) Impulso del vincolo

Per il teorema dell'impulsoL'impulso delle forze esterne è uguale alla variazione della quantità di moto del sistema.Quantità di moto e impulso → applicato al sistema sferetta + asta: l'unica forza esterna impulsiva è quella del perno, quindi $\vec J = \vec P_{dopo} - \vec P_{prima}$.

• Prima: l'asta è ferma, la sferetta ha $\vec p = m(v_0, v_y) = (0{,}2;\ -0{,}767)$ kg·m/s.
• Dopo: il CM dell'asta è in $O$, sull'asse, e resta fermo; la sferetta ruota con l'asta: la sua velocità è $\vec\omega\times\vec r = \omega_0\hat z\times(-a\,\hat x) = (0, -a\omega_0)$, cioè verso il basso con modulo $a\omega_0 = 0{,}436\cdot6{,}08 = 2{,}65$ m/s. Quindi $\vec P_{dopo} = (0;\ -m a\omega_0) = (0;\ -0{,}265)$ kg·m/s.

$$J_x = 0 - m v_0 = -0{,}2\ \text{N}\cdot\text{s}, \qquad J_y = -m a\omega_0 - m v_y = -0{,}265 + 0{,}767 = 0{,}502\ \text{N}\cdot\text{s}$$

Interpretazione. Il perno trattiene l'asta: annulla tutta la quantità di moto orizzontale della sferetta (l'asta non può traslare) e gran parte di quella verticale (spinge verso l'alto). Il testo chiede l'impulso "trasferito all'asta": è lo stesso, perché il perno agisce sull'asta.

d) Massima velocità angolare

Dopo l'urto il perno è liscio e l'unica forza che lavora è il peso: l'energia meccanica si conserva. Il peso dell'asta è applicato in $O$, sull'asse, quindi la sua energia potenziale non cambia; cambia solo quella della sferetta, che descrive una circonferenza di raggio $a$ attorno a $O$.

L'energia cinetica, e quindi $\omega$, è massima quando l'energia potenziale è minima, cioè quando la sferetta è nel punto più basso, sulla verticale sotto $O$. Partendo dalla quota di $O$, la sferetta scende di $a$ dopo un quarto di giro:

$$\frac12 I\omega_0^2 + m g a = \frac12 I\omega_{max}^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{max} = \sqrt{\omega_0^2 + \frac{2 m g a}{I}} = \sqrt{36{,}97 + \frac{2\cdot0{,}1\cdot9{,}81\cdot0{,}436}{0{,}0550}} = \sqrt{52{,}52} = 7{,}25\ \text{rad/s}$$

Risultati

La soluzione ufficiale arrotonda il tempo di volo a $0{,}78$ s e la distanza a $0{,}44$ m prima di proseguire, e ottiene valori leggermente diversi ($L_{Oz} = 0{,}336$, $\omega_0 = 6{,}11$ rad/s, $E_{diss} = 2{,}09$ J, $J_y = 0{,}495$ N·s, $\omega_{max} = 7{,}28$ rad/s). I valori qui sopra tengono tutte le cifre fino alla fine.

Errori comuni

• Calcolare il momento angolare con la distanza della sferetta da $O$ e la velocità totale: conta solo la componente della velocità perpendicolare a $\vec r$, qui quella verticale.
• Conservare la quantità di moto nell'urto: l'asta è imperniata.
• Usare $\frac13 M\ell^2$ per l'asta: ruota attorno al centro, non attorno a un estremo.
• Mettere il punto di massima velocità angolare nella posizione orizzontale: il momento del peso della sferetta accelera la rotazione finché la sferetta scende, cioè fino alla verticale sotto $O$.