Esercizio 54massa della Luna da un lancio e da un'orbita

Testo (primo compitino del 18 aprile 2023, problema 3). Un astronauta sulla Luna compie un esperimento lanciando con un cannoncino un proiettile con velocità iniziale $v_0 = 8$ m/s, inclinata di $\vartheta = 30°$ rispetto alla direzione orizzontale. Il proiettile parte dal suolo lunare e si osserva una gittata $x_G = 34{,}2$ m. Determinare:

a) l'accelerazione di gravità sulla Luna $g_L$.

Sapendo che la navicella spaziale "madre" (da cui il modulo di allunaggio che ha portato l'astronauta sul suolo lunare si è staccato) compie intorno alla Luna un'orbita circolare di raggio $R = 1920$ km con un periodo $T = 2$ h e $5$ min, e ricordando che la costante di gravitazione universale vale $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, determinare:

b) la massa della Luna $M_L$; c) l'altezza $h$ dell'orbita della navicella madre rispetto al suolo lunare.

L'idea del problema

Tre misure "da astronauta" permettono di ricavare tre proprietà della Luna senza conoscerle prima:

1. un lancio sul suolo dà l'accelerazione di gravità $g_L$ (cinematica);
2. il periodo e il raggio dell'orbita della navicella danno la massa $M_L$ (gravitazione + moto circolare);
3. mettendo insieme $g_L$ e $M_L$ si ottiene il raggio della Luna $R_L$, e quindi la quota dell'orbita.

Dati in unità SI

a) Gravità lunare dalla gittata

Il proiettile parte dal suolo e ricade al suolo: è un moto parabolicoMoto uniforme in orizzontale con velocità v0 cos θ, moto uniformemente accelerato in verticale con velocità iniziale v0 sin θ e accelerazione −g.Moto parabolico → con accelerazione $g_L$ verso il basso. Le componenti della velocità iniziale sono

$$v_{0x} = v_0 \cos\vartheta \qquad v_{0y} = v_0 \sin\vartheta$$

Tempo di volo. La quota è $y(t) = v_{0y} t - \frac12 g_L t^2$; torna a zero per $t = 0$ (partenza) e per

$$t_{volo} = \frac{2 v_{0y}}{g_L}$$

Gittata. In orizzontale non c'è accelerazione (sulla Luna non c'è nemmeno l'aria), quindi il proiettile avanza a velocità costante $v_{0x}$:

$$x_G = v_{0x}\,t_{volo} = \frac{2\,v_0^2 \sin\vartheta \cos\vartheta}{g_L}$$

Si risolve per l'incognita $g_L$:

$$g_L = \frac{2\,v_0^2 \sin\vartheta \cos\vartheta}{x_G} = \frac{2 \cdot 64 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}866}{34{,}2} = \frac{55{,}43}{34{,}2} = 1{,}62\ \text{m/s}^2$$

Controllo delle unità: $\frac{(\text{m/s})^2}{\text{m}} = \text{m/s}^2$ ✓. (Sulla Terra lo stesso lancio avrebbe una gittata di soli $\frac{55{,}43}{9{,}81} = 5{,}65$ m.)

b) Massa della Luna dall'orbita della navicella

La navicella percorre un'orbita circolare di raggio $R$ con periodo $T$: è un moto circolare uniformeIn un giro, lungo 2πR, si impiega il periodo T: la velocità è v = 2πR / T e l'accelerazione centripeta v² / R.Moto circolare → con velocità

$$v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \cdot 1{,}92 \cdot 10^6}{7500} = 1608\ \text{m/s}$$

L'unica forza sulla navicella (massa $m$) è l'attrazione della Luna, che deve fornire la forza centripeta. Per la seconda legge di NewtonLa risultante delle forze (qui solo la gravità, G M m / R²) è uguale a m per l'accelerazione (qui centripeta, v² / R).Legge di gravitazione universale →:

$$G\,\frac{M_L\,m}{R^2} = m\,\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad M_L = \frac{v^2 R}{G} = \frac{4\pi^2 R^3}{G\,T^2}$$

(nell'ultimo passaggio si è sostituito $v^2 = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}$: è la terza legge di Keplero letta al contrario). Numeri:

$$M_L = \frac{4\pi^2 \cdot (1{,}92 \cdot 10^6)^3}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 7500^2} = \frac{39{,}48 \cdot 7{,}078 \cdot 10^{18}}{3{,}752 \cdot 10^{-3}} = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$$

Controllo delle unità: $\frac{\text{m}^3}{(\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2)\,\text{s}^2} = \frac{\text{m}^3\,\text{kg}^2}{\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\,\text{m}^2\,\text{s}^2} = \text{kg}$ ✓.

La massa della navicella si è semplificata: per "pesare" la Luna basta guardare come le gira intorno un oggetto qualsiasi.

c) Quota dell'orbita

Per trovare la quota $h = R - R_L$ serve il raggio della Luna $R_L$, che non è dato. Lo si ottiene dai due risultati precedenti: la gravità sulla superficie è l'attrazione della Luna su un corpo a distanza $R_L$ dal centro,

$$g_L = \frac{G M_L}{R_L^2} \quad \Longrightarrow \quad R_L = \sqrt{\frac{G M_L}{g_L}} = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}448 \cdot 10^{22}}{1{,}621}} = \sqrt{3{,}065 \cdot 10^{12}} = 1{,}75 \cdot 10^6\ \text{m}$$

e quindi

$$h = R - R_L = 1920 - 1751 = 169\ \text{km} \approx 170\ \text{km}$$

(Il raggio vero della Luna è $1737$ km: con tre misure semplici si è ottenuto un valore molto vicino.)

Risultati

La soluzione ufficiale riporta $g_L = 1{,}61$ m/s², $M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}$ kg, $R_L = 1750$ km, $h = 170$ km.

Errori comuni

• Non convertire il periodo in secondi: $2$ h $5$ min sono $7500$ s, non $2{,}05$ h né $125$.
• Confondere il raggio dell'orbita con la quota: $R = 1920$ km è la distanza dal centro, la quota è ciò che si chiede al punto c).
• Usare $g = 9{,}81$ nel moto del proiettile: l'esperimento è sulla Luna, e $g_L$ è proprio l'incognita.
• Calcolatrice in radianti con $\sin 30$: $\sin(30\ \text{rad}) = -0{,}988$, che darebbe una gravità negativa.