Esercizio 11angolo tra due vettori e area di un parallelogramma

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Testo (esercizio di allenamento su prodotto scalare e vettoriale). Sono dati i vettori (componenti in metri)

$\vec a = 3\,\hat\imath - 2\,\hat\jmath + \hat k \qquad \vec b = \hat\imath + 4\,\hat\jmath + 2\,\hat k$

Calcolare $\vec a \cdot \vec b$ , l'angolo tra i due vettori e la proiezione di $\vec b$ sulla direzione di $\vec a$ .
Calcolare $\vec a \times \vec b$ , verificare che è perpendicolare a entrambi e trovare l'area del parallelogramma e del triangolo che hanno $\vec a$ e $\vec b$ come lati.
Una forza $\vec F = (2\,\hat\imath + 3\,\hat\jmath)$ N è applicata nel punto $P = (0{,}5;\ 0;\ 0)$ m. Calcolarne il momento rispetto all'origine e il lavoro che compie se il punto di applicazione si sposta di $\Delta\vec r = (4\,\hat\imath + \hat\jmath)$ m.

1. Prodotto scalare e angolo

Il prodotto scalare con le componenti

I versori degli assi sono perpendicolari tra loro e di modulo $1$ , quindi nel prodotto scalare restano solo i prodotti delle componenti omologhe:

$\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 3 - 8 + 2 = -3\ \text{m}^2$

L'unità è m² perché si moltiplicano due lunghezze. Il risultato è negativo: dalla definizione $\vec a \cdot \vec b = ab\cos\theta$ , con $a, b > 0$ , vuol dire $\cos\theta < 0$ , cioè angolo ottuso tra i due vettori.

I moduli

$a = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14} = 3{,}742\ \text{m} \qquad b = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21} = 4{,}583\ \text{m}$

L'angolo

Uguagliando la definizione al valore calcolato con le componenti:

$\cos\theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{a\,b} = \frac{-3}{3{,}742 \cdot 4{,}583} = \frac{-3}{17{,}15} = -0{,}175 \quad \Longrightarrow \quad \theta = 100{,}1°$

Qui l'arcocoseno della calcolatrice dà direttamente l'angolo giusto, perché l'angolo tra due vettori sta sempre tra $0°$ e $180°$ , proprio l'intervallo in cui l'arcocoseno restituisce i valori.

La proiezione

La componente di $\vec b$ lungo la direzione di $\vec a$ è il prodotto scalare di $\vec b$ con il versore $\hat a = \vec a / a$ :

$b_{\parallel a} = \vec b \cdot \hat a = \frac{\vec a \cdot \vec b}{a} = \frac{-3}{3{,}742} = -0{,}80\ \text{m}$

Il segno meno dice che l'"ombra" di $\vec b$ sulla retta di $\vec a$ punta nel verso opposto ad $\vec a$ , coerente con l'angolo ottuso.

2. Prodotto vettoriale e area

Il determinante

Si sviluppa il determinante simbolico lungo la prima riga:

$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

componente $x$ : $a_y b_z - a_z b_y = (-2)(2) - (1)(4) = -4 - 4 = -8$ ;
componente $y$ : $a_z b_x - a_x b_z = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5$ ;
componente $z$ : $a_x b_y - a_y b_x = (3)(4) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14$ .

$\vec a \times \vec b = (-8\,\hat\imath - 5\,\hat\jmath + 14\,\hat k)\ \text{m}^2$

Verifica della perpendicolarità

Due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo:

$(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = (-8)(3) + (-5)(-2) + (14)(1) = -24 + 10 + 14 = 0 \ ✓$ $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec b = (-8)(1) + (-5)(4) + (14)(2) = -8 - 20 + 28 = 0 \ ✓$

È un ottimo controllo da fare sempre: un errore di segno nello sviluppo del determinante lo farebbe fallire.

L'area

Il modulo del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma costruito sui due vettori:

$A_{\text{par}} = |\vec a \times \vec b| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 25 + 196} = \sqrt{285} = 16{,}9\ \text{m}^2$

e il triangolo con lati $\vec a$ e $\vec b$ ne è la metà: $A_{\text{tri}} = 8{,}44\ \text{m}^2$ .

Controllo con la definizione: $a\,b\sin\theta = 3{,}742 \cdot 4{,}583 \cdot \sin 100{,}1° = 17{,}15 \cdot 0{,}985 = 16{,}9\ \text{m}^2$ ✓. Si noti che $\sin 100{,}1° > 0$ : il modulo del prodotto vettoriale è sempre positivo, anche con angolo ottuso.

3. Momento e lavoro di una forza

Momento rispetto all'origine

Il momento di una forza rispetto a $O$ è $\vec M = \vec r \times \vec F$ , con $\vec r = \overrightarrow{OP} = (0{,}5;\ 0;\ 0)$ m. Entrambi i vettori stanno nel piano $xy$ , quindi sopravvive solo la componente z:

$\vec M = (r_x F_y - r_y F_x)\,\hat k = (0{,}5 \cdot 3 - 0 \cdot 2)\,\hat k = 1{,}5\,\hat k\ \ \text{N}\cdot\text{m}$

Positivo, cioè uscente dal foglio: la forza tende a far ruotare in senso antiorario attorno a $O$ . Controllo con "forza per braccio": $|\vec F| = \sqrt{4 + 9} = 3{,}61$ N forma con $\vec r$ (che è lungo $x$ ) l'angolo $\arctan\frac32 = 56{,}3°$ , quindi $M = r F\sin\theta = 0{,}5 \cdot 3{,}61 \cdot 0{,}832 = 1{,}5$ N·m ✓. Solo la componente $F_y$ , perpendicolare a $\vec r$ , contribuisce: $F_x$ è lungo la retta per $O$ e non fa ruotare.

Lavoro

Il lavoro di una forza costante è il prodotto scalare della forza per lo spostamento:

$W = \vec F \cdot \Delta\vec r = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 0 = 11\ \text{J}$

(N·m = J). Positivo perché forza e spostamento formano un angolo acuto: $\cos\theta = \frac{11}{3{,}61 \cdot 4{,}12} = 0{,}740$ , $\theta = 42{,}3°$ .

Momento e lavoro hanno entrambi unità N·m, ma sono grandezze diverse: il momento è un vettore (prodotto vettoriale), il lavoro uno scalare (prodotto scalare). Per questo il lavoro si scrive in joule e il momento si lascia in N·m.

Risultati

grandezza	valore
$\vec a \cdot \vec b$	$-3\ \text{m}^2$
angolo tra $\vec a$ e $\vec b$	$100{,}1°$
proiezione di $\vec b$ su $\vec a$	$-0{,}80$ m
$\vec a \times \vec b$	$(-8;\ -5;\ 14)\ \text{m}^2$
area del parallelogramma / triangolo	$16{,}9\ \text{m}^2$ / $8{,}44\ \text{m}^2$
momento di $\vec F$ rispetto a $O$	$1{,}5\,\hat k$ N·m (antiorario)
lavoro di $\vec F$	$11$ J

Errori comuni

Sbagliare il segno della componente $y$ del prodotto vettoriale: è $a_z b_x - a_x b_z$ , non $a_x b_z - a_z b_x$ . Il controllo della perpendicolarità lo scopre subito.
Prendere il valore assoluto del prodotto scalare: il segno è un'informazione (angolo acuto o ottuso).
Scrivere il momento come $\vec F \times \vec r$ : verrebbe $-1{,}5\,\hat k$ , con il verso di rotazione sbagliato.

Teoria collegata

Prodotto scalare e prodotto vettoriale