Esercizio 1due sassi sulla stessa verticale

Testo (esercizio di allenamento sul moto verticale con due corpi, come nella lezione 5 del corso). Un sasso A viene lanciato verso l'alto dal suolo con velocità $v_0 = 12\ \text{m/s}$. Nello stesso istante un sasso B viene lasciato cadere da fermo da un'altezza $h = 18\ \text{m}$, sulla stessa verticale. Trascurando la resistenza dell'aria e assumendo $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, determinare:

1. l'istante $t^*$ e la quota $y^*$ in cui i due sassi si incontrano;
2. le velocità dei due sassi in quell'istante, dicendo se A sta ancora salendo;
3. la quota massima che A raggiungerebbe se non incontrasse B.

Impostazione

Le grandezze in gioco

Tutti i dati sono già in unità SI (metri, secondi), quindi non serve convertire nulla.

Asse e origine

Si sceglie un asse $y$ verticale con verso positivo verso l'alto e origine al suolo, e si fa partire il cronometro ($t = 0$) nell'istante in cui partono i due sassi. Con questa scelta:

• l'accelerazione di entrambi è $a = -g$, negativa perché la gravità punta verso il bassoVicino al suolo, senza aria, ogni corpo ha la stessa accelerazione g diretta verso il basso, qualunque sia la sua massa e qualunque sia la sua velocità.Moto verticale dei gravi →, cioè nel verso opposto all'asse;
• A parte da $y_{0A} = 0$ con velocità $v_{0A} = +v_0$ (verso l'alto: positiva);
• B parte da $y_{0B} = h$ con velocità $v_{0B} = 0$ ("lasciato cadere da fermo").

Si poteva scegliere anche l'asse verso il basso: i risultati fisici sarebbero gli stessi, con i segni scambiati. L'importante è decidere una volta e non cambiare più.

Le leggi orarie

Entrambi i sassi si muovono con accelerazione costante, quindi vale la legge del moto uniformemente acceleratoCon accelerazione costante a: y(t) = y0 + v0 t + a t²/2 e v(t) = v0 + a t.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → con $a = -g$:

$$y_A(t) = v_0\,t - \tfrac12 g\,t^2 \qquad\qquad v_A(t) = v_0 - g\,t$$

$$y_B(t) = h - \tfrac12 g\,t^2 \qquad\qquad\ \ v_B(t) = -g\,t$$

1. Istante e quota dell'incontro

I sassi si incontrano quando sono nello stesso punto nello stesso istante, cioè quando $y_A(t^*) = y_B(t^*)$:

$$v_0\,t^* - \tfrac12 g\,t^{*2} = h - \tfrac12 g\,t^{*2}$$

Il termine $-\frac12 g t^{*2}$ compare in entrambi i membri e si semplifica:

$$v_0\,t^* = h \quad \Longrightarrow \quad t^* = \frac{h}{v_0} = \frac{18\ \text{m}}{12\ \text{m/s}} = 1{,}5\ \text{s}$$

Perché si semplifica, fisicamente. I due sassi cadono con la stessa accelerazione, quindi la gravità li sposta verso il basso della stessa quantità $\frac12 g t^2$: la loro distanza cambia solo per la differenza delle velocità iniziali. Visto da B, A gli viene incontro a velocità costante $v_0$ e deve coprire la distanza $h$: ci mette $h / v_0$. (È un'anticipazione dei moti relativi.)

Controllo delle dimensioni: $\frac{[L]}{[L][T]^{-1}} = [T]$, un tempo ✓.

La quota dell'incontro si ottiene sostituendo $t^*$ in una delle due leggi orarie (danno lo stesso valore, per costruzione). Con quella di B, che è più semplice:

$$y^* = h - \tfrac12 g\,t^{*2} = 18 - \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}5^2 = 18 - 11{,}04 = 6{,}96\ \text{m}$$

Controllo con A: $y_A(1{,}5) = 12 \cdot 1{,}5 - 11{,}04 = 18 - 11{,}04 = 6{,}96\ \text{m}$ ✓.

Bisogna anche controllare che l'incontro avvenga in aria: $y^* = 6{,}96\ \text{m} > 0$, quindi sì. Se fosse uscito $y^* < 0$, B avrebbe toccato terra prima dell'incontro e la formula non avrebbe avuto significato fisico (le leggi orarie valgono solo finché i sassi sono in volo).

2. Velocità all'incontro

Si sostituisce $t^* = 1{,}5\ \text{s}$ nelle leggi della velocità:

$$v_A(t^*) = v_0 - g\,t^* = 12 - 9{,}81 \cdot 1{,}5 = 12 - 14{,}72 = -2{,}72\ \text{m/s}$$

$$v_B(t^*) = -g\,t^* = -14{,}72\ \text{m/s}$$

Interpretazione dei segni. Con l'asse verso l'alto, una velocità negativa vuol dire che il sasso scende. Quindi al momento dell'incontro A sta già scendendo, a $2{,}72\ \text{m/s}$: ha già superato il suo punto più alto. B scende molto più velocemente, a $14{,}72\ \text{m/s}$, e lo raggiunge da sopra.

La differenza delle velocità è $v_A - v_B = -2{,}72 - (-14{,}72) = 12\ \text{m/s} = v_0$, costante nel tempo, come previsto dall'osservazione sui moti relativi.

3. Quota massima di A

Nel punto più alto A si ferma un istante e inverte il moto: la sua velocità è nullaNel punto di inversione la tangente al diagramma orario è orizzontale: la velocità passa da positiva a negativa e quindi vale zero.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →. Da $v_A(t_{\max}) = 0$:

$$v_0 - g\,t_{\max} = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_{\max} = \frac{v_0}{g} = \frac{12}{9{,}81} = 1{,}22\ \text{s}$$

$1{,}22\ \text{s} < t^* = 1{,}5\ \text{s}$: conferma che all'incontro A sta già scendendo.

La quota massima si trova senza passare dal tempo, con la formula senza il tempov² = v0² + 2a(y − y0): lega velocità e posizione quando l'accelerazione è costante.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → con $v = 0$, $a = -g$, $y_0 = 0$:

$$0 = v_0^2 - 2g\,y_{\max} \quad \Longrightarrow \quad y_{\max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{12^2}{2 \cdot 9{,}81} = \frac{144}{19{,}62} = 7{,}34\ \text{m}$$

Controllo con la legge oraria: $y_A(1{,}22) = 12 \cdot 1{,}223 - \frac12 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}223^2 = 14{,}68 - 7{,}34 = 7{,}34\ \text{m}$ ✓.

Risultati

Errori comuni

• Dare a B un'accelerazione diversa da quella di A: la gravità accelera allo stesso modo un sasso che sale e uno che scende. Durante la salita A non ha accelerazione positiva: va verso l'alto ma la sua velocità diminuisce.
• Dimenticare il segno di $g$: con l'asse verso l'alto l'accelerazione è $-g$; scrivere $+g$ farebbe salire B.
• Non controllare che l'incontro avvenga prima che B tocchi terra (B arriva al suolo a $t = \sqrt{2h/g} = 1{,}92\ \text{s}$, dopo $t^*$: tutto bene).