Esercizio 4ampiezza e fase di un moto armonico

Testo (esercizio di allenamento sul moto armonico semplice). Un punto oscilla di moto armonico semplice lungo l'asse $x$ attorno all'origine, con periodo $T = 2\ \text{s}$. All'istante $t = 0$ si trova in $x_0 = 3\ \text{cm}$ e si muove verso l'origine con velocità di modulo $20\ \text{cm/s}$. Determinare:

1. la pulsazione, l'ampiezza e la fase iniziale, scrivendo la legge oraria;
2. la velocità massima, l'accelerazione massima e l'accelerazione a $t = 0$;
3. il primo istante in cui il punto passa per l'origine e il modulo della velocità quando si trova in $x = 5\ \text{cm}$.

Impostazione

Dati in unità SI

$$x_0 = 3\ \text{cm} = 0{,}03\ \text{m} \qquad v_0 = -20\ \text{cm/s} = -0{,}20\ \text{m/s}$$

Perché $v_0$ è negativa: il punto è in $x_0 > 0$ e si muove verso l'origine, cioè nel verso delle $x$ decrescenti. Il testo dà il modulo, il segno lo si ricava dalla descrizione: è il dettaglio decisivo per la fase.

Le formule

Legge oraria del moto armonicox = A sin(ωt + φ), con A ampiezza, ω pulsazione e φ fase iniziale; la velocità è v = Aω cos(ωt + φ).Moto armonico semplice →:

$$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi) \qquad v(t) = A\omega\cos(\omega t + \varphi) \qquad a(t) = -\omega^2\,x(t)$$

1. Pulsazione, ampiezza e fase

Pulsazione. Dipende solo dal periodo:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\ \text{s}} = \pi\ \text{rad/s} \approx 3{,}14\ \text{rad/s}$$

Ampiezza. Ponendo $t = 0$ nelle leggi di $x$ e $v$:

$$x_0 = A\sin\varphi \qquad\qquad \frac{v_0}{\omega} = A\cos\varphi$$

Si elevano al quadrato e si sommano: il seno e il coseno spariscono grazie a $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$:

$$A^2 = x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 \quad \Longrightarrow \quad A = \sqrt{0{,}03^2 + \left(\frac{0{,}20}{\pi}\right)^2} = \sqrt{0{,}000900 + 0{,}004053} = 0{,}0704\ \text{m}$$

L'ampiezza ($7{,}04\ \text{cm}$) è maggiore di $x_0$: giusto, perché il punto in $x_0$ ha ancora velocità e quindi non è in un estremo.

Fase iniziale. Dividendo la prima equazione per la seconda:

$$\tan\varphi = \frac{\omega\,x_0}{v_0} = \frac{\pi \cdot 0{,}03}{-0{,}20} = -0{,}471$$

La calcolatrice dà $\arctan(-0{,}471) = -0{,}440\ \text{rad}$, che sta nel quarto quadrante. Ma bisogna controllare i segni:

• $\sin\varphi = x_0 / A > 0$ (perché $x_0 > 0$);
• $\cos\varphi = v_0 / (A\omega) < 0$ (perché $v_0 < 0$).

Seno positivo e coseno negativo: l'angolo è nel secondo quadrante. L'arcotangente restituisce sempre un angolo tra $-\frac\pi2$ e $\frac\pi2$, quindi bisogna aggiungere πLa tangente ha periodo π: φ e φ + π hanno la stessa tangente, ma seno e coseno di segno opposto.Moto armonico semplice →:

$$\varphi = -0{,}440 + \pi = 2{,}70\ \text{rad} \quad (\approx 154{,}8°)$$

Controllo: $A\sin\varphi = 0{,}0704 \cdot \sin(2{,}70) = 0{,}0704 \cdot 0{,}426 = 0{,}030\ \text{m}$ ✓; $A\omega\cos\varphi = 0{,}0704 \cdot \pi \cdot (-0{,}905) = -0{,}200\ \text{m/s}$ ✓.

Legge oraria:

$$x(t) = 0{,}0704\,\sin(\pi t + 2{,}70) \qquad (x \text{ in m}, \ t \text{ in s})$$

2. Velocità e accelerazione massime

$$v_{\max} = A\omega = 0{,}0704 \cdot \pi = 0{,}221\ \text{m/s} \qquad\qquad a_{\max} = A\omega^2 = 0{,}0704 \cdot \pi^2 = 0{,}695\ \text{m/s}^2$$

La velocità massima si ha passando per l'origine, l'accelerazione massima agli estremi $x = \pm A$.

Accelerazione a $t = 0$. Si usa la relazione caratteristica a = −ω²xNel moto armonico l'accelerazione è proporzionale allo spostamento e opposta: punta sempre verso il centro.Moto armonico semplice →, che non richiede la fase:

$$a(0) = -\omega^2\,x_0 = -\pi^2 \cdot 0{,}03 = -0{,}296\ \text{m/s}^2$$

Negativa: punta verso l'origine, come la velocità. Velocità e accelerazione concordi: il punto sta accelerando verso il centro (come deve, visto che al centro la velocità è massima).

3. Passaggio per l'origine e velocità in $x = 5$ cm

Primo passaggio per l'origine. $x = 0$ quando $\sin(\pi t + \varphi) = 0$, cioè quando la fase è un multiplo di $\pi$. A $t = 0$ la fase vale $2{,}70$ e poi cresce: il primo multiplo di $\pi$ che raggiunge è $\pi$ stesso. Quindi

$$\pi t_0 + 2{,}70 = \pi \quad \Longrightarrow \quad t_0 = \frac{\pi - 2{,}70}{\pi} = 0{,}140\ \text{s}$$

In quell'istante $v = A\omega\cos\pi = -0{,}221\ \text{m/s}$: passa per l'origine alla velocità massima, nel verso negativo ✓.

Velocità in $x = 5$ cm. La domanda è in funzione della posizione: si usa la relazione tra velocità e posizionev² = ω²(A² − x²), che si ottiene sommando i quadrati di x/A e v/(Aω).Moto armonico semplice →:

$$|v| = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = \pi\sqrt{0{,}004953 - 0{,}0025} = \pi \cdot 0{,}0495 = 0{,}156\ \text{m/s}$$

Il punto passa per $x = 5\ \text{cm}$ due volte per periodo, con questa velocità in un verso o nell'altro.

Risultati

Errori comuni

• Prendere $v_0 = +0{,}20\ \text{m/s}$ ignorando "verso l'origine": cambierebbe la fase (primo quadrante, $\varphi = 0{,}44$) e il primo passaggio per l'origine.
• Fermarsi all'arcotangente ($\varphi = -0{,}44$ rad): darebbe $x_0 = -3\ \text{cm}$, la posizione sbagliata. Il controllo dei segni di seno e coseno è obbligatorio.
• Lasciare i dati in centimetri mescolati a grandezze in metri.